复杂机电产品无故障数据可靠性鉴定试验方案研究

封雷; 解龙; 刘曦; 刘超; 李海和

doi:10.15892/j.cnki.djzdxb.2025.03.022

弹箭与制导学报 >

2025 , Vol. 45 >Issue 3: 424 - 429

DOI: https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2025.03.022

综述、总体、动力、毁伤、测试及其他

复杂机电产品无故障数据可靠性鉴定试验方案研究

封雷 ,
解龙 ,
刘曦 ,
刘超 ,
李海和

展开

西安现代控制技术研究所,陕西西安 710065

封雷(1987—),男,高级工程师,硕士。E-mail: fenglei0615@qq.com

收稿日期: 2024-12-19

网络出版日期: 2025-07-09

收起

Research on Reliability Qualification Test Scheme Based on Zero-failure Data of Complex Electromechanical Equipment

FENG Lei ,
XIE Long ,
LIU Xi ,
LIU Chao ,
LI Haihe

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Xi'an Modern Control Technology Research Institute, Xi'an 710065, Shaanxi, China

Received date: 2024-12-19

Online published: 2025-07-09

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摘要

为解决当前复杂机电产品威布尔可靠性鉴定试验方案参数难以确定的问题,提出了一种基于历史无故障数据的威布尔分布可靠性鉴定试验方法。针对两参数威布尔模型和历史数据计算故障率先验信息,采用贝叶斯统计理论获得后验信息,以最小二乘法获得威布尔分布参数估计。以典型观瞄装置为对象,进行了无故障数据威布尔分布可靠性鉴定试验方案设计,并与GJB 899A—2009的方案进行了对比,威布尔分布的试验方案可靠性评估结果较指数分布准确度提高了9.2%,所建立的无故障数据的威布尔分布可靠性鉴定试验方案有效。

关键词： 可靠性鉴定试验方案; 无故障数据; 贝叶斯统计理论; 威布尔分布; 复杂机电产品

本文引用格式

封雷 , 解龙 , 刘曦 , 刘超 , 李海和 . 复杂机电产品无故障数据可靠性鉴定试验方案研究[J]. 弹箭与制导学报, 2025 , 45(3) : 424 -429 . DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2025.03.022

Abstract

In order to address the problem of difficulty in determining parameters for the Weibull reliability identification test for complex electromechanical products, a Weibull distributed reliability qualification test method based on historical zero-failure data is proposed.The prior information of failure rate is calculated based on the two-parameter Weibull model and historical data, the posterior information of failure rate is obtained by Bayesian statistical theory, and the parameter estimation of Weibull distribution is obtained by least square method, and the reliability qualification test scheme is calculated. The reliability qualification test scheme is designed and compared with the scheme in GJB 899A—2009 through taking a viewing device as an example in this paper. The reliability assessment result of the Weibull distribution for reliability identification test is 9.2% more accurate than that of the exponential distribution. The established Weibull distribution reliability qualification test scheme based on zero-failure data is effective. The overall Weibull distribution test plan is stricter than the exponential distribution test plan, and this method is highly suitable for the design of reliability qualification test plans for electromechanical products. The established Weibull distribution reliability qualification test plan based on no-failure data is effective and can be directly applied to the formulation of reliability qualification test plans for complex electromechanical products.

Key words： reliability qualification test scheme; zero-failure data; Bayesian statistical theory; Weibull distribution; complex electromechanical equipment

0 引言

可靠性鉴定试验的目的是验证产品的设计是否达到了规定的可靠性要求。一般是根据大纲中选定的抽样方案,抽取有代表性的产品在规定的条件下所进行的试验,用于设计定型或者重大技术变更后的鉴定。

