MIMO Radar Imaging by Localized Low-rank Promoting

HU Renrong; TONG Ningning; HE Xingyu; CHEN Qiao

doi:10.15892/j.cnki.djzdxb.2020.01.014

Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance >

2020 , Vol. 40 >Issue 1: 69 - 72

DOI: https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2020.01.014

MIMO Radar Imaging by Localized Low-rank Promoting

HU Renrong ,
TONG Ningning ,
HE Xingyu ,
CHEN Qiao

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Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China

Received date: 2018-12-27

Online published: 2025-05-30

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Abstract

In order to obtain high resolution target image of MIMO radar,the paper dig deeper into block sparse characteristics of MIMO radar imaging. The paper studies the characteristics of the local signal smoothing by introducing localized low-rank promoting (LOOP) algorithm. Then the sparse continuous coefficient of echo signal is divided into multiple 2×2 dimensional matrixes. With the help of a local low-rank promotion function、logarithm determinant function and minimal optimization algorithm,the algorithm realized the signal sparse reconstruction of target and efficiently reconstructed the target image. Simulation results show that the proposed method can obtain higher quality target images than traditional algorithms.

Key words： MIMO radar imaging; block sparse; localized low-rank

Cite this article

HU Renrong , TONG Ningning , HE Xingyu , CHEN Qiao . MIMO Radar Imaging by Localized Low-rank Promoting[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2020 , 40(1) : 69 -72 . DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2020.01.014

0 引言

MIMO成像是近年来国内外研究的热点,成像时通过多阵元发射、多阵元接收的形式来满足空间采样的需要,将压缩感知技术应用于MIMO成像,可大幅提升雷达成像分辨率。将压缩感知理论应用于雷达成像需要解决信号的稀疏表示、测量矩阵的设计和重构算法三大关键技术。传统的算法比如基追踪算法、贪婪算法等,能对传统稀疏信号实现高效的重构。然而传统基于压缩感知的MIMO雷达成像都是将目标考虑为点目标进行成像,可能无法真实反映目标的真实结构尺寸等信息,这是由于目标连续区域的回波信号往往会表现出块稀疏结构特性^[1],基于块稀疏恢复理论的MIMO雷达成像可更好的重构恢复目标像,进一步反映目标的真实信息。许多学者针对其特殊的结构,提出块稀疏算法。文献[2]提出块正交匹配追踪算法;文献[3]提出l₂/l₁范数最小化算法;文献[4]提出了具有模式耦合思想的PCSBL算法(pattern-coupled sparse bayesian learning);文献[5]提出了局部低秩提升(localized low-rank promoting,LOOP)算法,根据回波信号块局部结构平滑现象所表达的内在结构系数的相关性,将目标稀疏回波信号的连续系数划分为多个2×2维矩阵,通过局部低秩提升函数和对数行列式函数等工具,利用最小优化算法实现对稀疏信号的高效重构。

文中引入局部低秩提升LOOP算法,并将其应用到MIMO雷达成像中,充分挖掘目标回波信号的低秩和块稀疏结构特性,实现了对MIMO雷达目标像的高质量重构。

1 MIMO线阵回波模型

建立MIMO阵列信号回波模型。如图1中均匀线阵组成是I_t个发射阵元和M_r个接收阵元。间距分别为d_t和d_r。三维坐标系的原点是第一个发射阵元,X-Y平面与阵列对应,其中发射阵为Y轴。第i个发射阵元的位置用T_i表示,第m个接收阵元位置用R_m表示,坐标原点是T₀。

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图1 MIMO雷达阵列模型示意图

文献[6]散射中心理论证明了建立目标散射中心模型的可行性。假设雷达成像目标由D个散射中心组成,发射阵元发射的信号经过各散射中心散射形成目标回波信号,时间延迟和散射系数分别用τ和ζ来表示。发射端发射一组正交序列码长度为L的正交调制信号,调制序列集为

φ i l

,l=1,2,…,L。则发射阵元T_i的发射信号可以表示为:

(1)

S T i (t) = ∑ i = 1 L r e c t t - (l - 1) T T · e x p j (2 π f c t + φ i l)

式中:T为信号子脉冲长度;f_c为信号载频。不同发射信号之间相互正交,即

(2)

∫ t S T p (t) S T q * (t) d t = 0 p ≠ q, ∀ t ∈ R; p, q = 1,2, …, I t

第m个接收阵元的回波信号,是第i个发射阵元的信号被目标散射中心P散射后经过匹配滤波分离的信号,可表示为:

(3)

S p, i, m (t) = ζ p α i (t - τ p, i, m) · e x p (- j 2 π f c τ p, i, m)

式中:发射波形的自相关函数是α_i(t);延时是τ_p_,_i_,_m=

T i P + P R m

/c;第i个发射阵元到散射中心P的距离为T_iP和第m个接收阵元到散射中心P的距离为PR_m。

指定目标散射中心O为参考点且O为相对坐标系的原点,P点在该相对坐标系中的坐标为(P_x,P_y),那么目标运动不会改变坐标(P_x,P_y)。因此式(3)可近似为:

(4)

