弹箭与制导学报

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2026 , Vol. 46 >Issue 4: 353 - 363

DOI: https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2026.04.002

学术文章

基于参数-模型耦合的固体发动机内弹道性能预示方法

  • 叶一帆 ,
  • 邓恒 , * ,
  • 党进锋 ,
  • 井立峰 ,
  • 张楠 ,
  • 温锦航
展开
  • 陆空基信息感知与控制全国重点实验室, 西安现代控制技术研究所, 陕西 西安 710065
*

收稿日期: 2026-01-13

  网络出版日期: 2026-08-20

收起

A Parameter-model Coupling-based Predictive Method for the Internal Ballistic Performance of Solid Rocket Motor

  • YE Yifan ,
  • DENG Heng , * ,
  • DANG Jinfeng ,
  • JING Lifeng ,
  • ZHANG Nan ,
  • WEN Jinhang
Expand
  • National Key Laboratory of Land and Air Based Information Perception and Control, Xi’an Modern Control Technology Research Institute, Xi’an 710065,Shaanxi, China

Received date: 2026-01-13

  Online published: 2026-08-20

Fold

摘要

为了进一步提高固体发动机性能预示精度,提出了一种基于参数-模型耦合的固体发动机内弹道性能预示方法。首先,针对经典固体发动机零维内弹道性能预示结果与发动机实际工作结果的差异,对发动机性能预示偏差影响因素进行了分析,确定了预示偏差关键影响因素;然后,依据各影响因素的特点,分别通过引入性能预示待定参数和建立性能修正模型来表征其影响,并以此为基础提出了耦合预示框架;最后,分别以单室单推、单室双推固体发动机性能精确预示问题为例,基于试验数据开展了发动机内弹道性能预示及分析。结果表明,本文提出的性能预示方法不仅可以显著提升固体发动机推力、压强等宏观内弹道性能预示精度,还可以实现对燃面、喉径、燃速等细观参数精确预示,实现发动机推力、压强预示偏差不大于1%,质量流量预示偏差不大于0.1%,可支撑发动机工作过程分析。

关键词： 固体火箭发动机; 内弹道性能; 性能预示方法; 参数辨识; 模型修正

本文引用格式

叶一帆 , 邓恒 , 党进锋 , 井立峰 , 张楠 , 温锦航 . 基于参数-模型耦合的固体发动机内弹道性能预示方法[J]. 弹箭与制导学报, 2026 , 46(4) : 353 -363 . DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2026.04.002

Abstract

To further improve the prediction accuracy of solid rocket motor performance a parameter-model coupling-based predictive method for the internal ballistic performance of solid rocket motors is proposed.Firstly,the key factors influencing the prediction deviations are identified by analyzing the discrepancies between the predicted results of the classical zero-dimensional internal ballistic model and the actual motor operations.Secondly,in consideration of the characteristics of these factors,the prediction method is adjusted by using the undetermined parameters and the performance correction models to account for their respective effects.Based on this,a coupled prediction framework integrating both approaches is established.Finally,the internal ballistic performance is predicted and analyzed based on test data by taking the precise performance prediction problems of single-chamber single-thrust and single-chamber dual-thrust solid rocket motors as examples The results indicate that the proposed method significantly enhances the prediction accuracy of macroscopic internal ballistic parameters such as thrust and chamber pressure,while also enabling the precise estimation of mesoscopic parameters including burning surface area,nozzle throat diameter,and propellant burning rate.The prediction deviations for thrust and chamber pressure remain within 1%,and the prediction deviation for mass flow rate remains within 0.1%,thereby supporting comprehensive analysis of the engine's operational process.

Key words： solid rocket motor; internal ballistic performance; performance prediction method; parameter identification; model correction

