0 引言
随着现代化作战任务变化和精确制导弹药技术快速发展,为更好地发挥战斗部威力,针对多约束制导律的研究具有很大实际工程价值。
针对不同应用对象,根据多种理论方法提出了多种带终端角度约束的制导律[1]。迄今研究较为深入、应用较为广泛的是基于最优控制依据不同期望指标获得不同形式的带多约束制导律。带终端角度约束制导相关理论成果于1969年在Apollo飞船月球表面垂直着陆得到应用[2],Kim和Grider于1973年较早地提出带落角约束最优制导律问题[3],自此开始该课题一直吸引着专家学者的关注,并取得许多成果。Zarchan[3]应用施瓦茨(Schwarz)不等式详细地推导了弹道成型制导律,并解析分析了角度约束和确定性误差干扰对过载指令的影响。Ben-Asher等[4]研究表明弹道成型制导律有利于降低对剩余时间估计偏差的敏感度。Ryoo等[5-6]后续研究了考虑动力学滞后的制导系统特性以及剩余飞行时间估计问题。常超、祁载康等[7]研究了系统滞后及阶次对位置脱靶量和角度脱靶量的影响。Ohlmeyer等[8]以剩余飞行时间幂函数的倒数为最优目标罚函数的权重,最早推导了广义矢量最优制导律,推广了传统弹道成型制导律。刘大卫等[9]采用施瓦茨不等式推导了广义弹道成型制导律,研究了一阶动力学滞后系统的位置和角度脱靶量特性,并给出可用过载限制的导引系数设计方法。王辉等[10-11]求解得到了由初始位置误差、方向误差、目标机动及角度约束引起的加速度指令解析解,研究了一阶动力学滞后制导系统的无量纲位置脱靶量和角度脱靶量特性。温求遒等[12]基于线性二次最优控制推导了扩展多约束制导律;通过无量纲化加速度指令变化规律分析,提出了制导初始条件设计方法及最大需用过载估计方法。张文渊等[13]推导了含一阶动力学滞后的多约束最优制导律,研究了导引头隔离度和制导参数对稳定性及制导性能的影响。
在上述文献基础上,文中进一步深入研究了扩展多约束制导律的无量纲化加速度指令特性,同时推导了相应视线角变化的解析解并分析了无量纲化视线角变化特性。最后仿真验证了相关解析结论的有效性。
1 扩展多约束最优制导律
将图1模型写成状态方程形式为
带终端落角约束问题可转化为终端约束最优控制问题[2],其最优目标罚函数为:
对应终端约束条件为:
y(tf)=0, $\stackrel{·}{y}$ (tf)= ${\stackrel{·}{y}}_{f}$
其中,R(t)为正定时变权函数,其定义为:
R(t)=1/(tf-t)n=1/ ${t}_{go}^{n}$ ,n≥0
ac(t)=Npvc $\stackrel{·}{\lambda }$ + $\frac{{N}_{\lambda }{v}_{c}\left(\lambda \right(t)-{\lambda }_{f})}{{t}_{go}}$ +Ntat
表1 扩展多约束最优制导律典型导引系数 |
| 组序号 | n | Np | Nλ | Nt |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 4 | 2 | 1 |
| 2 | 0.5 | 5 | 3.75 | 0.625 |
| 3 | 1 | 6 | 6 | 0 |
2 最优制导律特性分析
掌握不同确定性误差及约束因素下的弹道解析特性,尤其是需用过载和视线角变化趋势,将非常有助于总体方案设计和指标论证,其确定性误差包括初始位置误差、初始瞄准方向误差、目标机动3项,约束是指终端落角约束。
2.1 加速度指令变化
令导弹初始瞄准方向角误差为β0,小角度假设下有:
根据视线角几何关系有λ=y/r=y/(vctgo),对该式求导得:
进一步整理得:
因此可知加速度指令式(5)右侧各项为误差扰动或约束的所需加速度分量,即
ac(t)= ${\left.a\left(t\right)\right|}_{y\left(0\right)}$ + ${\left.a\left(t\right)\right|}_{{\beta }_{0}}$ + ${\left.a\left(t\right)\right|}_{{\lambda }_{f}}$ + ${\left.a\left(t\right)\right|}_{{a}_{t}}$
引入无量纲时间 $\stackrel{-}{t}$ =t/tf、无量纲加速度 ${\left.\stackrel{-}{a}\right|}_{y\left(0\right)}$ = $\frac{a\left(t\right)}{y\left(0\right)/{t}_{f}^{2}}$ , ${\left.\stackrel{-}{a}\right|}_{{\beta }_{0}}$ = $\frac{a\left(t\right)}{-{v}_{m}{\beta }_{0}/{t}_{f}}$ , ${\left.\stackrel{-}{a}\right|}_{{\lambda }_{f}}$ = $\frac{a\left(t\right)}{-{v}_{c}{\lambda }_{f}/{t}_{f}}$ , ${\left.\stackrel{-}{a}\right|}_{{a}_{t}}$ = $\frac{a\left(t\right)}{{a}_{t}}$ ,整理可得上述各误差扰动或约束引起的无量纲化加速度,即
对于初始位置误差项,尽管这里y(0)=0,但工程上可能存在,故依然做分析。求解 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{y\left(0\right)}$ 关于 $\stackrel{-}{t}$ 的一阶、二阶导数为:
由式(14)分析知:在 ${\stackrel{-}{t}}^{*}$ = $\frac{2}{n+2}$ ,0<n≤1处有唯一极小值 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left({\stackrel{-}{t}}^{*}\right)\right|}_{y\left(0\right)}$ =-(n+2)(n+3) ${\left(\frac{n}{n+2}\right)}^{n}$ ;当n=0,函数 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left({\stackrel{-}{t}}^{*}\right)\right|}_{y\left(0\right)}$ 单调递减。再结合式(10)求解两端点值,比较可知当0<n≤1时,所需加速度绝对值最大值发生在初始时刻,且终端所需加速度为0;当n=0时,所需加速度线性递减,初始和终端时刻绝对值相等。令式(10)等于0,知所需加速度过零时刻为 ${\stackrel{-}{t}}_{z}$ = $\frac{1}{n+2}$ , 0≤n≤1,即当n=0时,发生在末制导中间时刻,随着n增大,过零时刻提前。分析结果与图2(a)结果一致。
对于初始瞄准方向角误差项,求解 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\beta }_{0}}$ 关于 $\stackrel{-}{t}$ 的一阶、二阶导数为:
由式(15)分析知:在 ${\stackrel{-}{t}}^{*}$ = $\frac{3}{n+3}$ ,0<n≤1处有唯一极小值 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left({\stackrel{-}{t}}^{*}\right)\right|}_{{\beta }_{0}}$ =-(n+2) ${\left(\frac{n}{n+3}\right)}^{n}$ ;当n=0,函数 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left({\stackrel{-}{t}}^{*}\right)\right|}_{{\beta }_{0}}$ 单调递减。再结合式(11)求解两端点值,比较可知:当0<n≤1时,所需加速度绝对值最大值发生在初始时刻,且终端所需加速度为0;当n=0时,所需加速度线性递减,初始为终端时刻绝对值的两倍。令式(11)等于0,知所需加速度过零时刻为 ${\stackrel{-}{t}}_{z}$ = $\frac{2}{n+3}$ ,0≤n≤1,即当n=0时发生在末制导三分之二的时刻,随着n增大,过零时刻提前。分析结果与图2(b)结果一致。
对于终端落角约束项,求解 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\lambda }_{f}}$ 关于 $\stackrel{-}{t}$ 的一阶、二阶导数为:
由式(16)分析知:在 ${\stackrel{-}{t}}^{*}$ = $\frac{2n+3}{(n+1)(n+3)}$ ,0<n≤1处有唯一极小值 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left({\stackrel{-}{t}}^{*}\right)\right|}_{{\lambda }_{f}}$ = -(n+2)2(1- $\frac{2n+3}{(n+1)(n+3)}$ )n;当n=0,函数 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left({\stackrel{-}{t}}^{*}\right)\right|}_{{\lambda }_{f}}$ 单调递减。再结合式(12)求解两端点值,比较可知:当0<n≤1时,所需加速度绝对值最大值发生在初始时刻或 ${\stackrel{-}{t}}^{*}$ 时刻,且终端所需加速度为0;当n=0时,所需加速度线性递减,初始时刻绝对值为终端时刻绝对值的二分之一。令式(12)等于0,知所需加速度过零时刻为 ${\stackrel{-}{t}}_{z}$ = $\frac{1}{n+3}$ ,0≤n≤1,随着n增大,过零时刻提前。分析结果与图2(c)结果一致。
对于目标机动项,求解 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{a}_{t}}$ 关于 $\stackrel{-}{t}$ 的一阶、二阶导数为:
由式(17)分析知:在 ${\stackrel{-}{t}}^{*}$ = $\frac{2}{n+3}$ ,0<n≤1处有唯一极大值 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}{ }^{*}\right)\right|}_{{a}_{t}}$ = $\frac{(n+1)(n+2)}{2}{\left(\frac{n}{n+3}\right)}^{n}$ ;当n=0, ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}{ }^{*}\right)\right|}_{{a}_{t}}$ =1。再结合式(13)求解两端点值,比较可知:当0<n≤1时,所需加速度绝对值最大值发生在 $\stackrel{-}{t}$ *时刻,且终端所需加速度为0;当n=0时,所需加速度保持常值。分析结果与图2(d)结果一致。