S_p_,_i_,_m(t)≈ζ_pexp $- j 2 π T i P + P R m λ$

式中:相位中心参考点为O,发射信号的波长为λ,回波信号经过相位补偿后可表示为:

(5)

$S ~ p, i, m$ (t)=S_p_,_i_,_m(t)× $S o, i, m *$ (t)=ζ_pexp $j 2 π T i O + O R m - T i P - P R m λ$

由文献[7]和文献[8]中的引理进行推导,可得到具有D个散射中心的目标回波信号为:

(6)

S ~ i, m (t) = ∑ p = 1 D σ p e x p j 2 π x p i d t R T + y p m d r R R / λ i = 1,2, …, I t; m = 1,2, …, M r

式中:σ_p=ζ_p(-j2π(OP)^T(T₀O/T₀O+OR₀/OR₀)/λ),(x_p,y_p)为包含目标散射中心P的位置信息(P_x,P_y)的位置参数。

2 局部低秩提升算法

2.1 MIMO成像算法评价方法

衡量各个算法的成像性能时,应采用定性和定量分析相结合的办法,既要观察成像结果是否反映目标真实信息,还要对成像结果相接近的进行定量分析,可以采用图像熵(image entropy, IE)和图像对比度两个指标进一步定量分析成像效果。两个指标定义为:

(7)

IE=-Sum $I 2 S u m {I 2} l n I 2 S u m {I 2}$

(8)

IC= $A v e {I 2 - A v e {I 2}} A v e {I 2}$

式中:目标图像用I表示,和值用Sum{·}表示,图像中元素值平均值用Ave{·}表示。IE和IC值均反映图像中目标的聚集特征,熵值IE越低,对比度IC越高,代表着成像性能越好。

2.2 局部低秩信号模型

结合MIMO雷达实际成像场景,考虑一个块稀疏信号x∈R^M^×1恢复问题。

(9)

y=Ax+w

式中:y∈R^M^×^N,A∈R^M^×^N(M<N)和w∈R^M^×1分别表示观测信号、感知矩阵和噪声。信号x为块稀疏信号。首先从一个矩阵X

0, x T; x T, 0 T

∈R⁽^N^+1)×2分析,图2为矩阵X的转置,图中阴影和空白方块分别表示非0和0系数。

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图2 矩阵X转置示意图

定义X_i

1 ≤ i ≤ N

为2×2维矩阵,由矩阵X的第i行和第(i+1)行构成,则

(10)

X_i $x i - 1 x i x i x i + 1$

显然,如果x_i_-1、x_i和x_i₊₁是非0且局部平滑的,则是一个近似秩为1的矩阵。通过观察图2这个模型可以发现,通过提高矩阵X_i的低秩性来寻求块稀疏和局部平滑的解x。更精确的说,这个问题可以描述为:

(11)

m i n ⏟ x ∑ i = 1 N

rank(X_i), s.t.(‖y-Ax‖₂)²≤ε

式中:ε是与噪声统计相关的误差容限参数。矩阵秩最小化问题是一个NP难题,为了规避这个难题,通过一个易于计算的低阶提升函数log

X i X T i

=2∑_jlogv_j代替rank(X_i),其中v_j表示X_i的第j个奇异值。这个低秩提升函数也被用在文献[7]和文献[8]来解决矩阵低秩问题,用对数行列式函数来代替式(11)中的rank(X_i)可以得到:

(12)

m i n ⏟ x ∑ i = 1 N

log

X i X i T + E

,s.t.(‖y-Ax‖₂)²≤ε

式中:E是一个正定矩阵,用来确保对数函数满足定义。因此可以将E设置为:

(13)

Eδ $1 κ κ 1$

式中:δ为一个非常小的正数,κ

- 1 κ 1

为一个参数,则式(12)可最终表示为一个没有约束条件的优化问题。

(14)

m i n ⏟ x L (x) = ∑ i = 1 N l o g X i X T i + E + λ (y - A x ‖ 2) 2

式中:λ为控制低秩和适应误差的权衡参数。

为了解所提的方法,提供了另一种形式的对数行列式函数并且展现其在促进解的块稀疏和局部平滑的能力。2×2维矩阵X_i

X T i

可以表示为:

(15)

X_i $X T i$ = $x i - 1 2 + x i 2 x i - 1 x i + x i + 1 x i x i - 1 x i + x i + 1 x i x i + 1 2 + x i 2$

因此X_i

X T i

的对数函数可以表示为:

(16)

log $X i X T i$ =log $x i - 1 2 + x i 2 x i + 1 2 + x i 2$ + log $1 - (x i - 1 x i + x i x i + 1) 2 (x i - 1 2 + x i 2) (x i + 1 2 + x i 2)$

令θ_i表示两个矢量

x i - 1, x i T

和

x i, x i + 1 T

的夹角,则式(16)的第二项可以表示为:

(17)

log $1 - x i - 1 x i + x i x i + 1) 2 (x i - 1 2 + x i 2) (x i + 1 2 + x i 2)$ = log(1-cos²θ_i)=2log $s i n θ i$

因此

(18)

