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Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance >

2020 , Vol. 40 >Issue 6: 20 - 25

DOI: https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2020.06.005

Design of Multi-missile Cooperative Interception Guidance Law

  • XIAO Nianyuan 1 ,
  • WANG Xiaofang 1 ,
  • ZHOU Jian 2
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  • 1 School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China
  • 2 Xi’an Modern Control Technology Research Institute, Xi’an 710065, China

Received date: 2019-12-10

  Online published: 2025-05-30

Fold

Abstract

This paper presents a new guidance law of cooperative interception. The UAV T releases two defensive missiles against the attacking missile M at the same time. For defensive missile DA and T, the optimal cooperative guidance law (OCGL) is designed with the line of sight rate of DA-M to zero based on the principle of minimum value. For defensive missile DB, based on the dynamic inversion theory, constraining the prepositive angle, a time cooperative guidance law (TCGL) is designed to make DB and DA hit M at the same time. The cultural algorithm is used to optimize the launch interval of DA and DB. The cost function based on intercepting time and DB’s energy is established to find the optimal solution. The simulation results show that the overload’s advantage of using OCGL. TCGL can make DA and DB hit M simultaneously, which greatly increases the interception strength and damage effect.

Key words： multi-missile coordination; optimal control; time cooperative; dynamic inverse

Cite this article

XIAO Nianyuan , WANG Xiaofang , ZHOU Jian . Design of Multi-missile Cooperative Interception Guidance Law[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2020 , 40(6) : 20 -25 . DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2020.06.005

0 引言

近年来,空战武器和一体化防空系统飞速发展,战场形式日益立体化、复杂化[1]。无人战机作为重要军事目标,配备多层次防御体系必要且紧迫[2]。传统空中防御措施有被动防御(即机动躲避)、主动防御(即释放红外干扰弹等)[3]。防御弹机动性能和毁伤能力受限,仅靠单枚弹难拦截敌方袭击,使得防御可靠性下降。
运用先进技术,无人战机发射多枚防御弹主动防御,组成协同防御系统,能更有效的拦截[4]。设计满足需求、适应战场环境的协同拦截制导律,成了制导技术的研究热点。协同拦截制导律的主要研究对象有我方目标(无人战机)、一枚或多枚防御弹、敌方来袭弹。针对目标、来袭弹、防御弹的“三体”[5]问题,一般作为两个并行制导问题,即来袭弹攻击目标、防御弹拦截来袭弹[6-7]。文献[8-9]研究了多枚导弹拦截来袭弹,但所需过载较大。一般情况下,来袭弹机动性能大于防御弹机动性能,存在脱靶量大,拦截失败的可能。文献[10-13]提出了不同种类的协同拦截制导律,但建立在线性化基础上,需预估剩余飞行时间,且拦截的多为静止目标,不满足现代战争需求。
文中针对该情景,提供一种新的协同拦截思路。建立非线性运动方程组,基于极小值原理和动态逆理论设计两种制导律,让无人战机顺序发射两枚防御弹,防御弹DA与无人战机采用最优协同制导律OCGL,防御弹DB采用时间协同制导律TCGL,以减小防御弹DA的过载需求,实现两枚防御弹同时拦截来袭弹,对防御弹发射间隔进行优化,使防御弹DB的拦截能量小且和DA打中M的拦截间隔相差小。

1 问题描述

假设来袭弹、目标(无人战机)、防御弹在铅垂面内运动,如图1所示。
图1 来袭弹-防御弹-目标相对运动示意图
图中,OXY为惯性坐标系,M、T、Di(i=A, B)分别为来袭弹、目标、目标发射的防御弹。 V j 、 a j 、 θ j(j=M,T,Di)分别表示速度、垂直于速度矢量的加速度和弹道倾角。 r M D i和 r M T表示M与DA、DB、T之间的距离, q M D i和 q M T为对应的视线角。 u j为加速度矢量在垂直于视线方向的分量, u '   M D i为M加速度在垂直于M-Di视线方向的分量。
M、Di和T的相对运动方程组为:
d r M T d t = - V M c o s ( q M T - θ M ) + V T c o s ( q M T - θ T ) d q M T d t = ( V M s i n ( q M T - θ M ) - V T s i n ( q M T - θ T ) ) / r M T d r M D i d t = - V M c o s ( q M D i - θ M ) + V D i c o s ( q M D i - θ D ) d q M D i d t = ( V M s i n ( q M D i - θ M ) - V D i s i n ( q M D i - θ D ) ) / r M D i d x j d t = V j c o s θ j d y j d t = V j s i n θ j d θ j d t = a j / V
设M采用增强比例导引[14](APN),则
u M = - K M r · T M q · M T + 1 2 K M u T
式中, K M为M的制导系数。