0 引言

在固体火箭发动机论证阶段,其内弹道性能预示结果往往与发动机试验数据存在差异,因此需要基于试验数据建立精确的内弹道性能预示方法。不仅可以支撑飞行器精细化计算飞行性能,也可以为技术相近的其他固体火箭发动机性能精确预示提供支撑。
基于试验数据的预示方法可以分为模型驱动[1]和数据驱动[2]两类方法。数据驱动类方法一般不利用固体火箭发动机内弹道性能原理,直接基于试验数据,利用神经网络等智能算法直接建立发动机推力与工作环境、工作时间的关系[3-5],在具有大量试验数据的情况下精度较高,但无法对发动机非测量参数进行预示,因此难以指导发动机性能改进或对其他技术相近发动机提供借鉴。模型驱动类方法一般基于零维内弹道性能预示模型,利用试验数据对待定参数进行辨识,或对预示模型进行修正,与数据驱动类方法相比,其具有试验数据量需求小,能够对非测量参数进行预示的优点。
早期模型驱动类方法一般不对性能预示模型进行修正,只针对性能预示待定参数,如燃速[6-9]、喉径[10]等,进行参数辨识。最早这类研究往往采用最小二乘法、序列二次规划法等梯度类优化算法,随着计算机技术和数值优化算法的发展,一些启发式优化算法也被用于进行参数辨识,例如使用拉丁超立方设计[11-12]、遗传算法[13-14]、神经网络算法[15-16]以及混合智能算法[17]等。
尽管使用更先进的数值优化方法可以提升预示参数辨识的稳定性和精度,但没有突破经典零维内弹道性能预示模型自身的精度上限,对性能预示的精度提升仍有限。因此还有一些研究人员着眼于探索经典零维内弹道性能预示模型与发动机实际工作的差异,并对模型进行修正。
魏然[18]指出侵蚀燃烧等效应可能会导致固体火箭发动机在工作过程中产生燃面非等距推移[19-20],从而导致经典燃面退移结果与实际不符,需要依靠经验并耗费较多人力工作后才能反推出普适性较强的平均燃烧规律[21],因此需要根据发动机实际工作情况对燃面进行修正,这也是近年来模型驱动预示方法的基础。刘杨等[22]指出了经典燃面反算方法在发动机压强比达到1.3时的误差可达1.5~2.5%,这说明仅通过燃面修正而不对压强指数等参数进行辨识,预示误差仍然较大。张楠等[23]通过对试验数据分析,发现喉径烧蚀率不仅与工作压强相关,还与发动机工作时间呈非线性关系,证明了对喉径进行参数辨识的必要性。冯伟业[24]利用神经网络建立了喉径变化预示模型,实现了1.35%的发动机压强预示偏差,但由于没有进行燃面修正,导致喉径变化包含了部分燃面偏差。张凌等[25]首先基于遗传算法开展初步参数辨识,然后基于辨识结果进行燃面修正后进行二次辨识,序贯开展燃面修正和参数辨识,一定程度上提升了预示精度。
综合目前固体火箭发动机性能精确预示及修正研究,主要存在以下有待进一步发展的空间:
1)大多研究局限于更换不同数值优化算法,如将最小二乘法等梯度类优化算法,更换为遗传算法等启发式优化算法,对预示精度提升无法突破预示方法本身的精度上限;
2)已有一些数值计算或试验数据分析研究指出了发动机性能数学模型有待改进的部分,但大多研究将性能精确预示问题简单抽象为待定参数辨识,未进行性能模型修正或仅进行简单修正,且未能将待定参数辨识和性能模型修正整合为统一的性能预示框架,导致性能预示方法的精度难以进一步提升,在面向不同温度条件下性能预示、大压力比发动机性能预示等问题上精度较差。
与现有研究相比,本文的特色在于:
针对燃面非等距退移与喉径非线性烧蚀现象,提出了基于试验数据的燃面修正系数模型和喉径烧蚀率模型。基于此提出了一种参数辨识与模型修正的耦合框架,不同于以往研究仅侧重于参数辨识或简单模型修正,本文将性能预示待定参数寻优与燃面、喉径非线性修正模型紧密耦合,构建了统一的参数-模型耦合预示框架,能够显著提升内弹道性能的预示精度。

