弹箭与制导学报

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2026 , Vol. 46 >Issue 1: 88 - 96

DOI: https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2026.01.009

基于模糊逻辑固定时间三维滑模角度约束制导律

  • 王少龙 1 ,
  • 朱天社 1 ,
  • 刘佳琪 2 ,
  • 林时尧 , 2, *
展开
  • 1 西北工业集团有限公司,陕西 西安 710043
  • 2 中国兵器科学研究院,北京 100089
*。

收稿日期: 2025-12-20

  网络出版日期: 2026-03-09

基金资助

中国科协青年人才托举项目(2023QNRC001)

收起

3D Fixed-time Sliding Mode Impact Angle Control Guidance Law Based on Fuzzy Logic System

  • WANG Shaolong 1 ,
  • ZHU Tianshe 1 ,
  • LIU Jiaqi 2 ,
  • LIN Shiyao , 2, *
Expand
  • 1 Northwest Industrial Group Company. Ltd., Xi'an 710043, Shaanxi, China
  • 2 China Research and Development Academy of Machinery Equipment,Beijing 100089, China

Received date: 2025-12-20

  Online published: 2026-03-09

Fold

摘要

针对三维空间导弹打击目标时存在的模型不确定性、目标未知机动及终端碰撞角约束等问题,本文提出一种基于非奇异固定时间滑模与模糊控制的角度约束制导律。首先,建立三维弹目相对运动模型,并将终端碰撞角约束控制转化为视线角跟踪问题。其次,为避免传统终端滑模存在的奇异性问题,设计一种非奇异固定时间滑模面,并引入辅助函数以避免出现奇异问题。进一步地,利用模糊逻辑系统对由目标机动和模型不确定性引起的集总扰动进行在线逼近。基于Lyapunov稳定性理论,严格证明了闭环系统所有信号的固定时间稳定性。对比仿真结果表明,所设计的制导律能在不同初始条件下实现对机动目标的精确拦截,且相比现有固定时间滑模制导策略,在抑制控制指令抖振和提升视线角跟踪精度方面具有显著优势。

关键词： 三维制导律; 固定时间稳定; 非奇异终端滑模; 终端碰撞角约束; 模糊逻辑系统

本文引用格式

王少龙 , 朱天社 , 刘佳琪 , 林时尧 . 基于模糊逻辑固定时间三维滑模角度约束制导律[J]. 弹箭与制导学报, 2026 , 46(1) : 88 -96 . DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2026.01.009

Abstract

This paper investigates the guidance of missiles striking the maneuvering targets in three-dimensional (3D) space in the presence of model uncertainties, unknown target maneuvers and terminal impact angle constraints. An impact angle control guidance law based on nonsingular fixed-time sliding mode control (NFTSMC) and fuzzy logic is proposed. First, a 3D missile-target relative motion model is established, and the terminal impact angle constraint control is reformulated as a line-of-sight (LOS) angle tracking problem. To overcome the singularity commonly encountered in conventional terminal sliding mode control, a nonsingular fixed-time sliding mode surface (NFTSMS) is constructed, and an auxiliary function is introduced to guarantee singularity-free controller design. In addition, a fuzzy logic system (FLS) is incorporated to online approximate the lumped disturbances induced by target maneuvers and model uncertainties. The fixed-time stability of all signals from the closed-loop system is strictly proved based on Lyapunov stability theory. The simulated results show that the proposed guidance law can achieve the accurate interception of maneuvering targets under different initial conditions. Compared with the existing fixed-time sliding mode guidance strategy, it has significant advantages in suppressing the control command chattering and improving the line-of-sight angle tracking accuracy.

Key words： three-dimensional guidance law; fixed-time stabilization; nonsingular terminal sliding mode surface; terminal impact angle constraint; fuzzy logic system

