0 引言
目前,国内外学者围绕四旋翼无人机的飞行控制问题提出了多种飞行控制算法。文献[4]提出基于扩张状态观测器的非奇异终端滑模控制方法,提高了轨迹跟踪精度和快速性。文献[5]采用自适应积分反步控制器,使无人机的质量和惯性不确定性得以补偿,从而确保了闭环系统的稳定性。文献[6]提出基于线性自抗扰的控制算法,该算法调节时间短,较好地满足了系统性能要求。文献[7]提出基于神经网络和状态观测器的自适应控制方法,保障了不确定性影响下的轨迹跟踪精度和姿态控制效果。文献[8]提出自适应反步跟踪控制算法,该算法在鲁棒性和控制性能方面表现良好。文献[9]提出自适应神经网络动态面控制算法,可以实现外部干扰与建模不确定性作用下的姿态控制。文献[10]采用基于扩张状态观测器的积分反步控制器,实现了存在未知不确定性情况下的精确控制。文献[11]提出基于滑模扰动观测器的固定时间控制方法,该方法保证了在外部干扰作用下的控制性能。
干扰逼近器,又称扰动观测器,通过估算系统所受多源扰动并在控制输入中引入补偿来抑制多源扰动的影响。干扰逼近器是可用于解决受多源扰动影响的四旋翼无人机飞行控制问题的一种有效方法,但在应用干扰逼近器处理受多源扰动影响的四旋翼无人机飞行控制问题时,由于干扰逼近器的逼近值和多源扰动实际值间存在着逼近误差,四旋翼无人机飞行控制系统的控制性能仍会受到一定程度的不良影响。
为提高受多源扰动影响的四旋翼无人机的飞行控制性能,本文提出一种基于多源扰动补偿和分层滑模控制的自调节滑模飞行控制算法。首先,基于四旋翼无人机系统的结构分解,定义全驱动子系统和欠驱动子系统的滑动变量。在欠驱动子系统的滑动变量设计中,提出一种新型的分层滑模控制器滑动变量构造方法。然后,设计各子系统的广义Super-Twisting干扰逼近器对多源扰动进行在线观测,并设计自适应模糊补偿器对逼近误差进行补偿,采用组合幂次趋近律设计各子系统的趋近增益自调节滑模控制器,并在滑模控制器中使用带模糊补偿的干扰逼近器的观测值补偿多源扰动带来的影响。最后,通过消融实验分析本文飞行控制算法各核心模块的作用,并通过四旋翼无人机飞行控制仿真实验,验证本文自调节滑模飞行控制算法的多源扰动抑制能力和控制性能。
1 四旋翼无人机的数学模型
在建立“X”型四旋翼无人机的数学模型时,假设四旋翼无人机的机体为刚性且对称,四旋翼无人机的质心与四旋翼无人机的几何中心重合。四旋翼无人机的地面坐标系Oe=[Xe,Ye,Ze]和机体坐标系Ob=[Xb,Yb,Zb]的定义如图1所示。
四旋翼无人机具有6个位姿变量,其中(x,y,z)为四旋翼无人机质心的位置变量,(φ,θ,ψ)为四旋翼无人机机体的姿态变量。四旋翼无人机的控制输入由作用于四旋翼无人机的总升力f、作用于ObXb、ObYb、ObZb三轴的力矩τx、τy、τz所构成。四旋翼无人机通过调节旋翼转速$\varpi_{i}(i=1,2,3,4)$来改变各控制输入,进而实现其位置和姿态控制。四旋翼无人机的控制输入与旋翼转速$\varpi_{i}$之间的关系为
$\left\{\begin{array}{l} f=C_{T}\left(\varpi_{1}^{2}+\varpi_{2}^{2}+\varpi_{3}^{2}+\varpi_{4}^{2}\right) \\ \tau_{x}=\frac{\sqrt{2}}{2} l C_{T}\left(-\varpi_{1}^{2}+\varpi_{2}^{2}+\varpi_{3}^{2}-\varpi_{4}^{2}\right) \\ \tau_{y}=\frac{\sqrt{2}}{2} l C_{T}\left(\varpi_{1}^{2}+\varpi_{2}^{2}-\varpi_{3}^{2}-\varpi_{4}^{2}\right) \\ \tau_{z}=C_{M}\left(-\varpi_{1}^{2}+\varpi_{2}^{2}-\varpi_{3}^{2}+\varpi_{4}^{2}\right) \end{array}\right.$
其中,l为旋翼转子轴线与四旋翼无人机质心之间的距离,CT为拉力系数,CM为力矩系数。
描述四旋翼无人机系统的控制输入与位姿变量间动态关系的数学模型可以表示为
其中,m为四旋翼无人机的质量,g为重力加速度,Ix、Iy、Iz分别为四旋翼无人机相对ObXb轴、ObYb轴和ObZb轴的转动惯量,dk(k=1,2,3,4,5,6)为包含内部参数变化、外界环境干扰和未建模动态等的有界多源扰动项。
将四旋翼无人机系统式(2)分成一个2自由度的子系统A和一个4自由度的子系统B,两个子系统的状态空间模型分别为