另外,由图2知对于n不同取值,无量纲化加速度曲线相交于t1(0.2tf附近)和t2(0.8tf附近)。初始位置误差、瞄准误差以及终端落角约束的无量纲化加速度变化趋势随n变化一致,当t<t1,无量纲化加速度随n的增大而增大;当t1<t<t2,无量纲化加速度曲线随n的增大而下拉;当t>t2,无量纲化加速度随n的增大而减小。目标机动的无量纲化加速度变化趋势与上述相反。
瞄准误差以及终端落角约束的无量纲化加速度曲线过零点时刻分别为 ${\stackrel{-}{t}}_{z\beta }$ = $\frac{2}{n+3}$ 、 ${\stackrel{-}{t}}_{z\lambda }$ = $\frac{1}{n+3}$ ,0≤n≤1,所以当0< $\stackrel{-}{t}$ <1/(n+3), ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\beta }_{0}}$ 、 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\lambda }_{f}}$ 均大于0;当2/(n+3)< $\stackrel{-}{t}$ <1, ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\beta }_{0}}$ 、 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\lambda }_{f}}$ 均小于0。若瞄准方向角误差β0与终端期望落角λf极性相反,则在初始段0< $\stackrel{-}{t}$ <1/(n+3)、后段2/(n+3)< $\stackrel{-}{t}$ <1,前者引起需用过载有抵消,后者引起需用过载的作用,对工程化应用非常有益。
由无量纲加速度 ${\left.\stackrel{-}{a}\right|}_{y\left(0\right)}$ = $\frac{a\left(t\right)}{y\left(0\right)/{t}_{f}^{2}}$ , ${\left.\stackrel{-}{a}\right|}_{{\beta }_{0}}$ = $\frac{a\left(t\right)}{-{v}_{m}{\beta }_{0}/{t}_{f}}$ , ${\left.\stackrel{-}{a}\right|}_{{\lambda }_{f}}$ = $\frac{a\left(t\right)}{-{v}_{c}{\lambda }_{f}/{t}_{f}}$ 知初始位置误差、瞄准误差以及终端落角约束引起的加速度a(t)幅值随着飞行时间tf增大而减小,这就要求飞行时间tf足够长来保证导弹需用过载不超过可用过载。
2.2 视线角变化
由 $\stackrel{·}{y}$ (t)=at-ac积分可得:
初始条件 $\stackrel{·}{y}$ (0)=-vmβ0,终端条件 $\stackrel{·}{y}$ (tf)=-vcλf,展开式(18)右端依次积分,可得:
对式(19)~式(22)再次积分可得:
由各项引起的视线角变化表达式分别为:
引入无量纲时间 $\stackrel{-}{t}$ =t/tf、无量纲视线角 ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\right|}_{y\left(0\right)}$ = $\frac{\lambda \left(t\right)}{y\left(0\right)/\left({v}_{c}{t}_{f}\right)}$ , ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\right|}_{{\beta }_{0}}$ = $\frac{\lambda \left(t\right)}{-{\beta }_{0}{v}_{m}/{v}_{c}}$ , ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\right|}_{{\lambda }_{f}}$ = $\frac{\lambda \left(t\right)}{{\lambda }_{f}}$ , ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\right|}_{{a}_{t}}$ = $\frac{\lambda \left(t\right)}{0.5{a}_{t}{t}_{f}^{2}/\left({v}_{c}{t}_{f}\right)}$ = $\frac{\lambda \left(t\right)}{0.5{a}_{t}{t}_{f}/{v}_{c}}$ ,上述各误差扰动产生的无量纲化视线角为:
对于初位置误差项,求解 ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{y\left(0\right)}$ 关于 $\stackrel{-}{t}$ 的一阶、二阶导数为:
由式(35)分析知:在 $\stackrel{-}{t}$ *= $\frac{1}{{(n+2)}^{2}}$ ,0≤n≤1处有唯一极大值 ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\left(\stackrel{-}{t}{ }^{*}\right)\right|}_{y\left(0\right)}$ = $\frac{n+3}{n+2}$ (1- $\frac{1}{{(n+2)}^{2}}$ )n+1。当0≤ $\stackrel{-}{t}$ ≤ ${\stackrel{-}{t}}^{*}$ ,无量纲视线角单调增加;当 $\stackrel{-}{t}$ *≤ $\stackrel{-}{t}$ ≤1,无量纲视线角单调递减至零,即克服了初始位置误差影响。分析结果与图3(a)结果一致。
对于初始瞄准方向角误差项,求解 ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\beta }_{0}}$ 关于 $\stackrel{-}{t}$ 的一阶、二阶导数为:
由式(36)分析知:在 ${\stackrel{-}{t}}^{*}$ = $\frac{1}{n+2}$ ,0≤n≤1处有唯一极大值 ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\left({\stackrel{-}{t}}^{*}\right)\right|}_{{\beta }_{0}}$ = $\frac{1}{n+2}$ ( $\frac{n+1}{n+2}$ )n+1。当0≤ $\stackrel{-}{t}$ ≤ ${\stackrel{-}{t}}^{*}$ ,无量纲视线角单调增加;当 ${\stackrel{-}{t}}^{*}$ ≤ $\stackrel{-}{t}$ ≤1,无量纲视线角单调递减至零,即克服了初始瞄准方向角误差影响。分析结果与图3(b)结果一致。
对于终端落角约束项,求解 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\lambda }_{f}}$ 关于 $\stackrel{-}{t}$ 的一阶导数为:
由式(37)分析知:在0< $\stackrel{-}{t}$ <1上 ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\text{'}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\lambda }_{f}}$ >0,所以无量纲视线角由0单调增加至1,即实现了视线角约束。分析结果与图3(c)结果一致。
对于常值目标机动项,求解 ${\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{a}_{t}}$ 关于 $\stackrel{-}{t}$ 的一阶导数为:
由于式(38)不易求解,结合图3(d)进行定性分析。若n=0,无量纲化视线角恒等于零;若0<n≤1,无量纲化视线角先递增至极大值,后递减至0,即克服了目标机动影响。当n=1, ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\text{'}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{a}_{t}}$ = $\stackrel{-}{t}$ (2-3 $\stackrel{-}{t}$ )知在 $\stackrel{-}{t}$ *=2/3处有唯一极大值 ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\left(\stackrel{-}{t}{ }^{*}\right)\right|}_{{a}_{t}}$ =4/27。由图3(d)知,当0<n<1,无量纲化视线角极大值发生时刻 $\stackrel{-}{t}$ *>2/3,且 ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\left(\stackrel{-}{t}{ }^{*}\right)\right|}_{{a}_{t}}$ <4/27。由目标机动引起的无量纲化视线角 ${\left.\stackrel{-}{\lambda }\right|}_{{a}_{t}}$ = $\frac{\lambda \left(t\right)}{0.5{a}_{t}{t}_{f}/{v}_{c}}$ 知,其视线角λ(t)幅值与飞行时间tf成正比。
另外,由图3看出,对于初始位置误差、瞄准误差引起的无量纲化视线角变化趋势一致,随着n增大,曲线上拉,更快趋于0;终端落角约束引起的无量纲化视线角曲线随着n增大而下拉,更快趋于1;而目标机动引起的无量纲化视线角曲线随着n增大而下拉,放慢趋于0。
图3中无量纲化视线角均大于零,说明4个因素的极性将直接影响视线角变化趋势。若瞄准角误差β0与终端期望落角λf极性相反,前者引起的视线角变化趋势与后者的变化趋势一致,有利于弹道成型。因此,中制导方案设计最好要保证在转到多约束制导律时瞄准角误差β0与终端期望落角λf极性相反。若目标机动at与终端期望落角λf极性相同,前者引起的视线角变化趋势与后者的变化趋势一致,有利于弹道成型。
3 工程化应用准则