0 引言

导弹精确制导是实现高效打击目标的核心技术之一[1-3]。为最大化毁伤效能,理想的打击效果不仅要求导弹能够直接命中目标,还需要其以特定的终端碰撞角对目标实施打击。因此,带有碰撞角约束的制导律设计已成为当前精确制导领域的重要研究方向[4-5]。
目前实现碰撞角约束的制导律设计方法多样。基于比例导引的思想,文献[6]针对导弹大角度攻顶精确制导需求,结合落角约束与过载约束提出了一种寻的比例导引法,实现导弹以较大落角精确命中目标。然而,此类方法在应对高机动目标和复杂模型不确定性时,制导性能下降。滑模控制因其对扰动与不确定性的强鲁棒性,被广泛应用于制导律的设计中。文献[7]针对导弹打击目标时须满足的特定视线角及规避干扰需求,提出了一种结合粒子群遗传算法与径向基神经网络的滑模制导律,有效提升了制导精度。文献[8]提出了一种无需剩余时间估计的滑模制导律,通过结合相对距离设计了加权滑模面,有效解决了传统方法因时间估计误差导致的精度下降问题。文献[9]针对精确制导中驾驶仪滞后与目标机动干扰问题,提出了一种基于非齐次扰动观测器的积分滑模制导律,有效提升了对高机动目标的拦截精度和终端角度约束能力。然而上述研究多集中于二维平面或未充分考虑通道间的非线性耦合问题,限制了制导律在三维拦截中的实际应用。
在实际应用中,制导系统往往受到外部环境或敌对目标带来的扰动影响。此外,目标加速度信息在拦截过程中通常是未知的。这种不确定性和外部扰动的存在,降低了导弹的制导精度[10-12]。文献[13]将目标机动视为扩张状态并通过线性扩张状态观测器实现了对目标的估计,但在面对高机动目标时,这种线性结构往往难以平衡收敛速度与观测噪声之间的矛盾。文献[14]进一步基于非线性状态观测器设计了一种加速度估计策略,但该方法依赖模型的精确度,当模型不确定性加剧时观测效果会明显下降。文献[15]通过设计自适应律在估计目标加速度上界,并在制导律设计中进行前馈补偿,然而其在处理快时变的机动指令时,容易产生控制信号抖振。相比于上述依赖模型或增益调节的方法,模糊逻辑系统因其具备逼近任意连续非线性函数的能力,可用于制导律设计中,以应对未知目标加速度的影响[16]。
此外,由于制导任务需要在有限时间内完成,因此还需要考虑制导系统的收敛速度。文献[17]基于有限时间稳定理论设计了一种积分滑模三维鲁棒角度约束制导律,实现了目标精确拦截以及角度误差快速收敛。文献[18]基于super-twisting理论设计了一种有限时间收敛的角度约束制导律。文献[19]基于分段终端滑模设计了一种考虑角度约束的三维制导律,通过结合线性滑模和终端滑模的特性,实现了全局收敛加速。文献[20]针对输入约束下的三维制导问题,提出了一种基于分数次幂项的有限时间反步制导律。文献[21]将三维制导问题转化为零和博弈问题,基于自适应动态规划理论和有限时间理论设计了一种数据驱动的角度约束制导律。然而,对于有限时间收敛的系统,其收敛时间上界依赖于系统初始状态,当初始条件未知或变化范围较大时,收敛性能难以保证,可能减低导弹制导性能[22]。
为避免初始条件对收敛速度的影响,文献[23]提出了一种固定时间稳定理论,其收敛时间上界独立于初始状态,仅由控制器参数决定,并被广泛应用于制导律设计。针对三维条件下的拦截需求,文献[24]基于固定时间稳定理论设计了一种具有角度约束的积分滑模制导律,通过取消滑模的趋近运动,实现了误差快速收敛。文献[25]提出了一种具有切换逻辑的自适应固定时间制导律,实现了对机动目标的精确拦截。文献[26]基于对数函数提出了一种固定时间收敛的三维角度约束制导律,在保证目标精确拦截的同时,实现了终端角度的精确控制。文献[27]设计了一种基于弹目相对距离的时变固定时间滑模制导律,在实现精确命中的同时,解决了初始过载饱和问题。 然而上述研究中的固定时间控制方法引入了负分数幂项或符号函数,导致系统状态趋近平衡点时产生了奇异问题或指令抖振现象,即现有的固定时间控制方法普遍存在着奇异性与非连续性问题。
受上述文献启发,本文针对三维空间中带有碰撞角约束的机动目标精确打击问题,设计了一种基于非奇异固定时间终端滑模的模糊自适应制导律。所提制导律能够确保在模型不确定性、目标未知机动及通道间非线性耦合影响下,视线角误差在固定时间内收敛至期望值,且收敛时间上界独立于系统初始状态。同时,所提出的方法有效抑制了传统滑模控制中的指令抖振现象,显著提升了制导精度与鲁棒性。本文主要贡献包括:1)针对三维角度约束制导需求,设计了一种非奇异固定时间滑模面,并引入辅助函数从根本上避免了传统终端滑模中固有的奇异性问题,相较于文献[24-27]中采用的固定时间滑模方法,本方案在保证固定时间收敛的同时,有效抑制了因负幂次项引发的指令抖振。2)为应对目标机动与模型不确定性构成的集总扰动,提出了一种基于模糊逻辑系统的在线逼近与补偿策略,相比于文献[13-15]中依赖精确模型或增益调节的传统方法,该方法能够在无需先验扰动信息的情况下实现高精度前馈补偿,进一步增强了对复杂机动目标的拦截能力;3)利用Lyapunov理论严格证明了所设计制导律的稳定性,其能够保证制导系统的有界性,并能够实现终端角度误差的固定时间收敛。