∑ i = 1 N l o g X i X T i = 2 ∑ i = 2 N l o g (x i - 1 2 + x i 2) + 2 ∑ i = 1 N l o g s i n θ i + l o g (x 12) + l o g (x N 2)

式(18)中的右边的第一项表示交叉系数的对数和函数,用来促进块稀疏化的求解。式(16)中的第二项倾向于

s i n θ i

值较小的解,从而可能实现解的局部平滑。

2.3 迭代加权算法

利用文献[9]提出最小优化(majorization-minimization,MM)算法,通过迭代最小化目标函数的上界来求解。文献[7]和文献[8]表明对数行列式函数的代理函数为:

(19)

l o g X i X T i + E ≤ 12 T r X i X T i + E Φ i (t) + l o g Φ i (t) - 1 - 1

式中:

Φ i (t) (X i (t) (X i (t)) T + E) - 1

,当X_i=

X i (t)

时等号成立。所以

(20)$\begin{array}{l} \sum_{i=1}^{N} \log \left|\boldsymbol{X}_{i} \boldsymbol{X}_{i}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{E}\right| \leqslant \\ \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left(\left(\boldsymbol{X}_{i} \boldsymbol{X}_{i}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{\Phi}_{i}^{(t)}\right)+\right. \\\left.\log \left|\left(\boldsymbol{\Phi}_{i}^{(t)}\right)^{-1}\right|-1\right)-N \xlongequal{\mathrm{~d}} f\left(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}^{(t)}\right) \end{array}$

令

(21)

Φ i (t) a i b i c i d i

把式(10)和式(21)代入式(20)得:

(22)f

x x (t)

=x^TWx+

∑ i = 1 N l o g Φ i (t)

-N

式中:W∈R^N^×^N是三对角线矩阵,主对角线的元素为W_i_,_i=

12 a i + d i + d i - 1 + a i + 1

,位于主对角线下方的第一对角线元素为W_i_+1,_i=

12 c i + c i + 1

,位于主对角线上方的第一对角线元素为W_i_,_i₊₁=

12 b i + b i + 1

,设d⁰=a^N⁺¹=0。

最后,使式(14)中的目标函数具体化的代理函数可表示为:

(23)

Q (x x (t)) = x T W x + ∑ i = 1 N (l o g Φ i (t)) + λ (y - A x ‖ 2) 2 - N

因此,优化式(14)可以通过迭代最小化式(23)来代替,式(20)的最优解为:

(24)x=

(A T A + λ - 1 W) - 1

A^Ty

通过迭代最小化Q(x

x (t)

),能保证目标函数L(x)在每次迭代过程中不递增。

归纳上述分析过程,总结出基于LOOP算法的MIMO雷达成像流程如下:

输入:观测信号y,感知矩阵A以及参数λ和κ;

输出:雷达信号x。

1)给出一个初始雷达信号x⁽⁰⁾,并且设置t=0;

2)当未达到收敛条件时,循环;

3)计算

Φ i (t)

并建立W;

4)计算新的稀疏雷达估计信号,记为x⁽^t⁺¹⁾;

5)如果估计的雷达信号满足

‖ x t + 1 - x (t) ‖ 2

≤

δ (t) 10

,则

δ t + 1

=δ⁽^t⁾/10;

7)停止迭代,否则

8)t=t+1;

9)结束循环。

3 仿真与结果分析

MIMO阵列排布如图1所示。仿真目标的点散射模型如图3所示,目标质心O(0,0,20 000),单位m。设发射天线I_t=4个,阵元间距为d_t=12 m,接收天线M_r=25个,接收天线间距为d_r=12 m。雷达发射信号的载波频率为10 GHz,雷达采样频率为5 GHz,发射信号采用4个正交性和接收正交分离性均较好的正负LFM信号,以发射阵列第一个阵元T₀作为测量坐标系的坐标原点,以参考相位中心点O为相对坐标系原点。

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图3 散射点模型

图4是包括LOOP算法在内的各种算法对目标模型的成像效果。

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图4 各算法成像效果图

分别计算图4中各算法成像图的IE和IC值,可得

IE_FFT=5.291 5,IE_OMP=5.423 5,IE_SBL=3.713 7,IE_LOOP=5.193 9;

IC_FFT=7.664 7,IC_OMP=7.653 2,IC_SBL=7.433 7,IC_LOOP=7.703 2。

通过对比分析可以发现,基于LOOP算法的MIMO雷达成像方法较传统的压缩感知算法能更好的实现目标像的重构。

4 结论

传统的压缩感知算法往往无法实现块稀疏信号重构,应用到MIMO成像时会影响精度,从而无法较精确的反应目标的真实信息,文中通过局部低秩提升算法挖掘MIMO雷达回波信号的块稀疏特性,进而实现MIMO雷达目标像的高质量重构。

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0 引言

1 MIMO线阵回波模型

图1 MIMO雷达阵列模型示意图

2 局部低秩提升算法

2.1 MIMO成像算法评价方法

2.2 局部低秩信号模型

图2 矩阵X转置示意图

2.3 迭代加权算法

3 仿真与结果分析

图3 散射点模型

图4 各算法成像效果图

4 结论

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