对于战术导弹末制导阶段,导弹-静止目标相对运动几何关系如图4。图中,r、λ、θ分别表示弹目相对距离、视线角、弹道倾角。对于打击静止目标,终端视线角λf= ${{\theta }_{f}}^{\left[15\right]}$ 。则视线角变化量为λ*f=λf-λ0,初始瞄准方向角误差量为β0=θ0-λ0。
由式(9)~式(13)、无量纲化加速度因子和y(0)=0得:
ac( $\stackrel{-}{t})={\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\beta }_{0}}\frac{-{v}_{m}{\beta }_{0}}{{t}_{f}}+{\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\lambda }_{f}}\frac{-{v}_{c}\lambda { }^{*}{ }_{f}}{{t}_{f}}+{\left.{\stackrel{-}{a}}_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{a}_{t}}$ at
当t=t0时, $\stackrel{-}{t}$ =0代入式(37)可得:
ac(t0)=2(n+2) $\frac{-{v}_{m}{\beta }_{0}}{{t}_{f}}$ +(n+1)(n+2)· $\frac{-{v}_{c}\lambda { }^{*}{ }_{f}}{{t}_{f}}+\frac{1}{2}$ (n+2)(-n+1)at= Npvc ${\stackrel{·}{\lambda }}_{0}$ + $\frac{{N}_{\lambda }{v}_{c}({\lambda }_{f}-{\lambda }_{0})}{{t}_{f}}$ +Ntat
式中:at是由作用在导弹上的重力等效而来[2],其大小为at=gcosθ,飞行时间tf可由r/vc近似估计。
令导弹可用过载为ap,启动时刻需要满足
另外,式(37)对 $\stackrel{-}{t}$ 的导数为:
a'c( $\stackrel{-}{t}$ )= ${\left.\stackrel{-}{a}\text{'}{ }_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\beta }_{0}}\frac{-{v}_{m}{\beta }_{0}}{{t}_{f}}$ + ${\left.\stackrel{-}{a}\text{'}{ }_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{\lambda }_{f}}\frac{-{v}_{c}\lambda { }^{*}{ }_{f}}{{t}_{f}}$ + ${\left.\stackrel{-}{a}\text{'}{ }_{c}\left(\stackrel{-}{t}\right)\right|}_{{a}_{t}}$ at
经过分析可得,当0<n≤1时在
处取得极小值;当n=0时ac( $\stackrel{-}{t}$ )为单调函数,无极值,在断点 $\stackrel{-}{t}$ =1处有最值。
r0≥vctf
选取还要保证ac(tf),n=0或极小值ac( $\stackrel{-}{t}$ *),0<n≤1的绝对值小于导弹可用过载ap( $\stackrel{-}{t}$ *tf),即
以下3个要素可作为末制导设计的参考准则:
①适当的中制导来保证瞄准方向角误差和视线角变化量控制在一定范围内,保证式(41)、式(45)成立;
②选取适当大的制导时间tf满足式(44),并保证式(41)、式(45)成立,可用过载留有一定裕量;
③若期望终端加速度收敛于零,选取导引系数n>0;同时,导引系数n保证式(41)、 式(45)成立。
4 数学仿真
以航空制导弹药纵向平面运动为例进行数学仿真,验证上述设计原则的有效性,该弹药无动力,经过稳定、适当中制导进入末制导段完成垂直攻击任务,初始条件及终端约束要求为:初始高度为Hm=3 km、初始速度vm=300 m/s、弹目水平距离x=6 km、水平投弹θm=0°、期望落角θf=-90°。
5 结论
主要解析结论如下:
1)该制导律簇可以克服初始位置误差、初始瞄准方向角误差以及常值目标机动干扰和实现终端落角约束;当0<n≤1,还可以实现终端零攻角约束。
2)导引系数n决定着各项因素引起的无量纲化过载在时间轴上分配规律,其影响无量纲化过载曲线单调性、极点以及过零点,当n=0时,各无量纲化过载线性变化,而当0<n≤1时,各无量纲化过载极点发生在大于tf/2之后。若瞄准角误差与终端期望落角极性相反,则在初始段、后段前者引起的需用过载有抵消后者引起需用过载的作用。
3)制导时间tf决定着各项因素过载幅值规律,其中初始位置误差引起的过载幅值与制导时间平方成反比,瞄准方向角误差及终端落角约束引起的过载幅值与制导时间成反比,常值目标机动引起的过载幅值与制导时间无关。
4)从无量纲化视线角变化角度,4个因素极性不同将直接影响视线角变化趋势。若瞄准角误差与终端期望落角极性相反,有利于弹道成型。若常值目标机动与终端期望落角极性相同,有利于弹道成型。
基于上述结论,提出了工程应用设计准则。通过实例仿真,验证了该制导律相关解析结论的有效性;指出了由于实际控制系统存在滞后影响,制导加速度指令终端变化剧烈现象不利于终端攻角收敛,需要采取终端攻角归零措施。