$A:\left\{\begin{array}{l}\dot{x}_{1}=x_{2} \\\dot{x}_{2}=f_{1}+b_{1} u_{1}+d_{1} \\\dot{x}_{3}=x_{4} \\\dot{x}_{4}=f_{2}+b_{2} u_{2}+d_{2}\end{array} \quad B:\left\{\begin{array}{l}\dot{x}_{5}=x_{6} \\\dot{x}_{6}=f_{3}+b_{3} u_{1}+d_{3} \\\dot{x}_{7}=x_{8} \\\dot{x}_{8}=f_{4}+b_{4} u_{3}+d_{4} \\\dot{x}_{9}=x_{10} \\\dot{x}_{10}=f_{5}+b_{5} u_{1}+d_{5} \\\dot{x}_{11}=x_{12} \\\dot{x}_{12}=f_{6}+b_{6} u_{4}+d_{6}\end{array}\right.\right.$
其中: 系统状态$x_{1}=z$、$x_{2}=\dot{z}$、$x_{3}=\psi$、$x_{4}=\dot{\psi}$、$x_{5}=x$ 、$x_{6}=\dot{x}$,$x_{7}=\phi $、$x_{8}=\dot{\phi}$、$x_{9}=y$、$x_{10}=\dot{y}$、$x_{11}=\theta$、$x_{12}=\dot{\theta}$；控制输入u1=f、 u2=τz、 u3=τx、 u4=τy; f1=-g, b1=cosx7cosx11/m, f2=(Ix-Iy)x8x12/Iz, b2=1/Iz, f3=f5=0, f4=(Iy-Iz)x4x12/Ix, f6=(Iz-Ix)x4x8/Iy, b3=(cosx3sinx11cosx7+sinx3sinx7)/m, b4=1/Ix, b5=(sinx3sinx11cosx7-cosx3sinx7)/m, b6=1/Iy。
注:在式(3)中,u1和u2为子系统A的控制输入,子系统A是一个2自由度双输入全驱动系统。u3和u4为子系统B的控制输入,子系统c1是一个4自由度双输入欠驱动系统。
2 四旋翼无人机的滑模控制器设计
2.1 问题描述
定义系统各状态的跟踪误差为
el(t)=xl(t)-xld(t)
其中,xld(t)(l=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)表示系统各状态的期望值。四旋翼无人机系统的控制目标是合理地设计控制输入ui(i=1,2,3,4),使各子系统的状态xl分别收敛至其期望值xld,即使各子系统状态的跟踪误差el(t)收敛至零。
由式(2)可以看出,姿态角的期望值x7d和x11d会受到多源扰动d1、d3和d5的影响,为此这里采用如下所示姿态解算器:
其中, ${\hat{d}}_{1}$ 、 ${\hat{d}}_{3}$ 和 ${\hat{d}}_{5}$ 分别为多源扰动d1、d3和d5的逼近值,各多源扰动的逼近值由2.3小节设计的广义Super-Twisting干扰逼近器获得。
姿态角速度和角加速度的期望值$x_{8 d} 、 x_{12 d} 、 \dot{x}_{8 d} 、 \dot{x}_{12 d}$采用如下的有限时间收敛三阶微分器[12]得出
其中,v(t)表示输入信号,z1表示对输入信号的跟踪,z2表示输入信号一阶导数的逼近信号,z3表示输入信号二阶导数的逼近信号,σ表示微分器的内部参数。
2.2 控制滑动变量的设计
针对全驱动子系统A中的系统状态x1和x2,设计控制滑动变量S1(t)为
S1(t)=c1e1(t)+e2(t)
其中,c1为正常数。
针对全驱动子系统A中的系统状态x3和x4,设计控制滑动变量S2(t)为
S2(t)=c2e3(t)+e4(t)
其中,c2为正常数。
对于欠驱动子系统B的滑动变量设计,本文提出一种新型的分层滑模控制器滑动变量的构造方法,并采用该方法设计欠驱动子系统的第二层控制滑动变量。针对欠驱动子系统B中的系统状态x5至x8,定义第一层控制滑动变量为
其中,c3和c4为正常数。
为建立第一层控制滑动变量s1(t)和s2(t)之间的联系,利用第一层各控制滑动变量的反正切函数构造第二层控制滑动变量S3(t)为
S3(t)=α1arctan(s1(t))+β1arctan(s2(t))
其中,α1和β1为正常数。
在式(10)中,通过合理选择耦合系数α1和β1,可使第一层控制滑动变量s1(t)和s2(t)在第二层控制滑动变量S3(t)收敛至零后也能够减小至零。
针对欠驱动子系统B中的系统状态x9至x12,设计第一层控制滑动变量为
其中,c5和c6为正常数。
利用第一层控制滑动变量s3(t)和s4(t)的反正切函数,构造第二层控制滑动变量S4(t)为
S4(t)=α2arctan(s3(t))+β2arctan(s4(t))
其中,α2和β2为正常数。
在式(12)中,通过合理选择耦合系数α2和β2,可使第一层控制滑动变量s3(t)和s4(t)在第二层控制滑动变量S4(t)收敛至零后也能够减小至零。
2.3 广义Super-Twisting干扰逼近器的设计
对式(7)求导,由式(3)可以得到
