JPRMG

Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance >

2025 , Vol. 45 >Issue 4: 455 - 465

DOI: https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2025.04.002

Rocket and missile launch technology

Active Disturbance Rejection Control of Electro-hydraulic Erection System with Valve Dead Zone Consideration

  • ZHAO Gaoyang , 1 ,
  • YAO Jianyong , 1 ,
  • DENG Wenxiang 1 ,
  • LI Dongming 2 ,
  • ZHOU Zhengshou 2 ,
  • PAN Hongbo 3 ,
  • ZHANG Guoliang 3
Expand
  • 1 School of Machanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,Jiangsu,China
  • 2 Jiangsu Hengli Hydraulic Co., Ltd.,Changzhou 213164,Jiangsu,China
  • 3 Jiangsu Hengli Hydraulic Technology Co., Ltd.,Changzhou 213164,Jiangsu,China

Received date: 2025-03-04

  Online published: 2025-09-22

Fold

Abstract

Considering the coexistence of both matched and unmatched unknown disturbances in electro-hydraulic valve-controlled erection systems and the inherent dead-zone nonlinearity in hydraulic valves, a novel nonlinear controller is proposed. First, a nonlinear mathematical model of the electro-hydraulic erection system is established based on the electromechanical-hydraulic coupled dynamics of the system and the dead-zone characteristics of the hydraulic valve. Second, based on the full-state feedback condition, the aforementioned mathematical model is reformulated, and an adaptive extended state observer (AESO) along with a disturbance observer (DO) is designed to estimate both matched and unmatched disturbances, and effectively suppress the observation peaking phenomenon. Third, a novel active disturbance rejection controller is developed leveraging the aforementioned AESO and DO to achieve feedforward compensation for disturbances. Simultaneously, to address the inherent "differential explosion" issue in the conventional backstepping-based controller design framework, a nonlinear command filter is incorporated. At last, through rigorous analysis based on Lyapunov's theory, it demonstrates the boundedness of the motion errors of the system, observer estimation errors and filter error, and verifies the stability of the controller. A simulation platform is developed to validate the performance of the proposed controller. Comparative results with conventional industrial PID controller demonstrate that the proposed controller significantly enhances motion tracking accuracy of the electro-hydraulic erection system.

Key words： erection system; electro-hydraulic system; dead zone; active disturbance rejection control

Cite this article

ZHAO Gaoyang , YAO Jianyong , DENG Wenxiang , LI Dongming , ZHOU Zhengshou , PAN Hongbo , ZHANG Guoliang . Active Disturbance Rejection Control of Electro-hydraulic Erection System with Valve Dead Zone Consideration[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2025 , 45(4) : 455 -465 . DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2025.04.002