1 预备知识

引理1[19]:考虑如下标量系统
y 　 ·=-l1 s i g α 1(y)-l2 s i g α 2(y), y(0)=y0
其中 s i g α i(y)= y | α isign(y),l1>0,l2>0,α1>1,且0<α2<1,则该系统是固定时间稳定的,收敛时间Ts满足
Ts≤ 1 l 1 ( α 1 - 1 )+ 1 l 2 ( 1 - α 2 )
引理2[19]:考虑a1,a2,…,an>0,则对于p>1有
∑ i = 1 n a i p≥n1-p ∑ i = 1 n a i p
对于0<p<1有
∑ i = 1 n a i p≥ ∑ i = 1 n a i p

2 三维弹目相对运动学模型

图1展示了三维空间中弹目相对运动关系,其中M和T分别代表导弹与目标。OXeYeZe和OXlYlZl分别表示惯性坐标系和视线(Line-of-Sight,LOS)坐标系,原点O固定于导弹的质心处。OXmYmZm和O1XtYtZt分别是导弹与目标的弹体坐标系,其中O1固定于目标的质心处。vm和vt分别表示导弹与目标的速度,θm和φm以及θt和φt分别是导弹与目标的弹道倾角和弹道偏角。r为弹目相对运动距离,qε和qβ分别是弹目视线倾角和视线偏角。根据文献[26],导弹与目标的运动学方程可表示为
x 　 ·   m = v m c o s θ m c o s φ m y 　 ·   m = v m s i n θ m z 　 ·   m = - v m c o s θ m s i n φ m θ 　 ·   m = a m y / v m φ 　 ·   m = - a m z / ( v m c o s θ m ) x 　 ·   t = v t c o s θ t c o s φ t y 　 ·   t = v t s i n θ t z 　 ·   t = - v t c o s θ t s i n φ t θ 　 ·   t = a t y / v t φ 　 ·   t = - a t z / ( v t c o s θ t )
其中(xm,ym,zm)和(xt,yt,zt)分别表示导弹与目标在惯性坐标系中的位置,(amx,amy,amz)和(atx,aty,atz)则表示导弹与目标在惯性坐标系中三个轴向的加速度分量。而导弹与目标之间在视线坐标系OXlYlZl下的相对运动关系方程可表示为
r 　 · · = a t r - a m r + r q 　 · ε 2 + r q 　 · β 2 c o s 2 q ε r q 　 · ·   ε = a t θ - a m θ - 2 r 　 · q 　 ·   ε - r q 　 ·   β 2 s i n q ε c o s q ε - r q 　 · ·   β c o s q ε = a t φ - a m φ + 2 r 　 · q 　 ·   β c o s q ε - 2 r q 　 ·   ε q 　 ·   β s i n q ε
其中(amr,amθ,amφ)和(atr,atθ,atφ)分别是导弹和目标在视线坐标系中三个轴向的加速度分量。在导弹末制导阶段,考虑到横向相对加速度在消除脱靶量过程中起主导作用,而径向相对加速度amr对视线角旋转的耦合影响较小,因此忽略径向运动对制导精度的影响,即amr=0。
图1 弹目相对运动关系图