1 固体火箭发动机性能修正模型

1.1 固体火箭发动机性能预示偏差分析

固体火箭发动机内弹道性能预示结果往往与试验结果存在一定差异,一般与固体火箭发动机性能预示参数及模型相关,下面基于零维的固体火箭发动机性能龙格库塔预示方法,分析预示参数及预示模型中可能造成差异的因素,支撑建立高精度性能预示方法。
固体火箭发动机性能零维龙格库塔预示方法如式(1)所示。
$\begin{array}{l}\stackrel{\mathit{　}·}{\mathit{m}}={\mathit{K}}_{\mathit{a}}{\mathit{a}}_{0}{\mathit{P}}_{\mathit{C}}^{\mathit{n}}{\mathit{A}}_{\mathit{b}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{P}}\mathit{e}\mathit{x}\mathit{p}\left[{\mathit{\sigma }}_{\mathit{P}}\right(\mathit{T}-{\mathit{T}}_{0}\left)\right]\\ \frac{\mathit{d}{\mathit{P}}_{\mathit{c}}}{\mathit{d}\mathit{t}}=\frac{{\mathit{\eta }}_{\mathit{c}}^{2}{\mathit{R}}_{\mathit{g}}{\mathit{T}}_{\mathit{g}}}{{\mathit{V}}_{\mathit{c}}}\left[\stackrel{\mathit{　}·}{\mathit{m}}-\frac{{\mathit{P}}_{\mathit{c}}{\mathit{\eta }}_{\mathit{P}}{\mathit{A}}_{\mathit{t}}\mathit{\varphi }}{{\mathit{C}}^{\mathit{*}}{\mathit{\eta }}_{\mathit{c}}}\right]\times {10}^{-6}\\ \mathit{F}={\mathit{\xi }}_{\mathit{F}}{\mathit{C}}_{\mathit{F}}{\mathit{A}}_{\mathit{t}}{\mathit{P}}_{\mathit{c}}{\mathit{\sigma }}_{\mathit{f}}{\mathit{\eta }}_{\mathit{P}}\times {10}^{3}\end{array}$
式中, $\stackrel{\mathit{　}·}{\mathit{m}}$代表发动机流量,Pc代表发动机压强,F代表发动机推力,CF代表发动机推力系数,At代表发动机喉径,Ab代表装药燃面,n代表推进剂压强指数,T、T0分别代表发动机工作温度及参考温度,σP代表推进剂燃速温度敏感系数,ρ代表推进剂密度,a0代表推进剂燃速,C*代表推进剂特征速度、Rg、Tg代表燃气的气体常数和燃烧温度、Vc代表空腔容积。
发动机性能预示关键参数包括随时间变化的推力、压强及流量。首先,发动机流量与燃气参数、燃速、燃烧室压强、装药燃面、推进剂密度、燃温敏感系数、工作温度相关;发动机压强与特征速度、燃气参数、燃烧室空腔容积、质量流量、喷管喉径相关。发动机流量与压强在计算中需迭代求解获得,因此同时考虑二者计算影响因素。
其中,工作温度、燃气参数、推进剂密度、燃烧室空腔容积、流量系数这些参数,可以在进行预示前确定。
燃速与燃烧室压强、压强指数、特征压强下的燃速相关,燃烧室压强在迭代中可逐步获得,特征压强下的燃速以及压强指数存在尺寸效应,因此若直接参考推进剂小样测试结果会导致计算结果出现偏差,特征速度也存在同样的问题。
装药燃面在实际工作过程中可能与理论预示情况存在偏差,这部分偏差在设计过程中较难提前预知,但多次试验的一致性较高。
喷管喉径会在发动机工作过程中在燃气烧蚀作用下逐渐增大,但其一方面与工作压强强相关,另一方面与工作时间也存在一定关联性,在发动机工作初期往往表现出烧蚀率较低的现象。
燃温敏感系数偏差的影响在针对单次试验结果分析时无法考虑,会被燃速偏差影响涵盖,但如果具有几次不同温度下的发动机试验结果,就可以考虑燃温敏感系数偏差。
因此,对于发动机压强与流量,共存在特征燃速、压强指数、特征速度、燃面、喷管喉径、燃温敏感系数共6个预示偏差影响因素,其中特征燃速、压强指数、特征速度、燃温敏感系数在发动机工作过程中可认为是常量,因此可列为待定参数,燃面和喷管喉径则难以通过线性修正的方式获得精确结果,因此需要建立非线性修正模型。
而对于发动机推力,其与燃气参数、推力系数、发动机压强、喷管喉径相关。除已经计算得到的发动机压强外,推力系数仅与燃气参数和喷管扩张比相关,而喷管在工作过程中,其喉径变化显著大于出口直径变化,因此可假设喷管出口直径不变,则推力系数偏差的影响仅与喷管喉径相关。那么发动机推力偏差的影响因素在假设喷管出口直径不变的前提下只有喷管喉径,喉径本身也是压强预示偏差影响因素之一。
综上所述,发动机性能预示偏差影响因素如表1所示。
表1 预示偏差影响因素

Table 1 Influence factors of prediction deviation

影响因素 类型
C* 待定参数
a0
n
σP
Ab 修正模型
At
在本文提出的基于参数-模型耦合的内弹道性能修正方法中,不仅对影响内弹道性能预示结果的待定参数进行了修正,还针对发动机燃面、喷管喉径烧蚀率这两个影响较大且难以利用线性修正实现高精度预示的参数建立了修正模型。
若仅针对待定参数进行修正,则只能使发动机内弹道性能预示实现总冲、工作时间等宏观参数高精度预示;若只针对模型进行修正,虽然可以使压强、推力预示曲线形式与发动机实测结果相同,但建模结果必定存在一些不合理的参数,无法根据建模结果对发动机工作过程进行分析;而二者耦合修正,则可以实现对发动机喉径、燃面、燃速等细观参数在工作过程中的变化规律进行精确预示,不仅能够支撑推力、压强、流量的高精度预示,还可以辅助对发动机工作过程进行分析。

1.2 参数-模型耦合预示框架

参见图1,本文提出的基于参数-模型耦合的固体发动机内弹道性能预示方法由性能预示修正子模型和预示参数寻优子模型组成。其中,性能预示修正模型中包含喉径烧蚀率模型和燃面修正系数模型,二者附加在经典内弹道性能预示模型基础上,形成了性能预示修正模型。
图1 内弹道性能预示方法