0 引言

起竖系统是一种用于将火箭、导弹、发射装置等物体从水平或倾斜状态快速、平稳地提升至垂直或预设角度的机械装置,其技术发展核心包括结构和控制的双重优化。在结构层面,为提升运载平台的机动性,起竖系统需具备高功重比、结构紧凑等特性;在控制层面,为减少运动角度偏差对后续作业的干扰,系统需集成高精度、高鲁棒性的控制方法,以实现对目标轨迹的精准跟踪并有效抑制未知干扰。在诸多驱动方案中,电液系统凭借其输出力矩大、功重比高等显著优势,在导弹武器发射装备的起竖系统中得到了广泛应用[1-2]。当前,传统电液起竖系统在实际应用中仍面临到位精度不足、抗干扰能力较弱、维护保养复杂等一系列突出问题,难以适应现代化军事体系对武器装备的严苛要求。因此,针对电液起竖系统开展进一步的研究仍具有重要意义。
为提升电液起竖系统的物理性能与控制效果,国内外学者开展了广泛而深入的研究。为提高起竖速度,冯江涛等提出了一种气体与液体混合驱动起竖方式,并在轻载场合进行了实验验证[3]。邓飙等针对多级缸起竖系统能量利用率不足的现状,提出了一种变频液压技术,减小了系统节流、溢流损失[4]。刘鑫等采用了三级非对称液压缸与非对称换向阀设计方案、负载敏感技术等,构建了一种大型快速起竖系统设计方案,可大幅缩减起竖时间[5]。在控制层面,由于阀控电液系统固有阀元件本身的强非线性特性、参数不确定性以及对外部干扰的高度敏感性等缺陷,导致高性能控制方法设计面临诸多技术挑战。同时,随着现代化战争体系的发展,传统线性控制方法已逐渐无法满足日益增长的对系统运动性能的需求。因此,针对阀控电液起竖系统,亟需开展更高性能的控制方法研究。为有效克服液动力对于比例伺服阀阀芯运动精度的影响,周宁等利用神经网络的万能逼近特性,通过对液动力的动态补偿,实现阀芯位移跟踪误差的有界稳定[6]。董振乐等针对电液伺服系统匹配和不匹配干扰共存的特点,提出一种基于干扰上界估计的连续渐近控制方法,提升了电液系统的控制精度[7]。为提高受控系统的鲁棒性,韩京清基于传统PID控制理念,提出了经典的自抗扰控制方法(active disturbance rejection control, ADRC),该方法具有方法简单、参数易于调节的特点,近年来得到了广泛应用[8-12]。在传统ADRC设计理念的基础上,王立新等基于实验辨识构造的死区函数与ADRC控制器设计方法,设计了一阶自抗扰控制器,提高了电液位置伺服系统动态性能和位置跟踪精度[13]。为进一步有效解决电液系统中的摩擦非线性问题,王立新等基于实验辨识构建了精确的摩擦模型设计了模型辅助自抗扰控制器,显著提升了液压缸在低速工况下的伺服控制性能[14]。为解决ADRC中反步法设计框架下的“微分爆炸”与虚拟控制器求导难的问题,Bai等结合一阶指令滤波器,实现了对电液阀控系统的高精度输出反馈控制[15]。Zhao等基于自抗扰控制框架,搭建了双自适应扩张状态观测器(adaptive extended state observer,AESO)代替了传统ADRC中线性扩张状态观测器(linear extended state observer,LESO),抑制了LESO带来的系统启动阶段的观测器峰值现象,实现了电液起竖系统的高精度运动[16]。除上述研究外,自适应控制[17-19]、预设性能控制[20-22]、滑模控制[23-25]等也是电液系统的常见非线性控制方法。
综上所述,可以发现针对被控系统的干扰问题构建观测器,将估计干扰作为补偿项,纳入控制器设计是一种常用的提高系统鲁棒性的策略。此外,观测器亦可以实现受控系统的输出反馈控制[15],具有较高的应用价值。然而尽管上述方法已取得了卓越的控制效果,但其应用多集中于较为简单的小负载应用场景,鲜有针对重载、起竖工况的研究,尤其是在同时考虑液压阀死区、多通道干扰不确定性以及虚拟控制器多次求导问题方面的研究较为匮乏。
针对上述问题,文中以提升电液起竖系统的运动控制精度为目标,将液压阀死区模型与起竖系统数学模型融合建模。通过引入AESO与干扰观测器(disturbance observer,DO),实现了对系统匹配与不匹配干扰的观测与补偿,有效避免了传统方法中因构造多个LESO导致的干扰估计值峰值叠加问题。此外,文中设计的一种增益自学习的指令滤波器,解决了虚拟控制率多次求导的问题,最终实现了电液起竖系统的高精度运动跟踪控制。

1 电液起竖系统数学模型

1.1 系统组成

电液起竖系统结构如图1所示,主要由工业计算机、电气设备、液压动力源、液压伺服阀、非对称液压缸以及发射架(含内部负载)组成。
图1 电液起竖系统示意图

Fig.1 Schematic diagram of the electro-hydraulic erection system

图2为电液起竖系统运动学模型示意图,展示了起竖系统运动中的初始位置与运动中的任意时刻位置。其中,O表示系统发射架的旋转轴中心,O1与O2分别表示液压缸的两个旋转连接点,O3表示发射架与其中负载(为简化描述,后续将发射架与其中负载统一表述为旋转负载)的初始质心位置,O'3表示旋转负载的实时质心位置,L1=OO2,L2=O1O2,L3=OO1,L4=OO3,L=O'1O2,θ0=∠O1OO2,β=∠O1OO3,θ=∠O1OO'1。为便于后续控制器设计,对系统做出如下假设。
图2 电液起竖系统运动学模型示意图

Fig.2 Schematic diagram of the kinematic model for the electro-hydraulic erection system

假设1:机械结构各处的柔性可忽略,各部件之间的连接均视为刚性连接,且系统状态完全可测量。
假设2:系统采用恒压液压动力源,其供油压力保持恒定,回油压力接近于零。系统的输出流量能够匹配相关部件的动态运动需求。