可靠性鉴定试验的统计方案主要包括序贯试验方案、定数截尾试验方案和定时截尾试验方案^[1]。李根成^[2]介绍了如何确定可靠性试验的检验下限和检验上限,定量分析了可靠性指标达到规定值的产品通过试验的概率。汪亚顺等^[3]研究了机电设备可靠性验证试验统计方案,推导了指数分布和威布尔(Weibull)分布场合接收概率方程组,并给出了两种分布情况下生产方风险和使用方风险与样本量的关系。崔卫民等^[4]针对威布尔分布时可靠性试验最少试件数的确定进行了分析,可降低试验周期及费用。李海波等^[5]对GJB 899—1990中定时试验方案和序贯试验方案进行了分析,得出表A7和表A8适用于技术状态不变产品的可靠性试验结果的评定。傅慧民等^[6]提出了一种威布尔分布定时无失效数据可靠性分析方法,在形状参数下限已知的情况下,给出了可靠度和使用寿命的单侧置信下限,从而能够根据定时无失效数据对产品进行高置信水平的可靠性评定。张勇波等^[7]提出了一种威布尔分布定时无失效数据疲劳寿命分散系数修正方法,定义了定时无失效数据情形下分散系数的修正系数,推导了其计算公式。刘海涛等^[8]在威布尔分布场合下,由函数凹凸性获得了各时刻失效率之间的关系,利用先验信息得到了各时刻的失效概率的Bayes估计。张点等^[9]针对GJB 899A—2009中的试验方案试验时间过长或试验风险过大,利用Bayes方法基于产品试验数据获取寿命分布,从而计算产品可靠性试验方案中的双方风险,确定满足风险要求的可靠性鉴定试验方案。

随着科技的进步,复杂机电产品的可靠性水平越来越高,产品无故障情况越来越普遍,针对产品的寿命和平均故障间隔时间等可靠性指标,通常需要在产品状态鉴定阶段开展可靠性鉴定试验与指标评估。当前在工程中应用最多的是基于寿命服从指数分布,但是指数分布主要适用于电子产品^[10-16]。而复杂机电产品的寿命分布主要为威布尔分布,当前对产品的威布尔分布模型研究较少,尤其是针对无故障数据产品的威布尔模型参数取值相对困难^[17],因此一定程度上也限制了其在产品鉴定中的应用。文中以典型复杂机电产为对象,开展基于无故障数据威布尔分布的模型研究及可靠性鉴定试验方案研究,通过与传统的基于指标分布的可靠性鉴定试验方案及指标评估对比分析,为同类产品可靠性鉴定试验方案确定及指标评估提供依据。

1 产品威布尔分布无故障数据建模

假设产品寿命服从式(1)所示的两参数威布尔分布:

(1)

F(t)=1-exp $- t η m$

式中:m为形状参数;η为尺度参数。

在l次定时结尾试验中,产品累计工作时间为t₁≤t₂≤t₃≤…≤t_l时未出现故障,相应累计时间内的试验样品数为n₁,n₂,…,n_l,则称(t_i,n_i)为无故障数据,i=1,2,…,l。

根据式(1)模型,可得到如下信息:

1)记p_i=P(T<t_i)=F(t_i),i=1,2,…,l,则可得p₁≤p₂≤…≤p_l;

2)在t=0时,产品的故障率为p₀=P(T=0)=0;

3)记s_i=n_i+n_i₊₁+…+n_l,表示在t_i时刻有s_i个样品参加试验,且无故障,则无故障数据可以记为(t_i,s_i),i=1,2,…,l。

2 无故障数据威布尔分布模型计算

2.1 故障率先验分布的确立

产品寿命T服从威布尔分布,则其故障概率函数为:

(2)

λ(t)= $F' (t) 1 - F (t)$ = $m η (t η) m - 1$

工程实际中,多数产品的故障率都是随时间的增加而不减,即λ(t)为非减函数。

产品可靠度函数R(t)可表示为:

(3) $R(t) \triangleq-\ln R(t)=\left(\frac{t}{\eta}\right)^{m}$

当m>0,由凹函数性质及lnR(t₀)=0,对于∀1≤i≤l有:

(4)(R(t_i)

) 1 t i

≥(R(t_l)

) 1 t l

,i=1,2,…,l

代入p_i表述式可得:

(5)

0≤p_i≤1- $(1 - p l) t i t l$

式(5)表示了该样本总体的失效概率p_i的特性,可在p_i计算Bayes估计过程中将其当作先验信息。

在对无故障数据进行分析时,未给出有关失效概率分布的情况,根据Bayes假设,可将[0,λ_l]上的均匀分布当成p_l的先验分布^[18]:

(6)

π_l(p_l)= $1 λ l, 0 p l λ l 0, e l s e$

由p_l的先验分布,可以推导出p_i(i=1,2,…,l-1)的先验分布:

(7)0≤p_i≤1-

(1 - p l) t i t l

在工程实际中,对于不同时刻失效概率的关系无法直接应用到计算过程中,在此提出假设,构造p_i和p_l的关系^[11]:

(8)p_i=1-

(1 - p l) t i t l

,i=1,2,…,l-1

式(8)中失效概率p_i和p_l的关系是保守的,但在工程中容易使用,根据式(8)和先验分布公式可以得到:

(9)

π i (p i) = π l (p l) d p l d p i = t l λ l t i (1 - p i) t l t i - 1 0 p i λ i

由式(9)得到p_i的先验分布呈递减趋势。

2.2 故障率贝叶斯统计推断

通过计算出的各时刻失效概率的先验分布,可对失效概率p_i进行Bayes估计。

∀1≤i≤l,s_i个产品在时刻t_i截止时未发生故障,则在t_i时刻可得到故障率的似然函数为:

(10)

L(p_i)=(1-p_i $) s i$

令r_i=s_i+t_l/t_i-1,λ_i=1-(1-λ_l

) t i t l

,根据先验公式可推导p_i的后验分布为^[8]:

(11)π_i(p_i

s i

(1 - p i) r i ∫ 0 λ i (1 - p i) r i

dp_i, 0<p_i<λ_i

通过平方损失的计算方法,可得p_i的贝叶斯估计为:

(12)

$p^i$ = $∫ 0 λ i$ p_iπ_i(p_i $s i$ )dp_i=
$1 r i + 2 (1 - (1 - λ i) r i + 2) - λ i (1 - λ i) r i + 1 1 - (1 - λ i) r i + 1$

2.3 威布尔分布模型参数确定

在完成p_i的贝叶斯估计后,即可得到各时刻的故障率(t_i,p_i),对各点拟合出威布尔分布曲线:

(13)

p_i=P(T≤t_i)=1-exp $- t i η m$

利用最小二乘法进行参数拟合^[19],并令:

(14)

E(m,η)= $∑ i = 1 l 1 - p i - e x p - t i η m 2$

以满足:

(15)E(

m^

η^

m i n m 0, η 0

E(m,η)

由此可得到产品的可靠度的估计值为:

(16)

$R^$ (t)=exp $- t η^m^$

3 威布尔分布可靠性试验方案设计

对于服从威布尔分布的可修产品定时截尾的试验方案设计如下,对于两参数威布尔分布,令λ=

1 η m

,T=t^m,则变量T服从故障率为λ的指数分布。若已知样本量n,那么在时间(0,t]内发生故障的故障总数的概率为:

(17)L(θ)=

∑ i = 0 c (n λ t) i i!

exp(-nλt)

由威布尔分布模型的期望θ=ηΓ

1 + 1 m

和λ=

1 η m

可得:

(18)

λ= $Γ (1 + 1 m) θ m$

由产品的抽样特性曲线和泊松过程的统计推断可得:

(19)

2 n t 1 Γ 1 + 1 m θ 0 m = χ α 2 c + 2) 2 n t 1 Γ 1 + 1 m θ 1 m = χ 1 - β 2 c + 2)

进一步可得:

(20)

d^m= $χ 1 - β 2 c + 2) χ α 2 c + 2)$

式中:α和β分别为生产方风险和使用方风险;d为鉴别比;m为威布尔分布的形状参数;c为允许故障数。

对于可修产品在时间(0,t]内故障次数记为S(t),数学期望为E(S(t)),其故障次数服从期望为E(S(t))的非齐次泊松过程^[18]。所以,n个产品产生的故障数r不大于允许故障数的概率为:

(21)L(θ)=

∑ i = 0 c (n E (S (t))) i i!

exp(-nE(S(t)))

对于故障间隔时间服从威布尔分布,其累计故障次数的数学期望为E(S(t))为:

(22)

E(S(t))≈ $t θ$ + $σ 2 - θ 2 2 θ 2$

式中:θ为故障间隔时间的期望;σ²为故障间隔时间的方差^[18]。由σ²=η²

Γ 1 + 2 m - Γ 2 1 + 1 m

,可得:

(23)E(S(t))=

t θ

Γ 1 + 2 m 2 Γ 2 1 + 1 m

-1

根据上述公式可得:

(24)t=

1 2 n χ L (θ) 2 c + 2) + 1 - Γ 1 + 2 m 2 Γ 2 1 + 1 m

根据产品抽样特性曲线,可得:

(25)

t 0 = χ α 2 c + 2) 2 n + 1 - Γ 1 + 2 m 2 Γ 2 1 + 1 m θ 0 t 1 = χ 1 - β 2 c + 2) 2 n + 1 - Γ 1 + 2 m 2 Γ 2 1 + 1 m θ 1

为了减少误差,取均值作为试验时间:

(26)t=

d × χ α 2 c + 2) + χ 1 - β 2 c + 2) 4 n + d + 1 2 1 - Γ 1 + 2 m 2 Γ 2 1 + 1 m

θ₁

4 工程案例

文中观瞄装置是复杂的机电产品,由光电转塔、位置传感器、升降桅杆及连接电缆等组成。安装于运载车顶部,主要功能是完成目标搜索、测距和跟踪等功能。

在工程样机研制过程中,累计生产样机数为7,每台样机的可靠性累计试验时间如表1所示,试验期间未发生故障,根据工程经验,观瞄装置的寿命服从威布尔分布,根据历史数据和文献[20]可得,观瞄装置的形状参数m>1。通过对基型产品的实际使用,其故障率最大值为0.1 h^-1。

表1 无故障数据统计

Table 1 Zero-failure data statistics

Serial number	t_i/h	n_i	s_i
1	95	2	7
2	105	1	5
3	120	1	4
4	135	1	3
5	142	1	2
6	153	1	1

观瞄装置的平均故障间隔时间最低可接受值θ₁为500 h,规定值θ₀为750 h。

根据该产品的最大故障率为0.1 h^-1可得,p_l上限为λ_l=0.1 h^-1,则由无故障数据处理进行分析,根据式(8)得到该产品的故障率先验值,根据式(12)得到该产品的故障率贝叶斯估计值,结果如表2、表3和图1所示。

表2 各时刻的故障率先验值

Table 2 Prior values of failure rates at each moment

Parameter	λ₁	λ₂	λ₃	λ₄	λ₅	λ₆
Value	0.063 3	0.069 8	0.079 3	0.088 8	0.093 2	0.100 0

表3 各时刻故障率的贝叶斯估计

Table 3 Bayesian estimation of failure rate at each moment

Parameter	$p^1$	$p^2$	$p^3$	$p^4$	$p^5$	$p^6$
Value	0.029 0	0.032 6	0.037 3	0.042 2	0.045 0	0.049 1

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图1 故障率先验信息和贝叶斯估计

Fig.1 Prior information and Bayesian estimation of failure rate

通过对产品各时刻故障率的贝叶斯估计值进行最小二乘拟合,利用式(14)求得威布尔分布参数m和η的估计值为

m^

=1.1088,

η^

=2280.1。根据威布尔模型和指数模型进行计算可得,当时间t<2280 h时,服从威布尔分布的可靠度大于指数分布的可靠度;当时间t>2280 h时,服从威布尔分布的可靠度小于指数分布的可靠度,如图2所示。

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图2 指数分布和威布尔分布可靠度函数

Fig.2 Exponential distribution and Weibull distribution reliability function

根据该观瞄装置的可靠性指标可得,鉴别比d=1.5,选取使用方风险和生产方风险分别为10%、20%和30%,根据式(20)、式(21)和式(26)可得威布尔试验方案,如表4所示。对比GJB 899A—2009中鉴别比为1.5时,双方风险为10%、20%和30%的试验方案如表5所示^[18],其中试验时间为单台设备平均时间,本次试验方案所选样本量n=7。