$\dot{S}_{1}=\dot{x}_{2}+c_{1} e_{2}-\dot{x}_{2 d}=N_{1}+U_{1}+D_{1}$
其中,$N_{1}=f_{1}+c_{1} e_{2}-\dot{x}_{2 d}, U_{1}=\tilde{b}_{1} u_{1}, \tilde{b}_{1}=b_{1}, D_{1}=d_{1}$
对式(8)求导,由式(3)可以得到
$\dot{S}_{2}=\dot{x}_{4}+c_{2} e_{4}-\dot{x}_{4 d}=N_{2}+U_{2}+D_{2}$
其中,$N_{2}=f_{2}+c_{2} e_{4}-\dot{x}_{4 d}, U_{2}=\tilde{b}_{2} u_{2}, \tilde{b}_{2}=b_{2}, D_{2}=d_{2}$。
对式(10)求导,由式(3)可以得到
$\dot{S}_{3}=\alpha_{1} \frac{\dot{s}_{1}}{1+s_{1}^{2}}+\beta_{1} \frac{\dot{s}_{2}}{1+s_{2}^{2}}=N_{3}+U_{3}+D_{3}$
其中,
$\begin{aligned}& N_{3}=\frac{\alpha_{1}\left(c_{3} e_{6}+f_{3}+b_{3} u_{1}-\dot{x}_{6 d}\right)}{1+s_{1}^{2}}+\frac{\beta_{1}\left(c_{4} e_{8}+f_{4}-\dot{x}_{8 d}\right)}{1+s_{2}^{2}} \\U_{3}= & \tilde{b}_{3} u_{3}, \tilde{b}_{3}=\frac{\beta_{1} b_{4}}{1+s_{2}^{2}}, D_{3}=\frac{\alpha_{1} d_{3}}{1+s_{1}^{2}}+\frac{\beta_{1} d_{4}}{1+s_{2}^{2}}\end{aligned}$
对式(12)求导,由式(3)可以得到
$\dot{S}_{4}=\alpha_{2} \frac{\dot{s}_{3}}{1+s_{3}^{2}}+\beta_{2} \frac{\dot{s}_{4}}{1+s_{4}^{2}}=N_{4}+U_{4}+D_{4}$
其中:
$\begin{aligned}& N_{4}=\frac{\alpha_{2}\left(c_{5} e_{10}+f_{5}+b_{5} u_{1}-\dot{x}_{10 d}\right)}{1+s_{3}^{2}}+\frac{\beta_{2}\left(c_{6} e_{12}+f_{6}-\dot{x}_{12 d}\right)}{1+s_{4}^{2}}, \\U_{4}= & \tilde{b}_{4} u_{4}, \tilde{b}_{4}=\frac{\beta_{2} b_{6}}{1+s_{4}^{2}}, D_{4}=\frac{\alpha_{2} d_{5}}{1+s_{3}^{2}}+\frac{\beta_{2} d_{6}}{1+s_{4}^{2}} 。\end{aligned}$
为抑制多源扰动项Di(i=1,2,3,4)对四旋翼无人机的飞行控制性能的不良影响,采用广义Super-Twisting干扰逼近器实时观测各子系统中存在的多源扰动dk(k=1,2,3,4,5,6)。广义Super-Twisting干扰逼近器是一种典型的二阶滑模干扰逼近器,它可在保证系统多源扰动观测准确性的同时,避免因引入传统的非连续滑模逼近器所导致的控制器抖振问题。
为便于说明设计过程,定义X1=S1,X2=S2,X3=s1,X4=s2,X5=s3,X6=s4,$H_{1}=N_{1}+\tilde{b}_{1} u_{1}$, $H_{2}=N_{2}+\tilde{b}_{2} u_{2}$,$H_{3}=c_{3} e_{6}+f_{3}+b_{3} u_{1}-\dot{x}_{6 d}$, $H_{4}=c_{4} e_{8}+f_{4}+b_{4} u_{3}-\dot{x}_{8 d}$, $H_{5}=c_{5} e_{10}+f_{5}+b_{5} u_{1}-\dot{x}_{10 d}$, $H_{6}=c_{6} e_{12}+f_{6}+b_{6} u_{4}-\dot{x}_{12 d}$。
本文采用的广义Super-Twisting干扰逼近器的形式为
对于式(17)和式(18)所示的广义Super-Twisting干扰逼近器,可以证明多源扰动的逼近值 ${\hat{d}}_{k}$ 能够在有限时间内收敛至多源扰动的实际值dk[16]。此时,各多源扰动项Di(i=1,2,3,4)的逼近值 ${\hat{D}}_{i}$ (i=1,2,3,4)可表示为
2.4 模糊补偿器的设计