Fig.1 The predictive method for the internal ballistic performance

首先,对性能预示修正模型输入内弹道性能预示模型待定参数;然后喉径烧蚀率模型、燃面修正系数模型据此重新建模,并获得修正后的内弹道性能预示结果;再结合发动机试验数据,得到性能预示修正模型预示偏差。
预示参数寻优模型中嵌套性能预示修正模型,通过数值优化方法,以性能预示修正模型预示偏差最小为优化目标,以内弹道性能预示模型待定参数为优化变量进行优化,获得能够使发动机内弹道性能预示偏差最小的性能预示修正模型及与之匹配的预示参数。
具体而言,本文提出的基于参数-模型耦合的内弹道性能修正方法基本流程如下:
1)根据发动机设计参数或实际试制情况,给出发动机预示待定参数初值(C*,a0,n,σP),其中特征速度、燃速为固定保留待定参数,压强指数、燃速温度敏感系数需根据发动机内弹道形式以及试验数据温度范围确定;
2)对发动机试验推力、压强测试数据进行滤波,并以0.01s为时间间隔取数据点(可根据发动机工作时间进行调整),以此为基础基于建立发动机喷管喉径烧蚀率修正模型;
3)基于当前待定参数(C*,a0,n,σP),利用发动机压强测试数据,建立发动机燃面修正模型;
4)利用修正后的模型进行内弹道性能预示,基于预示结果与实测数据进行比对,确定涵盖发动机流量、压强、推力的预示偏差;
5)若预示偏差足够小则修正完毕,若预示偏差不满足要求,则根据偏差修正预示待定参数(C*,a0,n,σP),并返回第3步。
和现有方法相比,本方法的核心差异主要体现在以下几方面:
首先,现有方法仅依据发动机压强测试数据,预示参数和预示模型的自由度较高但约束较弱,即不同的参数和模型组合可能都可以实现相近的压强预示精度,从而导致对发动机压强预示精度较高,但对发动机推力及流量的预示精度较低;本方法依据发动机压强、推力及流量(装药重量)测试数据,可以提升对预示参数和预示模型的约束度,同时实现对发动机压强、推力及流量的精确预示。
其次,现有方法序贯独立开展预示参数寻优和燃面修正,即首先在燃面修正系数固定的情况下进行预示参数寻优,然后固定预示参数进行燃面修正,如此往复直至结果满足需求,这种序贯式方法限制了预示参数和预示模型的寻优路径,导致每一个迭代子步中,预示参数和预示模型都会吸收由对方偏差引起的误差,再加上仅采用了压强测试数据,极易导致过拟合,不仅影响最终结果的外推性,也影响对推力、流量的预示精度;本方法建立的参数-模型耦合预示框架,将预示参数寻优子模型和性能预示修正子模型结合起来,对预示参数及燃面修正系数进行联合寻优,避免预示参数和修正模型互相吸收对方偏差引起的误差,不仅可以增强方法的外推性,也可以提升对发动机推力、压强、流量的预示精度。
最后,现有方法仅考虑了喉径烧蚀率与压强的关联关系,导致燃面修正系数模型会吸收发动机工作初期喷管喉径烧蚀率预估不准引起的误差,从而影响燃面修正系数模型的外推性;本方法在性能预示修正子模型中考虑了喉径烧蚀率随发动机工作时间的非线性变化过程,尽可能保证燃面修正系数模型结果仅包含了燃面非等距推移的影响,保证了燃面修正系数模型在相近长径比、相似药型装药之间的适用性。

1.3 性能预示修正子模型

1.3.1 性能预示修正框架

性能预示修正子模型的作用是,在给定固体火箭发动机性能计算待定参数后,例如推进剂特征速度、燃速及压强指数,获得修正后的发动机内弹道性能预示结果,其计算流程如图2所示。
图2 性能预示修正子模型

Fig.2 Corrected simulation model

图2中白底色流程代表经典零维内弹道性能计算程,性能预示修正子模型在其基础上,通过引入燃面修正模型和喉径烧蚀率模型,提升内弹道性能预示精度。
具体来说,首先,在经典内弹道性能预示模型中,计算得到某时刻发动机装药燃面时,利用式(2)对燃面进行修正:
Ab,c(t)=Ab(t)·μb(l(t))
式中,Ab代表发动机装药燃面,Ab,c代表修正后的发动机装药燃面,μb代表燃面修正系数,是装药肉厚l的函数,装药肉厚与当前内弹道预示的时刻相关。
并且利用喉径烧蚀率模型获得当前时刻的喷管喉径,喉径计算如式(3)所示。
${\mathit{A}}_{\mathit{t}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{c}}\right)=\underset{\mathit{t}=0}{\overset{{\mathit{t}}_{\mathit{c}}}{\int }}\mathit{A}″{\mathit{ }}_{\mathit{t}}\left(\mathit{t}\right)\mathit{d}\mathit{t}$
式中,A″t代表发动机模型计算的喷管喉径烧蚀率,t、tc分别代表时间及当前时刻。
因此,性能预示修正子模型的建模核心是,依据试验推力、压强逐点数据及经典内弹道性能预示模型,建立喉径烧蚀率模型和燃面修正系数模型,下文将介绍这两种模型的建模方法。