Fig.1 Relational graph of missile-target relative motion

根据视线系与惯性系之间的转化关系,可得出ay、az与amθ、amφ之间的转换关系为
a y = a m θ c o s ( q β - φ m ) - a m φ s i n ( q β - φ m ) s i n q ε s i n θ m s i n q ε + c o s θ m c o s q ε c o s ( q β - φ m ) a z = a m φ + a y s i n θ m s i n ( q β - φ m ) c o s ( q β - φ m )
其中,ay和az分别表示导弹在视线坐标系下俯仰通道和偏航通道的加速度分量。
在末制导阶段,导弹处于稳定跟踪状态,其攻角变化范围较小,基于小角度假设,可近似认为攻角为零,因此导弹的碰撞角约束可转化为视线角的跟踪问题,因此本文的控制目标是通过设计导弹视线法向和侧向加速度,即amθ和amφ,使得弹道倾角和弹道偏角的变化率 q 　 · ε和 q 　 · β在固定时间内收敛至零,同时使得qε和qβ在固定时间内收敛至期望值。

3 制导律设计

本节针对带有碰撞角约束和未知扰动影响的三维导弹制导问题,设计了一种基于非奇异固定时间滑模控制的鲁棒制导律,该设计旨在确保视线角误差及其速率在固定时间内收敛至零,且收敛时间上界独立于系统初始状态,同时有效避免了传统终端滑模控制中存在奇异性问题。

3.1 非奇异固定时间滑模制导律

定义导弹击中目标时期望的视线倾角和视线偏角分别为qεd和qβd,令e11=qε-qεd,e12= q 　 · ε,e21=qβ-qβd,e22= q 　 · β,则根据式(6)可建立三维弹目系统状态方程为
e 　 ·   11 = e 12 e 　 ·   12 = - 2 r 　 · e 12 r - e 22 2 s i n q ε c o s q ε + a t θ r - a m θ r e 　 ·   21 = e 22 e 　 ·   22 = - 2 r 　 · e 22 r + 2 e 12 e 22 t a n q ε - a t φ r c o s q ε + a m φ r c o s q ε
根据上式可知视线法向和视线侧向中存在目标加速度和视线角的耦合信息,然而目标的机动信息是未知的,同时考虑到导弹飞行过程存在的未建模模型不确定项以及外部扰动d1和d2,定义系统总扰动为
Δ ε = a t θ r - e 22 2 s i n q ε c o s q ε Δ β = 2 e 12 e 22 t a n q ε - a t φ r c o s q ε
假设1[24][26-27] 由于目标机动能力有限,系统的模型不确定性和外部扰动同样存在物理上限,因此假设系统总扰动及其导数有界,即‖Δi‖≤DΔi,‖ Δ 　 · i‖≤ D 　 · Δ i(i=ε,β)。
基于此本文的核心问题在于针对受到有界时变未知扰动影响的非线性系统(8)(9),设计一个鲁棒控制器使得系统在扰动信息情况下,仍能保证系统状态在固定时间内收敛,即满足导弹终端碰撞角约束。
为实现上述控制目标,设计如下非奇异快速终端滑模面为
s θ = s i g a 11 a 12 ( e 11 ) + λ 11 2 - a 12 s i g 2 - a 12 ( σ θ ) s φ = s i g a 21 a 22 ( e 21 ) + λ 21 2 - a 22 s i g 2 - a 22 ( σ φ )
其中sigα(x)=|x|αsign(x),σθ与σφ为辅助变量,定义为
$\begin{array}{l} \sigma_{\theta}=e_{12}+\lambda_{12} \operatorname{sig}^{\frac{a_{11}}{a_{12}}}\left(e_{11}\right) \\ \sigma_{\varphi}=e_{22}+\lambda_{22} \operatorname{sig}^{\frac{a_{21}}{a_{22}}}\left(e_{21}\right) \end{array}$
其中参数λij>0(i,j=1,2),a11、a12与a21、a22为满足0<a12<a11<1和0<a22<a21<1的常数,且通常取值为奇数之比以确保函数的光滑性。
对式(10)(11)求导有
$\begin{array}{l} \dot{s}_{\theta}=\frac{a_{11}}{a_{12}}\left|e_{11}\right|^{\frac{a_{11}}{a_{12}}-1} e_{12}+\lambda_{11}\left|\sigma_{\theta}\right|^{1-a_{12}} \dot{\sigma}_{\theta} \\ \dot{\sigma}_{\theta}=\dot{e}_{12}+\lambda_{12} \frac{a_{11}}{a_{12}}\left|e_{11}\right|^{\frac{a_{11}}{a_{12}}-1} e_{12} \\ \dot{s}_{\varphi}=\frac{a_{21}}{a_{22}}\left|e_{21}\right|^{\frac{a_{21}}{a_{22}}-1} e_{22}+\lambda_{21}\left|\sigma_{\varphi}\right|^{1-a_{22}} \dot{\sigma}_{\varphi} \\ \dot{\sigma}_{\varphi}=\dot{e}_{22}+\lambda_{22} \frac{a_{21}}{a_{22}}\left|e_{21}\right|^{\frac{a_{21}}{a_{22}}-1} e_{22} \end{array}$
定义
Γ θ = a 11 a 12 e 11 | a 11 a 12 - 1 , Γ φ = a 21 a 22 e 21 | a 21 a 22 - 1 g θ = λ 11 | σ θ | 1 - a 12 , g φ = λ 21 | σ φ | 1 - a 22
则可将式(12)改写为
s 　 ·   θ = Γ θ e 12 + g θ ( e 　 ·   12 + λ 12 Γ θ e 12 ) s 　 ·   φ = Γ φ e 22 + g φ ( e 　 ·   22 + λ 22 Γ φ e 22 )
从上式可知在设计控制器时, g θ - 1和 g φ - 1会在σθ=σφ=0时出现奇异性问题,对此本文引入辅助函数χθ和χφ来规避奇异性问题,定义为
χ θ = 1 λ 11 s i g a 11 ( σ θ ) + λ 12 2 - a 12 σ θ χ φ = 1 λ 21 s i g a 21 ( σ φ ) + λ 22 2 - a 22 σ φ
基于此将滑模面的微分重新整理为
s 　 ·   θ = g θ [ Δ ε - 2 r 　 · e 12 r - a m θ r + λ 12 Γ θ e 12   + Γ θ ( χ θ + λ 12 e 12 ) ] - λ 12 Γ θ s θ s 　 ·   φ = g φ [ Δ β - 2 r 　 · e 22 r + a m φ r c o s q ε + λ 22 Γ φ e 22   - Γ φ ( χ φ + λ 22 e 22 ) ] - λ 22 Γ β s β
结合式(15)可设计出制导律为
a M θ = - r { - [ k 11 s i g p 1 ( s θ ) + k 12 s i g q 1 ( s θ ) + k 13 | s θ | s i g n ( s θ ) | s θ | + ε θ ]   - Γ θ ( χ θ + λ 12 e 12 ) - Δ ε + 2 r 　 · e 12 r } a M φ = r c o s q ε { - [ k 21 s i g p 2 ( s φ ) + k 22 s i g q 2 ( s φ )   + k 23 | s φ | s i g n ( s φ ) | s φ | + ε φ ] - Γ φ ( χ φ + λ 22 e 22 ) - Δ β + 2 r 　 · e 22 r }
其中ki,j>0(i=1,2,j=1,2,3)为控制增益,pi>1,0<qi<1,εθ,φ>0是一个极小的常数。该控制律由等效控制项-Γi(χi+λi2ei2)-Δj+2 r 　 ·ei2/r和切换控制项-ki1 s i g p i(si)-ki2 s i g q i(si)-ki3|si|sign(si)/(|si|+εi)构成,其中等效控制项用于精确补偿系统抑制动力学,而切换控制项则可用于抑制扰动。