2 协同拦截制导律设计

T顺序发射DA和DB,T与DA以OCGL飞行,T协同,吸引M飞向DA,DA以小过载拦截M。基于动态逆理论[15-16],令DB以TCGL飞行,DB-M弹目距离与DA-M趋于一致,与DA同时拦截M。

2.1 非线性OCGL设计

由式(1)可知DA与M相对运动方程组为:
r M D A q · M D A = V M s i n ( q M D A - θ M ) - V D A s i n ( q M D A - θ D A ) r · M D A = V D A c o s ( q M D A - θ D A ) - V M c o s ( q M D A - θ M )
对式(3)求导得:
q ¨ M D A = - 2 r · M D A r M D A q · M D A - 1 R M D A u D A + 1 R M D A u '   M D A r ¨ M D A = r M D A q · M D A 2 - v D A + v '   M D A
式中, u ' M D A 、 u D A 、 v ' M D A 、 v D A为:
u '   M D A = V M θ · M c o s ( q M D A - θ M ) - V · M s i n ( q M D A - θ M ) u D A = V D A θ · D A c o s ( q M D A - θ D A ) - V · D A s i n ( q M D A - θ D A ) v '   M D A = V M θ · M s i n ( q M D A - θ M ) + V · M c o s ( q M D A - θ M ) v D A = V D A θ · D A s i n ( q M D A - θ D A ) + V · D A c o s ( q M D A - θ D A )
当弹目视线角速度 q · M D A → 0时,DA可以实现对M的拦截。令 q · M D A为状态量 x,此时有
x · = - 2 r · M D A r M D A x - 1 R M D A u D A + 1 R M D A u '   M D A
由图1可知, u '   M与 u M之间的转换关系为:
u '   M = u M c o s ( q M D A - θ M ) c o s ( q M T - θ M )
式(7)代入式(6)可得状态方程为:
x · = - 2 r · M D A r M D A x - K M c o s ( q M D A - θ M ) r M D A c o s ( q M T - θ M ) r · M T q · M T -   1 r M D A u D A + K M c o s ( q M D A - θ M ) 2 r M D A c o s ( q M T - θ M ) u T 　
令 q · M D A为终端指标, u T 2 和 u D A 2为控制集,性能指标函数为:
J = a 2 x 2 ( t f ) + 1 2 ∫ t 1 t     f ( b u D A 2 + c u T 2 ) d τ
式(9)中, t 1 、 t f为DA的发射和终止时刻,终端指标和动态指标的权重系数分别为a、b、c,有 a ≥ 0 , b ≥ 0 , c ≥ 0。
由性能函数和状态方程得汉密尔顿方程:
$\begin{array}{l} H=\frac{1}{2}\left(b u_{\mathrm{D}_{\mathrm{A}}}^{2}+c u_{\mathrm{T}}^{2}\right)+\lambda\left[-\frac{2 \dot{r}_{\mathrm{MD}_{\mathrm{A}}}}{r_{\mathrm{MD}_{\mathrm{A}}}} x-\frac{1}{R_{\mathrm{MD}_{\mathrm{A}}}} u_{\mathrm{D}_{\mathrm{A}}}-\right. \\ \left.\frac{K_{\mathrm{M}} \cos \left(q_{\mathrm{MD}_{\mathrm{A}}}-\theta_{\mathrm{M}}\right)}{r_{\mathrm{MD}_{\mathrm{A}}} \cos \left(q_{\mathrm{MT}}-\theta_{\mathrm{M}}\right)} \dot{r}_{\mathrm{MT}} \dot{q}_{\mathrm{MT}}+\frac{K_{\mathrm{M}} \cos \left(q_{\mathrm{MD}_{\mathrm{A}}}-\theta_{\mathrm{M}}\right)}{2 r_{\mathrm{MD}_{\mathrm{A}}} \cos \left(q_{\mathrm{MT}}-\theta_{\mathrm{M}}\right)} u_{\mathrm{T}}\right] \end{array}$
式中, λ为协态量,正则方程和横截条件为:
λ · = - ∂ H ∂ x = λ 2 r · M D A r M D A λ ( t f ) = a x ( t f )
由极小值原理可知:
∂ H ∂ u D A = 0 , ∂ H ∂ u T = 0
联立可得最优控制的开环解为:
u D A = λ b r M D A = a b r M D A e - 2 r · M D A ( t f - t ) r M D A x ( t f ) u T = - K M c o s ( q M D A - θ M ) 2 c r M D A c o s ( q M T - θ M ) λ = 　   - a K M c o s ( q M D A - θ M ) 2 c r M D A c o s ( q M T - θ M ) e - 2 r · M D A ( t f - t ) r M D A x ( t f )
将式(13)代回状态方程积分化简可得:
x ( t f ) = e 2 x ( t ) - 2 c o s ( q M D A - θ M ) c o s ( q M T - θ M ) · r · M T q · M T r M D A ( 1 - e 2 ) 1 + a ( 1 - e 4 ) 4 b r M D A r · M D A + a K M 2 16 c r M D A r · M D A · c o s ( q M D A - θ M ) c o s ( q M T - θ M ) 2 ( 1 - e 4 )
将式(14)代入式(13),得到采用OCGL的DA和T控制指令的闭环解。