一般而言,对于动态的多源扰动项Di,基于广义Super-Twisting干扰逼近器的多源扰动项逼近值 ${\hat{D}}_{i}$ 与多源扰动项实际值Di之间会存在逼近误差δi(δi=Di- ${\hat{D}}_{i}$ )。为进一步降低逼近误差δi对四旋翼无人机控制性能的不利影响,设计模糊补偿器 ${\hat{\delta }}_{i}$ (xi|θi)对干扰逼近器的逼近误差进行补偿, ${\hat{\delta }}_{i}$ (xi|θi)的表达式为
$\hat{\delta}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i} \mid \boldsymbol{\theta}_{i}\right)=\hat{\boldsymbol{\theta}}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}_{i}\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)$
其中,ξi(xi)= $\left({\xi }_{i}^{1}\right({x}_{i}),{\xi }_{i}^{2}({x}_{i}),\dots,{\xi }_{i}^{l}({x}_{i}{\left)\right)}^{T}$ 为模糊基向量, ${\hat{\theta }}_{i}$ 为参数列向量。
设计参数列向量 ${\hat{\theta }}_{i}$ 的自适应律为
$\dot{\hat{\boldsymbol{\theta}}}_{i}=v_{i} S_{i} \xi_{i}(\boldsymbol{x})$
其中,υi为正常数。
模糊基向量ξi(xi)中第l个元素可为
其中,n表示输入xi的元素个数, ${\mu }_{{A}_{m}^{{j}_{m}}}$ 表示隶属函数, ${A}_{m}^{{j}_{m}}$ (jm=1,2,…,Nm)表示模糊集合,Nm为模糊规则的个数。以 ${x}_{i}^{m}$ 表示模糊逻辑系统的输入xi中的第m个元素,采用广义钟型隶属函数对模糊逻辑系统的输入xi进行模糊化,其表达式为
其中,参数 ${a}_{i}^{{j}_{m}}$ 和 ${b}_{i}^{{j}_{m}}$ 为正常数,参数 ${c}_{i}^{{j}_{m}}$ 确定广义钟型隶属函数中心,一般根据输入xi选取。此时参数向量 ${a}_{i}^{m}$ =( ${a}_{i}^{1}$ , ${a}_{i}^{2}$ ,…, ${a}_{i}^{{j}_{m}}$ ,…, ${a}_{i}^{{N}_{m}}$ );参数向量 ${b}_{i}^{m}$ =( ${b}_{i}^{1}$ , ${b}_{i}^{2}$ ,…, ${b}_{i}^{{j}_{m}}$ ,…, ${b}_{i}^{{N}_{m}}$ );参数向量 ${c}_{i}^{m}$ =( ${c}_{i}^{1}$ , ${c}_{i}^{2}$ ,…, ${c}_{i}^{{j}_{m}}$ ,…, ${c}_{i}^{{N}_{m}}$ )。
2.5 自调节滑模飞行控制器的设计
其中:pi=ri/ ${\overline{r}}_{i}$ (i=1,2,3,4),ri和 ${\overline{r}}_{i}$ 均为正奇数且ri> ${\overline{r}}_{i}$ ;qi=hi/ ${\overline{h}}_{i}$ ,hi和 ${\overline{h}}_{i}$ 均为正奇数且 ${\overline{h}}_{i}$ >hi; ${\overline{k}}_{i}$ 和 ${\overline{\lambda }}_{i}$ 为正常数。当|Si|≥1时对趋近增益ki(t)进行自适应调节,ki(t)的初始值为正常数;当|Si|<1时对趋近增益λi(t)进行自适应调节,λi(t)的初始值为 ${\overline{\lambda }}_{i}$ , ${\overline{k}}_{i}$ 为|Si|=1时ki(t)的自适应调节值。特别地,如果初始时刻|Si|<1, ${\overline{k}}_{i}$ 与ki(t)的初始值一致。趋近增益ki(t)和λi(t)的自调节率为
其中,γi和ρi为正常数。
由式(13)至式(21),并结合式(24)和式(25),可得四旋翼无人机系统的控制输入ui(i=1,2,3,4)为
$u_{i}=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{k_{i}(t)\left|S_{i}\right|{ }^{p_{i}} \operatorname{sgn}\left(S_{i}\right)+\bar{\lambda}_{i} S_{i}+N_{i}+\hat{D}_{i}+\hat{\delta}_{i}}{\tilde{b}_{i}} & \left|S_{i}\right| \geqslant 1 \\-\frac{\bar{k}_{i} S_{i}+\lambda_{i}(t)\left|S_{i}\right|{ }^{q_{i}} \operatorname{sgn}\left(S_{i}\right)+N_{i}+\hat{D}_{i}+\hat{\delta}_{i}}{\tilde{b}_{i}} & \left|S_{i}\right|＜1\end{array}\right.$