3.2 模糊逼近方法

考虑到式(17)所设计的制导律中存在未知的有界扰动,为提高制导律在复杂环境下的鲁棒性,本节引入模糊逻辑系统对上述扰动项进行在线逼近与补偿。考虑模糊系统的输入变量应充分反映系统动态与扰动特性,选取如下变量构成输入向量
x= [ e 11 , e 12 , e 21 , e 22 , q ε , q β ] T∈ℝ6
针对待逼近的扰动项Δε和Δβ,分别设计独立的模糊逻辑系统 Δ ^ ε(x|Φε)和 Δ ^ β(x|Φβ),每个模糊系统采用IF-THEN形式的模糊规则库进行知识表示,具体为
R(i):IF x(1) is A 1 i AND…x(6) is A 6 i THEN Δ ^ ε is Bi
其中 A j i和Bi代表模糊集合,为便于简化设计运算,将模糊集合Bi视为单值模糊集合,即Bi为确定数值 Φ ε i,所有模糊集合 Φ ε i构成参数基向量Φε= [ Φ ε 1 , Φ ε 2 , … , Φ ε N ] T∈ℝN,其中N为模糊规则的总数。
对于输入变量x(j),其属于模糊集合 A j i的隶属度计算如下
μ A j i[x(j)]=exp - ( x ( j ) - ρ j i ) 2 2 ( ζ j i ) 2
其中 ρ j i和 ζ j i分别代表高斯基函数的中心值和宽度。本文针对输入向量x的每一个分量,将其论域划分为三个模糊子集,分别定义为:负(Negative, N)、零(Zero, Z)和正(Positive, P)。对应的高斯隶属度函数中心值 ρ j i均匀分布在变量的论域上,从而构建出完整的模糊规则库,输入变量在论域上的高斯隶属度函数分布示意详见图2。
图2 高斯隶属度函数示意图