2.2 多防御弹TCGL设计

T发射DA后,再发射DB,DB与DA同时命中M。基于动态逆理论, r M D B与 r M D A趋于一致,可实现DA和DB的拦截时间协同。
定义弹目距离跟踪误差为:
e r = r M D B - r -
式中 r -为除DB之外防御弹的弹目距离平均值。
对式(15)求导可得:
e · r = r · M D B - r - · = V M c o s ( q M D B - θ M ) - 　 　 V D B c o s ( q M D B - θ D B ) - r - ·
令实际速度前置角 η D B = q M D B - θ D B。基于动态逆理论,设计期望速度前置角 η c为:
c o s η c = K r e r - r - · + V M c o s ( q M D B - θ M ) V D B
式中, K r 0为衰减系数。当 η D B= η c后,联立式(16)和式(17)得, e · r = - K r e r, e r呈指数衰减,DB的弹目距离趋于 r -,实现时间协同。
令 E = c o s η c,反解 η c为:
η c = s i g n ( η 0 ) η m a x , E c o s η m a x s i g n ( η 0 ) a r c c o s ( E ) , c o s η m a x ≤ E ≤ 1 0 , E 1
式中: η 0为DB的初始速度前置角; η m a x为DB的最大速度前置角。
由于 η D B = q M D B - θ D B,求导可得:
η · D B = q · M D B - θ · D B
基于动态逆理论设计 θ D B为:
θ · D B = q · M D B - K η ( η c - η · D B )
式中 K η 0,为衰减系数。
为保证制导精确,考虑DB的导引头识别距离、制导时间等因素的影响,令DB与M的弹目距离为 Δ r 1时,转入APN为:
u D B = - K D B r · M D B q · M D B + 1 2 K D B u M
式中, K D B为APN系数。

3 发射时间优化设计

受发射技术和战场环境制约,DB无法与DA同时刻发射,假设T先发射DA,再发射DB。由于DB末制导转APN,故DA、DB到达M的时间有误差,通过文化算法计算两枚防御弹发射间隔的最优解,使拦截间隔和DB能量小。
令DA发射时间为 t 1,DB发射时间为 t 2,发射间隔为 Δ t 1 = t 2 - t 1,优化函数为:
$\min F\left(\Delta t_{1}\right)=\frac{\left|\Delta t_{2}\right|}{d}+\frac{\int u_{\mathrm{D}_{\mathrm{B}}}^{2} \mathrm{~d} t}{e}$
式中: | Δ t 2 |为DA和DB拦截M的时间差; ∫ u D B 2 d t为DB的控制能量;相应权重 d 0 , e 0。
设计变量 Δ t 1的边界约束条件为:
X m a x = Δ t 1 , m a x , X m i n = Δ t 1 , m i n
式中, Δ t 1 , m a x和 Δ t 1 , m i n为DB发射时间上下限,由战场形势与技术能力决定,故优化模型的可行域为:
Ω = X m i n , X m a x
令过载需要满足的过程约束为:
g j ( X ) = n j - n j m a x ≤ 0 ,   j = M , T , D A , D B
式中: n j为需用过载; n j m a x为可用过载。
综上分析,发射间隔优化模型为:
m i n F = F Δ t 1 ) s . t . g j X ≤ 0 ,   j = M , T , D A , D B X ∈ Ω
优化模型建立之后,即用文化算法进行优化,得到 Δ t 1的最优解,进而得到DB的发射时间 t 2 = t 1 + Δ t 1。