1.3.2 喉径烧蚀率模型建模方法

传统喉径烧蚀率模型一般仅与发动机工作压强相关,但结合张楠等[23]的研究成果,喉径在发动机工作过程中会逐渐升温,从而导致喉衬烧蚀率逐渐增大,在一段时间过后喉衬温度变化趋于稳定,即与发动机压强直接相关。因此发动机喉衬烧蚀率呈现发动机工作初始逐渐升高,一段时间后与发动机压强直接相关的变化趋势。
因此,首先基于发动机地面试验实测压强、推力数据,采用下式获得发动机喷管逐点喉径及烧蚀率:
$\begin{array}{ll}{\mathit{A}}_{\mathit{t}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)=\mathit{f}\left(\frac{\mathit{F}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)}{\mathit{P}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)}\right)& \mathit{i}=\mathrm{1,2},\dots \mathit{N}\\ \mathit{A}\mathit{\text{'}}{\mathit{ }}_{\mathit{t}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)=\frac{{\mathit{A}}_{\mathit{t}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}+1}\right)-{\mathit{A}}_{\mathit{t}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)}{{\mathit{t}}_{\mathit{i}+1}-{\mathit{t}}_{\mathit{i}}}& \mathit{i}=\mathrm{1,2},\dots \mathit{N}-1\end{array}$
式中,At代表发动机喷管喉径,A't代表发动机喷管喉径烧蚀率,F代表发动机试验推力数据,P代表发动机试验压强数据,ti代表试验数据中第i个数据点的时间,N代表试验逐点数据数。
然后,建立如下式所示的发动机喉径烧蚀率模型:
$\begin{array}{l}\mathit{A}″{\mathit{ }}_{\mathit{t}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)={\mathit{f}}_{1}\left(\mathit{P}\right({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\left)\right)·{\mathit{f}}_{2}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)\mathit{ }\mathit{i}=\mathrm{1,2},\dots \mathit{N}\\ {\mathit{f}}_{1}\left(\mathit{P}\right({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\left)\right)=\mathit{a}·\mathit{P}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)+\mathit{b}\\ {\mathit{f}}_{2}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{\mathit{e}}^{\mathit{c}·{\mathit{t}}_{\mathit{i}}}-1& {\mathit{e}}^{\mathit{c}·{\mathit{t}}_{\mathit{i}}}\le 2\\ 1& \mathit{e}\mathit{l}\mathit{s}\mathit{e}\end{array}\right.\end{array}$
式中,A″t代表发动机模型计算的喷管喉径烧蚀率,f1、f2分别为压强、时间修正函数,a、b、c分别为修正函数中的待定参数。
式(5)的含义是:发动机喷管喉径烧蚀率在工作初期烧蚀率缓慢升高,到达一定时间后仅与发动机工作压强呈线性关系。
最后,利用数值优化方法确定式(5)中的待定参数a、b、c,其中优化变量为待定参数,优化目标如式(5)所示。
$\mathit{A}\mathit{i}{\mathit{m}}_{\mathit{t}}=\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}\Vert \mathit{A}\mathit{\text{'}}{\mathit{ }}_{\mathit{t}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)-\mathit{A}″{\mathit{ }}_{\mathit{t}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right){\Vert }_{2}$
式中,Aimt代表喉径烧蚀率模型待定参数优化目标,即由实验反算喷管喉径与模型式(5)计算喷管喉径的均方差。

1.3.3 燃面修正系数模型建模方法

首先,利用经典内弹道性能预示模型,获得ti时刻的发动机压强P'(ti)及装药肉厚l(ti)。
然后,由于发动机工作压强与燃面呈线性关系,因此利用下式获得燃面修正系数:
μAb(l(ti))= $\frac{\mathit{P}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)}{\mathit{P}\mathit{\text{'}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)}$

1.4 预示参数寻优子模型

性能预示修正子模型可以在给定性能预示待定参数的情况下,通过燃面修正系数模型和喉径烧蚀率模型,以匹配试验压强、推力曲线为目标,获得更加准确的性能预示结果。
一般而言,设计人员根据研制经验或简单参数优化,可以使性能预示待定参数的偏差较小,从而获得比较准确的性能预示结果。但一方面性能预示结果精度仍有待提升,另一方面除推力、压强等宏观预示参数外的细观预示参数往往与实际不符。例如可能出现流量积分与装药重量差异较大、喷管喉径反算结果与实际差异较大等问题。
因此,在性能预示修正子模型的基础上,本文利用预示参数寻优子模型获得发动机逐点推力、逐点压强、逐点流量,建立如式(8)的内弹道预示偏差函数,并以预示偏差函数最小为优化目标,对性能预示待定参数进行优化。
$\begin{array}{l}\mathit{A}\mathit{i}{\mathit{m}}_{\mathit{n}\mathit{d}\mathit{d}}=\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}{\left|\left|\frac{\mathit{P}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)-{\mathit{P}}_{\mathit{c}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)}{\mathit{P}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)}\right|\right|}_{2}/\mathit{N}\\ +\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}}{\left|\left|\frac{\mathit{F}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)-{\mathit{F}}_{\mathit{c}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)}{\mathit{F}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)}\right|\right|}_{2}/\mathit{N}\\ +\Vert {\mathit{m}}_{\mathit{G}}-\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{N}-1}{\mathit{m}}_{\mathit{c}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)({\mathit{t}}_{\mathit{i}+1}-{\mathit{t}}_{\mathit{i}}){\Vert }_{2}\end{array}$
式中,Aimndd代表预示参数寻优模型优化目标,Pc、Fc、mc分别代表计算得到的发动机压强、推力、秒流量,mG代表发动机装药重量。