表4 威布尔分布可靠性鉴定试验方案(鉴别比d=1.5)

Table 4 Reliability evaluationtest scheme of Weibull distribution (identification ratio d=1.5)

Scheme	Allowable number of failures	Nominal risk/%		Actual risk/%		Test time/h
Scheme	Allowable number of failures	User's	Producer's	User's	Producer's	Test time/h
1	32	10	10	31.22	1.36	1 891
2	13	20	20	29.58	12.01	1 246
3	5	30	30	33.66	25.11	547

表5 指数分布可靠性鉴定试验方案(鉴别比d=1.5)

Table 5 Reliability evaluation test scheme of exponential distribution (identification ratio d=1.5)

Scheme	Allowable number of failures	Nominal risk/%		Actual risk/%		Test time/h
Scheme	Allowable number of failures	User's	Producer's	User's	Producer's	Test time/h
1	39	10	10	10.17	10	3 450
2	17	20	20	19.43	20	1 535
3	6	30	30	29.95	30	578

由表4和表5中的试验方案结果可得,对于寿命服从威布尔分布的产品,且形状参数m>1时,其试验时间比指数分布时间稍短,且允许故障数也较小,整体试验方案要严于指数分布。威布尔分布的试验方案1和方案2中使用方风险明显大于生产方风险,试验方案3的双方风险相差较小。因此对于服从威布尔分布的可靠性鉴定试验方案,需要确认生产方风险和使用方风险名义值与实际值是否基本相同。本方案中,只有高风险方案(使用方风险和生产方风险均为30%)可以接受。对于威布尔分布方案3,置信度为0.7,用指数分布计算MTBF单侧置信下限可得546 h,而实际威布尔的评估结果为500 h,因此相比指数分布方案计算结果精度提高9.2%。

按照威布尔分布和指数分布试验方案考核时,产品的接收概率如图3所示,当产品的MTBF的真值大于841 h时,威布尔分布试验方案的接收概率大于指数分布的接收概率;当产品的MTBF的真值小于841 h时,威布尔分布试验方案的接收概率小于指数分布的接收概率。

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图3 指数分布和威布尔分布试验方案接收概率

Fig.3 Exponential distribution and Weibull distribution test scheme acceptance probability

5 结论

针对当前无故障数据复杂机电产品威布尔可靠性鉴定试验方案参数难以确定,可靠性试验方案仍然以GJB 899A—2009标准中的指数分布为主,无法准确评定产复杂机电产品的可靠性试验水平。提出了基于无历史故障数据的威布尔可靠性鉴定试验方案确定方法,依据两参数威布尔模型和历史数据信息计算故障率先验信息,采用贝叶斯统计推断获得故障率后验信息,最后通过最小二乘法获得威布尔分布参数估计,并进行可靠性鉴定试验方案计算。以典型观瞄装置无故障数据分析为例,进行了可靠性鉴定试验方案设计,并与GJB 899A—2009中的方案进行了对比分析,整体威布尔分布试验方案要严于指数分布试验方案,其中威布尔高风险试验方案较指数分布试验方案,MTBF单侧置信下限准确度提高了9.2%,所建立的基于无故障数据的威布尔分布可靠性鉴定试验方案有效,可直接应用于复杂机电产品可靠性鉴定试验方案的制定。

参考文献

原文顺序 | 文献年度倒序 | 文中引用次数倒序

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0 引言

1 产品威布尔分布无故障数据建模

2 无故障数据威布尔分布模型计算

2.1 故障率先验分布的确立

2.2 故障率贝叶斯统计推断

2.3 威布尔分布模型参数确定

3 威布尔分布可靠性试验方案设计

4 工程案例

表1 无故障数据统计

表2 各时刻的故障率先验值

表3 各时刻故障率的贝叶斯估计

图1 故障率先验信息和贝叶斯估计

图2 指数分布和威布尔分布可靠度函数

表4 威布尔分布可靠性鉴定试验方案(鉴别比d=1.5)

表5 指数分布可靠性鉴定试验方案(鉴别比d=1.5)

图3 指数分布和威布尔分布试验方案接收概率

5 结论

参考文献