Fig.2 Schematic diagram of Gauss membership function

模糊推理采用乘积推理机,即每条规则的推理结果 ω ¯ i(x)通过输入向量对所有隶属度相乘得到
ω ¯ i(x)= ∏ j = 1 6 μ A j i[x(j)]
系统最终的模糊输出采用重心法解模糊化,即对所有规则的输出进行加权平均,权重即为个规则的推理结果。因此,扰动Δε和Δβ的模糊系统估计值可表示为
Δ ^ ε ( x | Φ ε ) = ∑ i = 1 N ω ¯ i ( x ) · Φ ε i ∑ i = 1 N ω ¯ i ( x ) = ξ T (x) Φ ε Δ ^ β ( x | Φ β ) = ∑ i = 1 N ω ¯ i ( x ) · Φ β i ∑ i = 1 N ω ¯ i ( x ) = ξ T (x) Φ β
其中ξT(x)= [ ξ 1 ( x ) , ξ 2 ( x ) , … , ξ N ( x ) , ] T成为模糊基函数向量,定义每个元素为
ξi(x)= ω ¯ i ( x ) ∑ i = 1 N ω ¯ i ( x )
根据模糊系统万能逼近定理[16],存在一个最优参数向量 Φ ε *和 Φ β *,使得模糊系统 Δ ^ ε(x|Φε)和 Δ ^ β(x|Φβ)能够在紧集Ωx上以任意精度逼近连续函数Δε和Δβ,即
Δ ε ( x ) = ξ T ( x ) Φ ε * + ε ε ( x ) , 　 ∀ x ∈ Ω x Δ β ( x ) = ξ T ( x ) Φ β * + ε β ( x ) , 　 ∀ x ∈ Ω x
其中εε(x)和εβ(x)为模糊系统逼近误差,并在该紧集上存在上界 ε ¯ ε>0, ε ¯ β>0使得|εε(x)|≤ ε ¯ ε,|εβ(x)|≤ ε ¯ β成立。
定义参数估计误差向量为 Φ ~ ε=Φε- Φ ε *, Φ ~ β=Φβ- Φ β *,则扰动估计误差可表示为
Δ ~ ε = Δ ^ ε - Δ ε = ξ T ( x ) Φ ε - [ ξ T ( x ) Φ ε * + ε ε ] = ξ T ( x ) Φ ~ ε - ε ε Δ ~ β = Δ ^ β - Δ β = ξ T ( x ) Φ β - [ ξ T ( x ) Φ β * + ε β ] = ξ T ( x ) Φ ~ β - ε β
模糊参数自适应律设计为
Φ 　 · ε=γεΓ1sεξ(x), Φ 　 · β=γβΓ2sβξ(x)
其中γε>0和γβ>0为自适应学习速率。