2 固体火箭发动机性能修正范例

2.1 固体火箭发动机性能修正算例

为验证本文提出的发动机性能预示方法的效果,基于两种固体火箭发动机试验数据建立性能修正算例。
算例1基于单室单推固体火箭发动机,试验温度涵盖高温、低温及自然温度。
算例2基于单室双推固体火箭发动机,试验温度为自然温度。
算例3基于单室单推固体火箭发动机,试验温度涵盖高温、低温及自然温度。

2.2 性能修正算例求解方法

2.2.1 算例1

由于算例1有不同温度下的地面试验结果,因此在全部待定参数(C*,a0,n,σP)中,保留燃速温度敏感系数,算例1发动机推力形式为单室单推力,发动机在工作过程中压强变化较小,因此将压强指数去除,最终确定待定参数为(C*,a0,σP)。
如表2所示,方法1考虑了全部剩余的5个影响因素,方法2没有考虑压强指数和特征速度的影响,方法3没有采用本文提出的喷管喉径烧蚀率模型,而是采用线性修正的方式对喷管喉径进行修正。
表2 算例1不同求解方法考虑的影响因素

Table 2 Considered influence factors in Case.1

影响因素 方法一 方法二 方法三
C* √ √
a0 √ √ √
σP √ √
Ab √ √ √
At √ √

2.2.2 算例2

由于算例2仅有自然温度下的地面试验结果,因此在全部待定参数(C*,a0,n,σP)中,将燃速温度敏感系数去除,同时算例1发动机推力形式为单室双推力,压强指数可以保留,最终确定待定参数为(C*,a0,n)。
在算例2中,同样采用了三种不同的求解方法进行计算,详见表3。
表3 算例2不同求解方法考虑的影响因素

Table 3 Considered influence factors in Case.2

影响因素 方法一 方法二 方法三
C* √ √
a0 √ √ √
n √ √
Ab √ √ √
At √ √

2.2.3 算例3

由于算例3有不同温度下的地面试验结果,因此在全部待定参数(C*,a0,n,σP)中,保留燃速温度敏感系数,算例3发动机推力形式虽然为单室单推力,但发动机在工作过程中压强变化较大,因此保留压强指数,最终确定待定参数为(C*,a0,n,σP)。
在算例3中,同样采用了三种不同的求解方法进行计算,详见表4。
表4 算例3不同求解方法考虑的影响因素

Table 4 Considered influence factors in Case.3

影响因素 方法一 方法二 方法三
C* √ √
a0 √ √ √
n √ √
σP √ √
Ab √ √ √
At √ √

2.3 发动机性能修正过程

发动机性能修正过程主要包含以下步骤:
1)给定初始待定参数组合(C*,a0,n,σP),包含特征速度、燃速系数、温度敏感系数、压强指数;
2. 基于待定参数组合(C*,a0,n,σP),利用发动机实测推力及压强数据,采用1.3.2节中给出的方法,获得喉径烧蚀率模型;
3)基于待定参数组合(C*,a0,n,σP)和步骤2建立的喉径烧蚀率模型,采用1.3.3节中给出的方法,获得燃面修正系数模型;
4)基于待定参数组合(C*,a0,n,σP)、步骤2建立的喉径烧蚀率模型、步骤3建立的燃面修正系数模型,获得发动机性能预示结果;
5)基于步骤4获得的发动机性能预示结果及发动机试验数据,利用1.4节中的式(8)计算性能预示偏差;
6)如果预示偏差较大,则基于步骤5获得的性能预示偏差,采用数值优化方法更新待定参数组合,并返回步骤2;如果预示偏差较小,则修正结束。
在执行性能修正时,采用经典差分进化算法[26]对待定参数进行优化,初始种群大小设置为待定参数个数的10倍,迭代步数设置为种群大小的10倍,初始种群进行随机初始化。
以优化变量最多的算例3为例,待定参数个数为4,初始种群大小为40。图3和图4分别给出了固定执行400步条件下,算例4计算过程中优化变量随迭代步数变化曲线,以及独立执行10次计算时目标函数变化曲线。由于本文采用的差分进化算法对初值不敏感,因此在10次独立执行时,优化在300步前基本收敛,目标函数均可以在400步以内降低到较低水平。
图3 算例4计算过程中优化变量随迭代步数变化曲线