4 仿真分析

4.1 OCGL仿真结果及分析

设t1=0 ,KM=4 ,a=1010 ,b=0.1 , c=1。其余条件见表1,仿真结果如图2~图4所示。
表1 OCGL仿真初始条件
初始参数 飞行器
M T DA
速度/(m/s) 300 250 300
弹道倾角/(°) 180 0 0
位置/m (5 000,1 000) (0,0) (0,0)
可用过载 5 1 3
图3 OCGL过载随时间变化图
图4 OCGL视线角速度随时间变化图
由图2知,在OCGL导引下,T向y轴负方向飞行,引诱M飞向DA。由图3知,机动能力小的T和DA,成功拦截过载较大的M。图4所示视线角速度均趋于零,表示OCGL实现对视线角速度的控制。该组结果证明OCGL可以实现低过载防御弹对高过载来袭弹的拦截。

4.2 TCGL仿真结果及分析

在表1的基础上,令 t 2 = 0.5   s, V D B = 320   m / s, K M D B = 4, K η = 5, K r = 1, η m a x = 30 °, Δ r 1 = 700   m, η D B m a x = 20。仿真结果如图5~图8所示。
图6 DA和DB的弹目距离差随时间变化图
图7 DB速度前置角变化图
图8 TCGL过载变化图
由图5知,在t=0.5 s之后,T发射DB,当 r M D B = 700   m,转为APN拦截M。DA于8.66 s到达M,DB于8.61 s到达M,时间差为0.05 s,认为同时打击。由图6知,TCGL使 e r收敛到零,末制导转APN后先增大,最终为1.03 m,转APN对结果影响较小,是由于 e r在转APN前已趋于零,后续飞行较短,对最终结果影响不大。由图7知在跟踪 r -的过程中, η c增大,使 e r 趋 于 0,随后减小, η D B跟踪情况较好。由图8知在 t = 0.5   s时,为使 η D B达到 η c,DB过载较大,跟踪上 η c后迅速减小,最后有缓慢增加趋势,是由于M机动,相对速度大, q M D B增大导致的,末制导过载趋于零,拦截成功。由仿真结果可知,设计的TCGL可以实现两枚防御弹对M的同时打击。

4.3 $\Delta t_{1}$优化结果及分析

结合上面分析,对 Δ t 1进行优化。令 d = 0.01 , e = 1   000。设置经过20代迭代,每代10次寻优。边界约束条件为: 0.1   s ≤ Δ t 1 ≤ 5   s。其余仿真参数同上。
设计不同情形以研究 Δ t 1的影响,场景2为 d = 0.01 , e = 0.01;场景3为 d = 0.001 , e = 1   000,场景2、3与前述场景1,即 d = 0.01 , e = 1   000,优化结果对比如表2所示。
表2 3种场景下的优化结果
参量 场景1 场景2 场景3
d 0.01 0.01 10 000
e 1 000 0.01 1 000
F Δ t 1 ) 0.196 1.944 × 10 4 0.194
Δ t 1/s 2.278 2.306 2.307
Δ t 2/s 0 0.043 0.007
∫ u D B 2 d t/ ( m 2 / s 3 ) 198.164 194.397 195.411
对比场景1和场景2,当e减小时,DB付出的能量相对于场景1减小2%。由场景1和场景3可知,当d减小时, Δ t 2=0 s,两枚防御弹同时拦截M,参数d的改变对于整体结果影响较小,是由于 Δ t 2较小,对于结果影响相对较小导致的。在该场景下,选取发射时间间隔为2.3 s左右即可实现最优。改变优化参数对于结果的选取影响不大,从侧面证明了TCGL的适应性和参数的合理性。

5 结论

提出了一种新的协同防御策略。无人战机顺序发射两枚防御弹,设计OCGL和TCGL拦截来袭弹,优化防御弹发射间隔,针对不同场景得到对应最优解。证明了OCGL拦截来袭弹的过载优势,TCGL可实现两枚防御弹同时拦截来袭弹,组合使用能增加对来袭弹的毁伤力度。

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