定理:对于四旋翼无人机系统式(3),设计各子系统的控制滑动变量如式(7)至式(12)所示,设计干扰逼近器如式(17)和式(18)所示,设计逼近误差补偿器如式(20)至式(23)所示,如果采用式(26)所示的各子系统的控制输入,那么各子系统的控制滑动变量Si(i=1,2,3,4)以及控制滑动变量一阶导数 ${\stackrel{ ·}{S}}_{i}$ (i=1,2,3,4)能够在有限时间内收敛至零。
证明:将滑模控制律式(26)分别代入式(13)至式(16),可得控制滑动变量一阶导数 ${\stackrel{ ·}{S}}_{i}$ (i=1,2,3,4)的表达式为
$\dot{S}_{i}=\left\{\begin{array}{ll}-k_{i}(t)\left|S_{i}\right|^{p_{i}} \operatorname{sgn}\left(S_{i}\right)-\bar{\lambda}_{i} S_{i}+D_{i}-\hat{D}_{i}-\hat{\delta}_{i} & \left|S_{i}\right| \geqslant 1 \\-\bar{k}_{i} S_{i}-\lambda_{i}(t)\left|S_{i}\right|^{q_{i}} \operatorname{sgn}\left(S_{i}\right)+D_{i}-\hat{D}_{i}-\hat{\delta}_{i} & \left|S_{i}\right|＜1\end{array}\right.$
设δi= ${\theta }_{i}^{*T}$ ξi(xi)+εi, ${\theta }_{i}^{*}$ 表示最优参数,εi表示模糊系统的补偿误差。由于多源扰动项的逼近值 ${\hat{D}}_{i}$ 和多源扰动项的实际值Di均有界,因此逼近误差δi有界,所以补偿误差εi亦有界。
当|Si|≥1时,定义Lyapunov能量函数Vi(i=1,2,3,4)为
$V_{i}=\frac{1}{2} S_{i}^{2}+\frac{1}{2 \gamma_{i}}\left(k_{i}(t)-k_{i}^{*}\right)^{2}+\frac{1}{2 v_{i}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{i}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{i}$
其中:未知正常数 ${k}_{i}^{*}$ 为ki(t)的最优值,$\tilde{\boldsymbol{\theta}}_{i}=\hat{\boldsymbol{\theta}}_{i}-\boldsymbol{\theta}_{i}^{*}$。
对式(28)求导,由式(27)可以得到
由式(29),进一步可得
$\dot{V}_{i} \leqslant-k_{i}^{*}\left|S_{i}\right|^{p_{i}+1}-\left|S_{i}\right|\left(\bar{\lambda}_{i}\left|S_{i}\right|-\left|\varepsilon_{i}\right|\right)$
由式(30)得,当 ${\overline{\lambda }}_{i}$ |Si|≥|εi|, $\stackrel{ ·}{V}$ ≤- ${k}_{1i}^{*}{\left|{S}_{i}\right|}^{{p}_{i}+1}$ <0。因此通过合理选取趋近参数 ${\overline{\lambda }}_{i}$ 使 ${\overline{\lambda }}_{i}$ ≥|εi|,可使Si减小至|Si|<|εi|/ ${\overline{\lambda }}_{i}$ ≤1。由此可见,控制滑动变量Si能够在有限时间内减小至|Si|<1。
当|Si|<1时,定义Lyapunov能量函数Li(i=1,2,3,4)为
$L_{i}=\frac{1}{2} S_{i}^{2}+\frac{1}{2 \rho_{i}}\left(\lambda_{i}(t)-\lambda_{i}^{*}\right)^{2}+\frac{1}{2 v_{i}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{i}^{\mathrm{T}} \tilde{\boldsymbol{\theta}}_{i}$