Fig.3 Curve of optimization variables vs iteration steps in Case 4

图4 算例4执行10次目标函数变化曲线

Fig.4 The curve of the change in the objective function in Case 4 after 10 independent calculations

2.4 发动机性能修正结果对比

2.4.1 算例1

针对算例1,由于发动机具有多次自然温度试验结果,因此选取数次自然温度试验结果代入本文提出的性能预示方法,然后将预示结果与其他试验数据进行对比,获得预示误差。
图5给出了针对算例1进行求解后,获得的燃面修正系数随装药肉厚变化曲线,其中肉厚经过了归一化处理。
图5 燃面修正系数随装药肉厚变化曲线

Fig.5 Curve of correction factor vs grain thickness

需要说明的是,由于发动机在工作初期一般存在初始点火峰,在工作末期一般存在拖尾,因此会导致燃面修正系数在工作初期和工作末期极大。在实际计算时,给燃面修正系数人为设定了上下限,这样虽然会导致无法对初始点火峰和拖尾准确预示,但计算方法本身物理意义更加合理。
从图5中可以看出,在发动机工作初期(对应图5中装药相对燃烧肉厚0~20%区域),燃面修正系数显著大于1,随着装药相对燃烧肉厚逐渐升高,修正系数逐渐降低。
图6、图7给出了采用前文提到的三种求解方法获得的性能预示结果的推力、压强逐点偏差,表5给出了预示结果的均方根误差,包括压强、推力和质量流量,其中质量流量误差是通过流量预示结果对时间积分获得装药重量,与发动机实际情况对比获得。
图6 不同计算方法获得的常温压强预示误差

Fig.6 Curves of pressure errors(+20℃)gained by different methods

图7 不同计算方法获得的常温推力预示误差

Fig.7 Curves of thrust errors(+20℃)gained by different methods

表5 不同方法预示结果均方根误差

Table 5 Mean square errors of predicted results in different methods

预示工况 均方根误差/% 方法1 方法2 方法3
常温 压强 0.5 1.0 1.2
推力 0.4 0.6 1.0
流量 <0.1 3.3 <0.1
高温 压强 0.5 1.2 1.5
推力 0.5 0.7 1.3
流量 <0.1 3.7 <0.1
低温 压强 0.6 1.2 1.3
推力 0.5 0.6 1.3
流量 <0.1 3.4 <0.1

2.4.2 算例2

针对算例2,由于发动机具有多次不同温度下的试验结果,因此选取数次不同温度试验结果代入本文提出的性能预示方法,然后将预示结果与其他温度下的试验数据进行对比,获得预示误差。
图8给出了针对算例2进行求解后,获得的燃面修正系数随装药肉厚变化曲线。
图8 燃面修正系数随装药肉厚变化曲线

Fig.8 Curve of correction factor vs grain thickness

图9、图10给出了采用前文提到的三种求解方法获得的性能预示结果的推力、压强逐点偏差,表6给出了压强、推力和质量流量预示结果的均方根误差。
图9 不同计算方法获得的常温压强预示误差

Fig.9 Curves of pressure errors (+20℃) gained by different methods by

图10 不同计算方法获得的常温推力预示误差

Fig.10 Curves of thrust errors(+20℃)gained by different methods

表6 不同方法预示结果均方根误差

Table 6 Mean square errors of predicted results in different methods

预示工况 均方根误差/% 方法1 方法2 方法3
常温 压强 0.3 1.7 1.8
推力 0.9 1.8 2.1
流量 <0.1 3.3 <0.1

2.4.3 算例3

针对算例3,由于发动机具有多次不同温度下的试验结果,因此选取数次不同温度试验结果代入本文提出的性能预示方法,然后将预示结果与其他温度下的试验数据进行对比,获得预示误差。
图11给出了针对算例3进行求解后,获得的燃面修正系数随装药肉厚变化曲线。
图11 燃面修正系数随装药肉厚变化曲线

Fig.11 Curve of correction factor vs grain thickness

图12、图13给出了采用前文提到的三种求解方法获得的性能预示结果的推力、压强逐点偏差,表7给出了压强、推力和质量流量预示结果的均方根误差。
图12 不同计算方法获得的常温压强预示误差

Fig.12 Curves of pressure errors (+20℃) gained by different methods

图13 不同计算方法获得的常温推力预示误差

Fig.13 Curves of thrust errors (+20℃) gained by different methods

表7 不同方法预示结果均方根误差

Table 7 Mean square errors of predicted results in different methods

预示工况 均方根误差/% 方法1 方法2 方法3
常温 压强 0.5 0.8 0.9
推力 0.6 1.3 1.6
流量 <0.1 3.9 <0.1
高温 压强 0.6 0.9 0.9
推力 0.5 1.5 1.7
流量 <0.1 4.5 <0.1
低温 压强 0.4 0.7 0.8
推力 0.5 1.2 1.7
流量 <0.1 4.2 <0.1