4 稳定性分析

定理1:在假设1成立的前提下,考虑误差动力学系统(8),在未知有界扰动Δε和Δβ作用下,采用非奇异固定时间滑模面(10)和(11)、制导律(17)以及模糊自适应律(26),则系统状态e11,e12,e21,e22和模糊参数估计误差 Φ ~ ε, Φ ~ β可在固定时间内收敛至零,且收敛时间上界独立于初始状态。
证明:选取如下Lyapunov函数
V= 1 2 s θ 2+ 1 2 s φ 2+ 1 2 γ ε Φ ~ ε T Φ ~ ε+ 1 2 γ β Φ ~ β T Φ ~ β
对V求导可得
V 　 ·=sθ s 　 ·θ+sφ s 　 ·φ+ 1 γ ε Φ ~ ε T Φ ~ 　 · ε+ 1 γ β Φ ~ β T Φ ~ 　 · β
将滑模面导数代入上式有
V 　 · = s θ g θ Δ ε - 2 r 　 · e 12 r - a m θ r + λ 12 Γ θ e 12 + Γ θ ( χ θ + λ 12 e 12 )   - λ 12 Γ θ s θ + s φ g φ Δ β - 2 r 　 · e 22 r + a m φ r c o s q ε + λ 22 Γ φ e 22   - Γ φ ( χ φ + λ 22 e 22 ) ) - λ 22 Γ φ s φ } + 1 γ ε Φ ~ ε T Φ ~ 　 · ε + 1 γ β Φ ~ β T Φ ~ 　 · β
将制导律(17)和模糊自适应律(26)带入上式有
V 　 · = s θ ( 1 - g θ ) ξ T ( x ) Φ ~ ε + s φ ( 1 - g φ ) ξ T ( x ) Φ ~ β   + s θ g θ ε ε + s φ g φ ε β - λ 12 Γ θ s θ 2 - λ 22 Γ β s β 2   - g θ k 11 | s θ | p 1 + 1 + k 12 | s θ | q 1 + 1 + k 13 | s θ | 2 | s θ | + ε θ   - g φ k 21 | s φ | p 2 + 1 + k 22 | s φ | q 2 + 1 + k 23 | s φ | 2 | s φ | + ε φ
由于模糊逼近误差有界,且e12,e22有界,则存在正常数M1,M2,M3,M4使得
| s θ g θ ε ε | ≤ M 1 | s θ | , | s φ g φ ε β | ≤ M 2 | s φ | | s θ ( 1 - g θ ) ξ T ( x ) Φ ~ ε | ≤ M 3 | s θ | | s φ ( 1 - g φ ) ξ T ( x ) Φ ~ β | ≤ M 4 | s φ |
当ε≤1时有|s|2/(|s|+ε)≥|s|2/(|s|+1)≥|s|/2。选择足够大的控制增益k13和k23使得gθk13/2>M1+M3,gφk23/2>M2+M4,同时注意到-λ12Γθ s θ 2-λ22Γφ s φ 2≤0,则可将式(30)放缩为
V 　 · = - g θ k 11 | s θ | p 1 + 1 - g θ k 12 | s θ | q 1 + 1   - g φ k 21 | s φ | p 2 + 1 - g φ k 22 | s φ | q 2 + 1
由于gθ>0,gφ>0,存在正常数gmin使得gθ>gmin,gφ>gmin,令
l1=gminmin(k11,k21),l2=gminmin(k12,k22)
假设p1=p2=p>1,q1=q2=q且0<q<1,则
V 　 ·≤-l1( | s θ | p + 1+ | s φ | p + 1)-l2( | s θ | q + 1+ | s φ | q + 1)
令j1=|sθ|,j2=|sφ|,根据引理2,对于p+1>1,q+1>1有
j 1 p + 1 + j 2 p + 1 ≥ 2 1 - ( p + 1 ) ( 1 j + j 2 ) p + 1 j 1 q + 1 + j 2 q + 1 ≥ 2 1 - ( q + 1 ) ( 1 j + j 2 ) q + 1
由于j1+j2≥ s θ 2 + s φ 2= 2 V s,其中Vs=( s θ 2+ s φ 2)/2≤V,因此 ( j 1 + j 2 ) p + 1≥ ( 2 V s ) ( p + 1 ) / 2, ( j 1 + j 2 ) q + 1≥ ( 2 V s ) ( q + 1 ) / 2,利用Vs≤V的性质以及引理2进行放缩可得
V 　 ·≤-μ1 V p + 1 2-μ2 V q + 1 2
其中μ1,μ2为由l1,l2,p,q确定的正常数。由于(p+1)/2>1且0<(q+1)/2<1,根据引理1可知,函数V将在固定时间T内收敛至零,收敛时间满足
V 　 · ≤ - μ 1 V p + 1 2 - μ 2 V q + 1 2 T ≤ 1 μ 1 p + 1 2 - 1 + 1 μ 2 1 - q + 1 2 = 2 μ 1 ( p - 1 ) + 2 μ 2 ( 1 - q )
证明完毕。