其中,未知正常数 ${\lambda }_{i}^{*}$ 为λi(t)的最优值。
对式(31)求导,由式(27)可以得到
由式(32),进一步可以得到
$\dot{L}_{i} \leqslant-\lambda_{i}^{*}\left|S_{i}\right|^{q_{i}+1}-\left|S_{i}\right|\left(\bar{k}_{i}\left|S_{i}\right|-\left|\varepsilon_{i}\right|\right)$
由式(33)得,当 ${\overline{k}}_{i}$ |Si|≥|εi|, ${\stackrel{ ·}{V}}_{i}$ ≤- ${\lambda }_{i}^{*}{\left|{S}_{i}\right|}^{{q}_{i}+1}$ <0。通过合理选择ki(t)的初始值和自调节参数ρi,使 ${\overline{k}}_{i}$ 足够大,可使控制滑动变量Si在有限时间内收敛至很小的零邻域|Si|≤|εi|/ ${\overline{k}}_{i}$ 。
通过适当地设计模糊补偿器,可使干扰逼近器的逼近误差εi任意小。不失一般性,当逼近误差εi足够小时,可认为逼近误差εi已减小至零。根据前述分析可知,各子系统的控制滑动变量Si(i=1,2,3,4)可在有限时间内减小至Si=0。容易看出,当补偿误差εi为零时,有Di= ${\hat{D}}_{i}$ - ${\hat{\delta }}_{i}$ 。从而由式(27)可知,控制滑动变量的一阶导数 ${\stackrel{ ·}{S}}_{i}$ 在控制滑动变量Si收敛至零后也能够收敛至零。
3 四旋翼无人机的飞行控制仿真测试
3.1 仿真环境和参数说明
针对本文提出的飞行控制算法,利用 Matlab 仿真环境对四旋翼无人机轨迹跟踪控制性能进行仿真测试。仿真测试包括两个部分,首先通过与现有控制算法控制性能的比较来验证本文控制算法的优越性,然后采用消融实验分析本文控制算法中各核心模块的作用。在轨迹跟踪控制仿真测试中,四旋翼无人机系统的名义模型参数分别为
为测试本文控制算法的多源扰动抑制能力,仿真测试中,考虑实际四旋翼飞行器系统中带有15%参数不确定性,即实际系统各模型参数为名义模型参数的1.15倍,同时对四旋翼无人机系统施加周期为1s、幅值为1的正弦干扰和如式(34)所示的空气阻力作用。四旋翼无人机系统所施加的多源扰动可以表示为
其中,Kk(k=1,2,3,4,5,6)空气阻力系数,仿真测试中空气阻力系数均取为0.2,Δfk和Δbk表示参数不确定性。
四旋翼无人机系统的初始条件为:x(0)=0m, $\stackrel{ ·}{x}$ (0)=0m/s,y(0)=0m, $\stackrel{ ·}{y}$ (0)=0m/s,z(0)=0m, $\stackrel{ ·}{z}$ (0)=0m/s,ϕ(0)=0rad, $\stackrel{ ·}{\varphi }$ (0)=0rad/s,θ(0)=0rad, $\stackrel{ ·}{\theta }$ (0)=0rad/s,ψ(0)=0rad, $\stackrel{ ·}{\psi }$ (0)=0rad/s。
四旋翼无人机系统各状态的期望值分别为:xd=cos(t)m, $\stackrel{ ·}{x}$ d=-sin(t)m/s, $\stackrel{ ··}{x}$ d=-cos(t)m/s2,yd=sin(t)m, $\stackrel{ ·}{y}$ d=cos(t)m/s, $\stackrel{ ··}{y}$ d=-sin(t)m/s2,zd=0.2tm, $\stackrel{ ·}{z}$ d=0.2m/s, $\stackrel{ ··}{z}$ d=0m/s,ψd=π/3rad, ${\stackrel{ ·}{\psi }}_{d}$ =0rad/s, ${\stackrel{ ··}{\psi }}_{d}$ =0rad/s2。
为便于后续的对比分析,充分整定本文控制算法的控制器参数, 使本文控制算法获得最佳的控制性能。 本文控制算法的控制器参数分别为:c1=0.82, c2=2.35, c3=0.94, c4=7.01, c5=1.06, c6=6.28, α1=3.33, β1=2.69, α2=8.09, β2=6.02, γ1=1.04, γ2=1.54, γ3=0.91, γ4=10.1, ρ1=1.98, ρ2=1.52, ρ3=1.74, ρ4=1.54, λ1=3.66, λ2=3.88, λ3=1.61, λ4=14.37, pi=7/3, qi=1/3。 k1(t)的初始值为0.66, k2(t)的初始值为6.57, k3(t)的初始值为3.76, k4(t)的初始值为39.83。
本文模糊补偿器的输入为:当i=1时,模糊逻辑系统的输入为x1=[x2];当i=2时,模糊逻辑系统的输入为x2=[x4];当i=3时,模糊逻辑系统的输入为x3=[x6,x8];当i=4时,模糊逻辑系统的输入为x4=[x10,x12]。