2.5 发动机性能修正结果分析

图5、图8、图11分别给出了三个算例的装药燃面修正系数随装药肉厚的变化趋势。可以看到算例1和算例2修正系数变化较明显,修正系数最大接近1.15,这表明发动机在工作过程中出现了明显的燃面非等距偏移现象。而算例3的修正系数相对较小,说明发动机工作过程中燃面变化基本与预示情况一致。
由于1.3.3节中给出的装药燃面修正模型,是以匹配发动机试验压强为目标建立的,因此即便性能预示待定参数不准,也能获得对发动机工作压强足够精确的预示结果。但在这种情况下,燃面修正系数结果必定与实际情况存在较大差异,从而导致发动机推力、流量预示结果出现偏差。
结合表5至表7可见,在压强预示精度方面,所有方法的压强预示偏差均在2%以内,这是因为都利用装药燃面修正模型对发动机在工作过程中出现的燃面非等距偏移现象进行了修正。
在推力预示精度方面,方法3和方法2相比压强预示精度接近,但推力预示精度明显更大,这是因为燃面修正模型可以保证压强预示精度较高,但方法3没有建立如1.3.2节所示的喷管喉径烧蚀率模型,导致无法准确预估喷管在发动机工作过程中的非线性烧蚀过程,因此在相同压强条件下,对发动机推力预示误差较大。
在质量流量预示精度方面,方法1和方法3的质量流量预示误差大于0.1%,显著低于方法2这是因为方法2没有利用预示参数寻优子模型将特征速度等待定参数代入性能预示修正中,导致其燃面修正系数结果和实际情况偏离过大。在方法2所建立的性能预示模型中,需要更大的燃面才能获得与试验结果相近的压强和推力,导致其质量流量预示结果比实际情况高。
最后,由于方法1利用预示参数寻优子模型对所有性能预示待定参数进行了寻优,因此相对于方法2和方法3,将推力、压强预示偏差从不大于2%提升至不大于1%,且质量流量偏差不大于0.1%。
将方法1的预示精度与公开文献中的方法[24-25]进行相比可知,本文提出的方法可将压强预示精度由1.44%降低至0.6%以内。由于现有公开方法没有采用类似本文方法的“参数-模型耦合预示框架”,因此其精度与部分人为给定的待定参数关联性较大,导致推力及流量的预示精度较差,因此文中并未给出推力预示精度,而本方法的推力预示精度不大于1%,流量预示偏差不大于0.1%。

3 工程应用讨论

3.1 数据来源对方法的影响

在工程实际中,由于发动机规模、测试条件以及数据来源的不同,试验数据往往可能存在噪声、采样率较低或缺失某一通道等现象,下面将分析这些工程实际问题对本方法可能造成的影响。
在数据噪声和采样率方面。由于本方法在进行性能预示时,使用的试验压强和推力逐点数据是经过滤波且精简的,实际建立性能预示方法时使用的试验数据量本身就较少,因此采样率对本方法几乎没有影响。而试验数据噪声的影响也因为滤波处理而影响较小,从三个算例的精度中可以看到,三种算例均有不同程度的噪声,但精度结果基本一致。
在测试通道缺失方面,例如缺少压强或推力测试数据。由于本方法建立修正模型和辨识待定参数,严重依赖于压强数据、推力数据以及二者之间的相对关系,因此本方法不适用于缺失压强或推力测试数据的场景。

3.2 方法外推性分析

传统方法单纯基于发动机试验数据建立燃面修正系数模型,若待定参数设置不当,则可能导致燃面系数修正模型吸收待定参数偏差导致的误差。本文通过建立压强、推力及秒流量(装药量)的优化目标函数,对待定参数进行优化,提升了待定参数的预示精度,一定程度避免了待定参数偏差的影响。
但在这种情况下,燃面修正模型的外推性依然较差,基于一个发动机试验数据建立的燃面修正系数,仅可外推用于长径比、药型设计相近的发动机,对于全新设计的发动机,应利用试验数据重新建立修正模型。

4 结论

以经典零维内弹道性能预示方法和试验数据为基础,同时考虑性能预示待定参数寻优和性能预示模型修正,建立了基于参数-模型耦合的内弹道性能精确预示方法。通过单室单推、单室双推固体发动机性能精确预示算例,验证了本文提出的性能预示方法各模块的有效性,主要结论如下:
1)利用装药燃面修正模型可以对发动机在工作过程中出现的燃面非等距偏移现象进行修正,降低发动机压强预示偏差至2%以内;
2)利用喉径烧蚀率模型,可以准确预估喷管在发动机工作过程中的非线性烧蚀过程,降低发动机推力预示偏差至2%以内;
3)利用预示参数寻优子模型可以对性能预示待定参数进行寻优,可以实现推力、压强预示偏差从不大于1%,发动机流量预示偏差不大于0.1%。

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