0 引言
为保障超燃冲压发动机稳定工作,吸气式高超声速飞行器姿态角及姿态角速度都必须满足一定约束。针对状态输出的约束问题,国内外学者开展了一系列的研究[1-7]:文献[3-4]基于不变集控制方法,设计滑模控制器,在调节状态受约束的问题上效果良好,但没有对跟踪问题加以研究。文献[5]采用一种基于障碍Lyapunov函数的状态约束航迹倾角跟踪控制方法,对航迹倾角模型的参数化方程采用BLF反步法,在满足攻角约束的条件下,可实现对航迹倾角的无差跟踪。文献[6]考虑了高超声速飞行器工作过程的多状态约束,在高度回路中引入了指令调节器,基于PI+LQ的方法设计过载控制器,产生的过载信号生成指令、控制器跟踪指令完成高度跟踪,该控制系统能够满足一定条件下的状态约束并实现快速跟踪。文献[7]提出了一种兼顾多约束和控制性能的鲁棒姿态控制方法,采用IBLF方法保证攻角约束,通过辅助误差子系统降低飞行器输入饱和非线性对闭环系统的影响,同时引入非线性干扰观测器对参数摄动及外部干扰进行估计和补偿,最终通过Lyapunov理论证明及仿真实验,验证了该控制器的有效性。
文中针对前述受限控制问题,利用单向辅助面滑模控制方法,设计跟踪控制器,使其满足状态及控制量约束,求解简单,跟踪指令信号迅速,通过对飞行器的姿态控制器的设计,对方法进行仿真验证,证明了其的有效性。
1 受限控制问题的单向辅助面设计
对于一个线性时不变系统,其描述如下:
式中:A∈Rn×n,B∈Rn×n,输出矩阵C∈Rq×n,且A、B可逆。约束要求为系统状态不能超过预设的边界,表示如下:
对于任意的t≥0有x(t)∈Ψ,并有:
假设由A可逆,可知对于一个给定的常值输出参考信号 ,如下方程有解:
= =
式中: 、 表示达到参考输出时,状态和控制量的稳态值。问题可表述为,对于给定的LTI系统(1),在满足约束(2)的条件下,寻找合适的反馈控制律u=Φ(x),使得系统在跟踪常值参考信号 的过程中,系统状态始终满足约束条件,并有y(t)→ 。
可以得到,平衡状态下,控制量和状态的稳态值为:
= ( )=-(CA-1B)-1
( )=A-1B(CA-1B)-1
设控制器结构如下所示:
u= ()+v
= - =A(x- )+Bv=Ae+Bv
单向辅助面滑模控制器设计步骤如下:
Step 1选择合适的组合切换面
式中: $\begin{array}{l} \boldsymbol{c}_{1}=\operatorname{diag}\left[c_{11}, \cdots, c_{1 n}\right], \boldsymbol{c}_{2}=\operatorname{diag}\left[c_{21}, \cdots, c_{2 n}\right], \\ \boldsymbol{S}_{1}(\boldsymbol{e})=\left[S_{11}, \cdots, S_{1 n}\right]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{S}_{2}(\boldsymbol{e})=\left[S_{21}, \cdots, S_{2 n}\right]^{\mathrm{T}}, c_{1 i}> \\ 0, c_{2 i}>0, c_{1 i} \neq c_{2 i}, i \in\{1,2, \cdots, n\} \end{array}$。
Step 2对于二维空间(ei,∫ei),切换面S1i=ei+c1i∫ei;S2i=ei+c2i∫ei,i=1,2,…,n
将第i维的误差和误差积分组成的平面分为4个子区域,分别记为第ki子区域,k=0,1,2,3。如图1所示。
根据误差的选取要求,如图1所示取适当的点PS1i+、PS1i-、PS2i+、PS2i-,满足:
点PS1i+、PS1i-、PS2i+、PS2i-组成凸四边形Δ,满足-ai≤ei≤ai(ai>0),并组成线段H0i、H1i、H2i、H3i,作为该系统的单向辅助面。
Hki=ωki1ei+ωki2∫ei+Mki=0
式中:H0i=0,H1i=0,H2i=0,H3i=0分别表示单向辅助面线段所在直线的数学方程;ωki1,ωki2,Mki,k∈ ,表示这4个直线方程中对应的系数。
则点集:Q={(ei,∫ei)|Hki≥0,k=0,1,2,3}表示凸四边形Δ内部的所有点。如此,该点集便构成了正不变集。
Step 3考虑当前单向辅助面的第i个分量
Hki=ωki1ei+ωki2∫ei+Mki=0
其中:
ωi1=
ωi2=
则当前单向辅助面可记为 Hi=Ω 1ei+Ω 2∫ ei+Mi。 其中:H= ,Ω1=diag[ω11,…,ωn1],Ω2=diag[ω12,…,ωn2],M= 。
设计对于误差动态方程(7)的状态输出约束滑模控制器,即:
$\begin{array}{l} v\left(\Omega_{1} \cdot B\right)^{1}\left(\Omega_{1} \cdot A \cdot e \quad \Omega_{2} \cdot e\right) \quad B^{1} \\ \left(A \cdot e \Omega_{1}^{-1} \cdot \Omega_{2} \cdot e\right) \end{array}$