针对模糊补偿器的各输入分别设计5个模糊集,参数分别为:υ1=8760, υ2=5230, υ3=7830, υ4=3914, ${b}_{3}^{1}$ = ${b}_{3}^{2}$=${b}_{4}^{1}$=${b}_{4}^{2}$=(2,2,2,2,2), a1=(0.0289,0.0578,0.0867,0.0578,0.0289), a2=(0.2439,0.4878,0.7317,0.4878,0.2439), ${a}_{3}^{1}$=(0.3314,0.6628,0.9942,0.6628,0.3314), ${a}_{3}^{2}$=(0.1252,0.2504,0.3756,0.2504,0.1252), ${a}_{4}^{1}$=(0.3125,0.6251,0.9375,0.6251,0.3125), ${a}_{4}^{2}$=(0.3751,0.7502,1.1253,0.7502,0.3751), c1=(0,0.058,0.116,0.173,0.231), b1=(2,2,2,2,2), c2=(0,0.4867,0.9745,1.4623,1.95), b2=(2,2,2,2,2), ${c}_{3}^{1}$=(-1.5,-0.8,-0.2,0.5,1.1), ${c}_{3}^{2}$=(-0.5,0.25,0,0.25,0.5), ${c}_{4}^{1}$=(-1,-0.38,0.25,0.88,1.5), ${c}_{4}^{2}$=(-1.5,-0.8,0,0.8,1.5), 向量${\hat{\theta }}_{i}$(i=1,2,3,4)中元素初值均取0。
各微分器的内部参数均取为σ=0.3,各微分器的初始值z1(0)、z2(0)、z3(0)均为0。
3.2 控制性能对比
为更好地对比控制算法的动态控制性能,使用被控状态x2×k-1(k=1,2,3,4,5,6)的整体收敛时间Tr、平均综合误差E和平均能耗U三项性能指标来量化评价控制算法的动态控制性能。平均综合误差E和平均能耗U的定义为
$E=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{6} w_{i}\left|e_{2 i-1}\left(t_{j}\right)\right|, U=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{l=1}^{4} \bar{\pi}_{l}\left|u_{l}\left(t_{j}\right)\right|$
其中,n为采样点个数,tj为第j个采样时刻;权重wi=1/6(i=1,2,3,4,5,6)、权重$\varpi_{l}=1 / 4(l=1,2,3,4)$。
由图2中的仿真数据可知,EC+STCPRLHSMC控制算法被控状态的整体收敛时间为Tr1=5.802s,MRACDNNSP控制算法的整体收敛时间为Tr2=6.841s,FTDOSMC控制算法的整体收敛时间为Tr3=6.816s。由图2中的仿真数据和式(35)可知,EC+STCPRLHSMC控制算法的平均综合误差为E1=0.0340,MRACDNNSP控制算法的平均综合误差为E2=0.0410,FTDOSMC控制算法的平均综合误差为E3=0.0400。由图3中的仿真数据和式(35)可得,EC+STCPRLHSMC控制算法的平均能耗为U1=6.5489,MRACDNNSP控制算法的平均能耗为U2=6.5733,FTDOSMC控制算法的平均能耗为U3=6.5805。由此可见,本文控制算法的三项性能指标均优于文献[7]的控制算法和文献[11]的控制算法。对比结果表明,本文控制算法相较于文献[7]的控制算法和文献[11]的控制算法能够提供更好的动态控制性能。
为充分说明带模糊补偿的Super-Twisting干扰逼近器的逼近性能,使用补偿误差εi的平均值EDi(i=1,2,3,4)来量化说明,补偿误差的平均值EDi定义为
EDi= $\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}$ |εi(tj)|= $\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}$ |Di(tj)-(${\hat{D}}_{i}$ (tj)+ ${\hat{\delta }}_{i}$ (tj))|
其中, ${\hat{D}}_{i}$ (tj)+ ${\hat{\delta }}_{i}$ (tj)表示第j个采样时刻带模糊补偿的干扰逼近器多源扰动项逼近值。
由图4中的仿真数据和式(36)可得,多源扰动D1补偿误差的平均值ED1为0.0445,多源扰动D2补偿误差的平均值ED2为0.0152,多源扰动D3补偿误差的平均值ED3为0.0685,多源扰动D4补偿误差的平均值ED4为0.1312。仿真结果表明,本文所设计带模糊补偿的干扰观测器具有良好的多源扰动逼近性能。