5 仿真分析

为验证本文所设计的制导律的有效性和鲁棒性,考虑不同位置且有不同初始发射角度的4个导弹以各自期望的碰撞角攻击机动目标。假设目标初始坐标为(10,8,5)km,速度vt=800m/s,目标无侧向加速度,初始的俯仰方向航向角θt=20°,偏航方向航向角φt=120°。4个导弹速度恒定为vm=1000m/s,定义导弹初始角度为θm0和φm0,期望碰撞角为qεd和qβd,其余参数详见表1。
表1 导弹初值及期望碰撞角

Table 1 Initial value and desired terminal angle of missile

导弹 初始坐标/km θm0/° φm0/° qεd/° qβd/°
M1 (0,0,0) 65 0 -15 -20
M2 (5,0,0) 55 5 -20 -30
M3 (0,2,0) 45 15 -10 -25
M4 (1,0.5,1.5) 60 30 -18 -40
制导律中的参数设置为ai1=7/9,ai2=5/7,λi1=0.12,λi2=0.1, ki1=0.5,ki2=1.1,ki3=0.55,pi=1.2,qi=0.1,εi=0.01(i=1,2)。导弹侧向加速度限制为250m/s2。
从图3弹目相对运动轨迹可知,在目标无机动情况下,四枚导弹均能准确命中目标,弹道平滑无振荡,表明了所设计制导律具有良好的跟踪性能。从图4和图5中反应的弹道倾角和弹道偏角情况可知,导弹能够以期望角度精确打击目标。
图3 弹目运动轨迹

Fig.3 Trajectories of missile-target motion

图4 视线倾角

Fig.4 LOS inclination angle

图5 视线偏角

Fig.5 LOS deflection angle

进一步考虑目标机动的情况,假设aty=2g,azy=g,其余参数不变,仿真结果见图6。
图6 弹目运动轨迹

Fig.6 Trajectories of missile-target motion

将图6和图3对比分析可知,目标机动情况下导弹轨迹仍然保持平滑特性,反映了所设计的制导律的鲁棒性。
图7和图8分别展示了四种工况下导弹在俯仰通道和偏航通道的加速度响应曲线。可以看出,制导指令在整个拦截过程中保持了良好的平滑性,有效抑制了传统滑模控制中常见的高频抖振现象,验证了所提出的制导律的鲁棒性。
图7 法向加速度

Fig.7 Normal acceleration

图8 侧向加速度

Fig.8 Lateral acceleration

为了进一步验证所设计的制导律的优越性,考虑文献[24]中采用的固定时间滑模控制方法设计制导律进行对比验证,同样考虑四枚导弹采用表1中的初始条件,并且考虑目标机动情况,仿真结果见图9-13。
图9 弹目运动轨迹

Fig.9 Trajectories of missile-target motion

从图9中可以看出,采用文献[24]中的固定时间滑模控制方法同样能够实现导弹对于目标的打击,但结合图10和图11中展示的该方法下的视线倾角与视线偏角响应曲线。与图4和图5相比,文献[24]所设计的制导律对视线角的收敛控制效果欠佳,这是由于该方法采用的固定时间滑模结构中包含负分数幂项,当视线角误差趋于零时,易引发奇异性问题,导致制导指令出现抖振从而影响了收敛精度,而本文采用辅助系统处理奇异性问题,从而实现了视线角的高精度收敛。
图10 视线倾角

Fig.10 LOS inclination angle

图11 视线偏角

Fig.11 LOS deflection angle

从图12和图13的加速度曲线可以看出,文献[24]中的方法生成的制导指令相较于图7和图8的加速度曲线变化过于剧烈,对执行机构要求过高,在工程中不易实现。
图12 法向加速度

Fig.12 Normal acceleration

图13 侧向加速度

Fig.13 Lateral acceleration

6 结论

本文提出了一种针对三维空间导弹精确打击问题的基于模糊控制的固定时间滑模制导律,该方案融合了非奇异固定时间滑模控制与模糊逻辑系统逼近方法。通过与目标无机动和强机动两种典型场景下的仿真结果对比表明:种基于非奇异固定时间滑模与及弹目耦合动力学不确定性条件下,确保导弹精度命中目标,并严格满足终端碰撞角约束。此外,得益于非奇异固定时间滑模面保证的收敛时间与初始状态无关、快速终端结构赋予的固定时间收敛特性,以及模糊逻辑系统对耦合项和目标机动等集总扰动的高精度在线逼近与补偿,该制导律有效避免了控制指令的高频抖振现象,为三维精确制导系统在面对复杂对抗环境时提供了一种可靠方案。

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