0 引言
1 某运载火箭简介
2 优化模型
选用伪谱法进行弹道优化,对其进行离散形式的展开,从而可进行数值优化,得到最优控制问题的解。接下来从优化参数、目标函数以及约束条件建立优化模型。
弹道优化问题可以表示为一般的最优控制问题,即寻找合适的控制变量u(t)∈Rn,使式(1)所示的Bolza型性能指标在满足动力学微分方程约束、路径约束和边界约束的条件下达到最小化,即
J=Φ 
x(t0),t0,x(tf),tf 
+ g 
x(t),u(t),t 
dt
x(t0),t0,x(tf),tf + g x(t),u(t),t dt其中,u(t)∈Rn为控制变量;x(t)∈Rn为状态变量;t0和tf为时间初值和末值,可固定可自由。系统要满足动力学微分方程约束、边界约束以及路径约束分别如式(2)、式(3)和式(4):
(t)=f(x(t),u(t),t),t∈
ϕ(x(t0),t0,x(tf),tf)=0
C(x(t),u(t),t)≤0,t∈
基于在发射坐标系下建立的六自由度弹道模型对弹道进行优化。
2.1 目标函数
固体运载火箭弹道优化的目的是减小发射成本,提高火箭的运载能力,即给定条件下产生最大有效载荷。文中研究的运载火箭采用三轴稳定的四级方案,且各级固体发动机燃料都会全部耗尽,属于耗尽关机的工作模式,优化实质即为有效载荷质量mp最大。其有效载荷为星箭分离后卫星的总质量。因此,选取的目标函数为:
minJ(u)=-mp
2.2 约束条件
运载火箭的弹道优化约束条件有两种:边界条件和路径约束条件。
1)边界条件
初始位置(0,0,0)和初始速度(0)已知。终端入轨条件选取轨道高度Hf和入轨速度vf,其取值范围为:Hf≥500 km,vf≥7 700 m/s。
2)路径约束
运载火箭在运动过程中要保证结构完整性以及相关电子设备的正常使用,其要求为:最大轴向过载约束不大于20 g,考虑火箭与大气间产生大量的热会给外壳带来危害,则最大动压约束不大于1 MPa。
2.3 优化参数
优化参数选取飞行时序中一些重要参数:垂直起飞时间、程序转弯时间、程序转弯角度和三级滑翔时间。取值如表1所示。
表1 飞行时序各优化参数的取值限制范围 |
| 垂直起飞 时间/s | 程序转弯 时间/s | 程序转弯 角度/(°) | 三级滑翔 时间/s | |
|---|---|---|---|---|
| 取值上限 | 8 | 18 | 28 | 260 |
| 取值下限 | 4 | 10 | 20 | 220 |
2.4 优化算法设计
伪谱法是一种求解最优控制的工程方法,经离散后将最优控制问题转化为NLP问题,通过有效大规模稀疏NLP求解器求解。
采用基于伪谱法进行运载火箭弹道优化设计算法时,计算步骤如下:
1)网格区间初始化,确定初始迭代时区段数量K和区段插值多项式M。
2)计算全固体运载火箭各个约束条件的约束函数误差。
3)当ek,max≤εd时,说明对应区段精度满足各约束,如果所有区段的精度均满足约束条件时,则求解完成,可优化出最优弹道。
4)当ek,max>εd时,说明对应区段精度不满足各约束,此时求解不满足精度要求的区段的曲率比值和最大比值系数。当rk≥rmax时,对应区段应采用细化子区间方法提高其精度,细化区间数量nk;当rk<rmax时,对应区段应采用提高拉格朗日插值多项式的阶次 提高其精度,然后开始优化下一区段。
5)检查所有区段的精度是否满足精度要求εd,如果满足精度要求,则结束运算;如果不满足精度要求,则返回到步骤1)重新开始循环计算,直到满足精度εd为止。
3 优化结果分析
在优化模型中利用高斯伪谱法优化得到最优解,此时综合了各参数的影响因素,故该最优解具有全局性。
按照前述的优化模型,通过高斯伪谱法进行计算,得到最终优化后的某型全固体运载火箭的飞行弹道,与优化前的弹道进行对比分析。最终优化前后的各优化参数如表2所示。
表2 最终优化设计结果 |
| 设计变量 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 垂直起飞 时间/s | 程序转弯 时间/s | 程序转弯 角度/(°) | 三级滑翔 时间/s | 最大有效 载荷mp/kg | |
| 初始值 | 5 | 14 | 24 | 240 | 200 |
| 取值上限 | 8 | 18 | 28 | 260 | 230 |
| 取值下限 | 4 | 10 | 20 | 220 | 200 |
| 最优解 | 8 | 18 | 26 | 260 | 218.8 |
飞行高度和速度是运载火箭入轨所必需的条件之一,但这些数值并不是越大越好,满足入轨条件即可。
终端入轨条件为Hf≥500 km,vf≥7 700 m/s。
在运载火箭四级发动机推力给定的条件下,通过高斯伪谱法进行优化模型的计算,最终调整飞行时序及滑翔时间。
四级发动机推力时间图像如图4所示。
由于四级全固体发动机的特性,所以其各项性能参数如发动机质量、开关机时间和瞬时推力已确定。因此优化前后几乎不变,仅推力加载时间点受飞行时序的影响。
优化前后运载火箭的质量时间图像如图5所示。
从图中可看出:在前450 s,优化前后的火箭质量重合,这是由于运载火箭总体质量很大,而优化后仅比优化前有效载荷提高18.8 kg,450 s之后由于三级滑翔时间的不同使两条曲线区分开。运载火箭的质量变化趋势在优化前后一致,同时也提高了运载火箭的有效载荷,说明优化方法是较为合理的。
4 结论
对固体小运载弹道优化进行了探索性研究,通过数值仿真的方法,对某运载火箭在给定推力和入轨条件情况下进行分析,结果表明:
1)弹道优化是非常有效的,通过不同飞行程序的合理安排,可以改变运载火箭的入轨高度和速度;
2)基于文中给定的入轨条件和发动机推力,发现在垂直起飞时间为8 s、转弯时间为18 s、转弯角度为26°以及三级无动力滑翔段时间为260 s的情形下,运载火箭最大有效载荷为218.8 kg,比基本方案提高9.4%。