此外,由图4中模糊补偿器的补偿误差εi的变化曲线还可以看出,模糊补偿器的补偿误差εi能够减小至零点附近很小的邻域内,从而验证了模糊补偿器理论设计和分析的正确性。
3.3 消融实验
采用消融实验分析本文控制算法各核心模块的作用,本文控制算法的核心模块包括模糊补偿器、新型分层滑模控制器和趋近增益自调节组合幂次趋近律。
1.模糊补偿器
首先,分析模糊补偿器在本文控制算法中的作用。将带模糊补偿器的本文控制算法与无模糊补偿器的控制算法进行对比分析,无模糊补偿器的控制算法不采用模糊补偿器对干扰逼近器的逼近误差进行补偿,其他设计与本文控制算法相同。同样地,在消融实验中,为保证控制算法对比的公平性,充分整定与本文控制算法对比的其他控制算法的控制器参数,使其他控制算法也能获得最佳的控制性能。
由图5中的仿真数据可知,带模糊补偿器的本文控制算法的整体收敛时间为Tr1=5.802s,无模糊补偿器的控制算法的整体收敛时间为Tr4=6.809s,使用带模糊补偿器的本文控制算法,整体收敛时间降低了1.007s。由图5中的仿真数据和式(35)可知,带模糊补偿器的本文控制算法的平均综合误差为E1=0.0340,无模糊补偿器的控制算法的平均综合误差为E4=0.0384。使用带模糊补偿器的本文控制算法,平均综合误差降低了0.0044。由图6中的仿真数据和式(35)可知,带模糊补偿器的本文控制算法的平均能耗为U1=6.5489,无模糊补偿器的控制算法的平均能耗为U4=6.5699。使用带模糊补偿器的本文控制算法,平均能耗降低了0.021。
2.新型分层滑模控制器
由图7中的仿真数据可知,采用新型分层滑模控制器的本文控制算法的整体收敛时间为Tr1=5.802s,采用常规分层滑模控制器的控制算法的整体收敛时间为Tr5=6.732s。采用新型分层滑模控制器的本文控制算法,整体收敛时间降低了0.93s。由图7中的仿真数据和式(35)可知,采用新型分层滑模控制器的本文控制算法的平均综合误差为E1=0.0340,采用常规分层滑模控制器的控制算法的平均综合误差为E5=0.0375。采用新型分层滑模控制器的本文控制算法,平均综合误差降低了0.0035。由图8中的仿真数据和式(35)可知,采用新型分层滑模控制器的本文控制算法的平均能耗为U1=6.5489,采用常规分层滑模控制器的控制算法的平均能耗为U5=6.5558。采用新型分层滑模控制器的本文控制算法,平均能耗降低了0.0069。
3.趋近增益自调节组合幂次趋近律
由图9中的仿真数据可知,使用趋近增益自调节组合幂次趋近律的本文控制算法的整体收敛时间为Tr1=5.802s,使用常规组合幂次趋近律的控制算法的整体收敛时间为Tr6=6.647s。使用趋近增益自调节组合幂次趋近律的本文控制算法,整体收敛时间降低了0.845s。由图9中的仿真数据和式(35)可知,使用趋近增益自调节组合幂次趋近律的本文控制算法的平均综合误差为E1=0.0340,使用常规组合幂次趋近律的控制算法的平均综合误差为E6=0.0361。使用趋近增益自调节组合幂次趋近律的本文控制算法,平均综合误差降低了0.0021。由图10中的仿真数据和式(35)可知,使用趋近增益自调节组合幂次趋近律的本文控制算法的平均能耗为U1=6.5489,使用常规组合幂次趋近律的控制算法的平均能耗为U6=6.5605。使用趋近增益自调节组合幂次趋近律的本文控制算法,平均能耗降低了0.0116。
通过本文控制算法与其他控制算法的对比分析可知,相较于其他控制算法,本文控制算法降低的平均能耗不超过0.021,即本文控制算法与其他控制算法的平均能耗基本相当。因此,本文主要以整体收敛时间和平均综合误差这两项性能指标来评价各核心模块的作用。通过整体收敛时间的比较和平均综合误差的比较可知,在本文控制算法中模糊补偿器起主要作用,新型分层滑模控制器的作用次之,趋近增益自调节组合幂次趋近律的作用最弱。
4 结论
本文对四旋翼无人机系统在内部参数变化、外界环境干扰、未建模动态过程等多源扰动作用下的飞行控制问题进行了研究,提出了一种基于多源扰动补偿和分层滑模控制的自调节滑模控制算法。在将整个系统分解为全驱动和欠驱动2个子系统的基础上,为全驱动子系统设计滑动变量,并提出一种新型的分层滑模控制滑动变量构造方法定义欠驱动子系统的滑动变量。基于所定义的各子系统的滑动变量,设计广义Super-Twisting干扰逼近器实时观测系统中的多源扰动。考虑到干扰逼近器逼近过程中存在的逼近误差,设计一种模糊补偿器对逼近误差进行补偿。采用组合幂次趋近律设计一种趋近增益自调节滑模控制器,在保证滑动变量收敛快速性的同时有效削弱滑模控制器的高频抖振。采用Lyapunov稳定性分析方法,证明了本文飞行控制算法的有效性。采用消融实验分析了本文飞行控制算法各核心模块的作用,并通过仿真对比实验结果验证了本文飞行控制算法的多源扰动抑制能力和动态控制性能的优越性。