对原系统而言,所需的控制信号即为式(6)所示。
对于任意给定的初始条件P(t0),选定了组合切换面后,可组成以P(t0)为边界的凸四边形,构成正不变集。所设计的控制器能够完成正不变集控制[8]。常值跟踪问题中,当跟踪信号确定后,控制器初值由系统状态初值与误差信号初值确定,随状态演进,误差信号最终将单调达到0,系统完成跟踪。
v的值随着误差趋向于零,系统输入值最终将达到稳态 。选择合适的切换面,并恰当设置误差积分的初值,可以实现误差在固定子区域内运动,控制量v不会进行切换。
具体设置如下:
如图2,误差初值小于0时,设置误差积分初值为0,此时误差起点在0i子区域。随时间推进,误差积分由零变负,并与原点距离逐渐减小。最终将达到原点正下方一点。此时,误差e=0,控制量v=0,u= ,系统达到稳态。当误差初值大于0时,情况基本相同。由此可知,系统从初始位置到达稳态的过程中始终没有经过切换平面,控制输出v是误差的单值函数,由于误差ei的值随状态演进逐渐减小,所以误差控制量v由初始值单调变化到0。系统总控制量u=v+ 也由初始值单调变化到 。
由于控制量单调变化,对于满足控制约束和给定跟踪范围的初始状态范围也由下式确定:
$\left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{u}\left(t_{-}\right)=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\left(t_{-}\right)=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{X}}+ \\ \boldsymbol{B}^{-1}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_{0} \quad \boldsymbol{c}_{1}^{-1} \boldsymbol{c}_{2} \boldsymbol{x}_{0} \quad \boldsymbol{c}_{1}^{-1} \boldsymbol{c}_{2} \bar{X}\right) \\ \boldsymbol{u}\left(t_{\infty}\right)=\overline{\boldsymbol{u}}=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A} \overline{\boldsymbol{X}} \end{array}\right.$
不论起点在0i子区域还是在3i子区域,c1-1c2都是常值矩阵(0i子区域或3i子区域c1、c2数值大小相等,符号相同)。求解u(t0)、u(t∞)∈[umin,umax],就可以得到在给定控制范围xi∈[ni,mi],控制受限情况下起控点x0应该满足的范围。在此范围内,控制器可实现在控制量受限时跟踪参考信号且状态单调收敛于参考信号。起控点x0满足的范围即为该型控制结构下,控制系统所能满足跟踪指标要求的状态边界。通过对c1-1c2的合理取值,可以得到满足要求的控制器。
2 仿真验证
以某鸭尾舵复合控制的高超声速飞行器为研究对象[9],其纵向平面姿态运动微分方程为:
x= ,u= = x+ u
其中:ue、uc分别表示飞行器尾舵、鸭舵控制量。飞行器攻角要求保持在2°±1°范围内,俯仰角速率达到误差范围[-1°/s,5°/s],飞行器舵偏应满足的条件为:ue、uc∈[-20°,20°]。
欲使该范围都处于正不变集,需要使范围内的4个顶点((3,5),(3,-1),(1,5),(1,-1))代入式(11)中,满足控制量约束。
设置切换面为:
ωi1=
ωi2=
图3中三角形标注的位置表示控制指令。小长方形表示要求的状态量变化范围。实线与虚线之间的区域为控制量约束所形成的正不变集。在此范围内,系统都能满足控制量约束的情况下跟踪控制指令。
由仿真可知,用该方法设计的控制器,能够实现飞行器俯仰角速率的快速稳定,攻角的快速无静差跟踪,用舵量保持在±20°内,满足要求,系统状态满足约束条件。
3 结论
文中研究了线性系统状态输出及控制量输入有界约束跟踪问题。通过理论证明和仿真实验可知,对于给定的状态约束,可以设计包含该约束的不变集控制器。当初始状态满足控制量约束时,系统状态能够无静差跟踪指令,且各个状态量单调收敛,达到约束边界条件后将始终满足状态约束。对于未知的瞬时干扰,只要不使系统状态出离该不变集控制区域,系统依然能够将状态调节到指定位置,且控制量满足约束。基于不变集控制方法的调节器可以完成对非线性控制系统的调节,文中所推导的跟踪控制器如何应用于非线性系统尚待进一步研究。另外,如何加强系统的鲁棒性,克服由于模型不确定性引起的偏差,也值得深入探讨。