1.2 系统建模

根据牛顿第二定律,电液起竖系统的动力学方程可表述为:
J θ · ·=(A1P1-A2P2) ∂ x m ∂ θ-mgL4cos(θ+β0)-B θ ·-AfSf( θ ·)+d(t)
式中:J与m分别表示旋转负载的转动惯量和质量;θ, θ ·, θ · ·分别表示旋转负载的旋转角度、角速度与角加速度;A1与A2分别表示液压缸的无杆腔面积与有杆腔面积;P1与P2分别表示液压缸的无杆腔面积与有杆腔油压;xm表示液压缸位移;B表示粘性摩擦系数;AfSf( θ ·)表示库伦摩擦力矩,Af表示库伦摩擦幅值,Sf( θ ·)表示用于近似库伦摩擦力矩形状的连续函数;d(t)表示未建模的干扰力矩,如未知外部干扰、未建模摩擦力矩等;g表示重力加速度。
根据图2所示,液压缸位移xm的表达式为:
xm=L-L2= L 1 2 + L 3 2 - 2 L 1 L 3 c o s ( θ + θ 0 )-L2
则基于式(2),可进一步得出:
∂ x m ∂ θ= L 1 L 3 s i n ( θ + θ 0 ) L 1 2 + L 3 2 - 2 L 1 L 3 c o s ( θ + θ 0 )
忽略液压缸的外泄露,则液压缸的压力动态方程可写为[26]:
V 1 P · 1 = β e - A 1 ∂ x m ∂ θ θ · - C t ( P 1 - P 2 ) + Q 1 + q 1 ( t ) V 2 P · 2 = β e A 2 ∂ x m ∂ θ θ · + C t ( P 1 - P 2 ) - Q 2 - q 2 ( t )
式中:V1=V01+A1xm,V2=V02-A2xm分别表示液压缸无杆腔和有杆腔的容积,V01与V02分别表示液压缸两腔的初始容积;Ct表示液压缸内泄露系数;Q1与Q2分别表示液压缸进油与回油流量;q1(t)与q2(t)分别表示液压缸两腔压力动态未建模的高阶阀特性、复杂泄露特性等。
伺服阀的流量与阀芯位移的关系可表示为[26]:
Q 1 = k q x v Δ P 1 , Δ P 1 = P s - P 1 , x v ≥ 0 P 1 - P r , x v < 0 Q 2 = k q x v Δ P 2 , Δ P 2 = P 2 - P r , x v ≥ 0 P s - P 2 , x v < 0
式中:kq=Cdw 2 / ρ表示伺服阀流量增益系数,其中,Cd表示阀节流孔流量系数,w表示节流孔面积梯度,ρ表示液压油密度;Ps与Pr分别表示电液系统的供油压力与回油压力。
当系统使用高性能伺服阀时,阀元件的频宽将远大于系统频宽,因此可忽略阀的高阶动态,将阀芯位移与控制输入近似为比例关系:
xv=kixv(u)
式中:ki表示阀的电气增益;xv(u)表示考虑死区的控制输入。
将式(6)代入式(5)可得:
Q 1 = k t x v Δ P 1 Q 2 = k t x v Δ P 2
式中:kt=kqki表示相对于控制输入的总流量增益。
参照文献[27],定义系统状态变量x=[x1,x2,x3]T,其中x1=θ,x2= θ ·,x3=A1PL/J,PL=P1-AcP2,Ac=A1/A2。结合式(1)、式(4)与式(7),电液起竖系统的数学模型可写为如下状态空间表达形式:
x · 1 = x 2 x · 2 = X ( t ) x 3 - θ 10 g 1 ( x 1 ) - θ 20 x 2 - θ 30 S f ( x 2 ) + D 1 ( t ) x · 3 = θ 40 g 2 ( x v , x 3 ) x v ( u ) - θ 50 g 3 ( x 1 , x 2 ) - θ 60 g 4 ( x 1 , x 3 ) + D 2 ( t )
式中:常值参数θ10=m/J;θ20=B/J;θ30=Af/J;θ40=βekt/J;θ50=βe/J;θ60=β。其余定义见文献[27]。
根据文献[28],考虑死区的控制输入xv(u)可近似表述为:
xv(u)= K r u - K r b r , u ≥ b r 0 , b l < u < b r K l u - K l b l , u ≤ b l
式中:Kr与Kl分别表示阀死区函数的右侧斜率系数和左侧斜率系数;br与bl分别表示阀死区函数与横轴的右侧交点与左侧交点。阀死区函数的示意图如图3所示。
图3 阀死区非线性

Fig.3 Nonlinear characteristics of valve dead zone

基于文献[27],可对阀死区非线性函数的关键参数作出如下假设。
假设3:max{Kr,Kl}= K ¯,min{Kr,Kl}= K _,其中 K ¯与 K _均为已知的正数。
则基于假设3,式(9)可进一步改写为:
xv(u)=K(t)u+δ(t)
式中的K(t),δ(t)可表示为:
K(t)= K l , u ≤ 0 K r , u > 0
δ(t)= - K r b r , u ≥ b r - K ( t ) u , b l < u < b r - K l b l , u ≤ b l
同时,考虑到K(t)/ K _=1+a(t),其中a(t)为恒正且有界的分段连续函数。则结合式(10),式(8)表征的系统状态空间可进一步改写为:
x · 1 = x 2 x · 2 = X ( t ) x 3 - θ 1 g 1 ( x 1 ) - θ 2 x 2 - θ 3 S f ( x 2 ) + D 1 ( t ) x · 3 = θ 4 g 2 ( x v , x 3 ) u - θ 5 g 3 ( x 1 , x 2 ) - θ 6 g 4 ( x 1 , x 3 ) + D ¯ 2 ( t )
式中:θ1=m/J;θ2=B/J;θ3=Af/J;θ4=βekt K _/J;θ5=βe/J;θ6=βeCt/J; D ¯ 2(t)=D2(t)+ K _a(t)u+δ(t)。
为便于控制器设计,对系统作如下假设。
假设4:系统期望角度运动轨迹指令x1d是三阶连续可微且有界的。
假设5:未建模干扰D1(t)与 D ¯ 2(t)及其一阶导数满足:
$\begin{array}{l}\left|D_{1}(t)\right| \leqslant \xi_{1},\left|\bar{D}_{2}(t)\right| \leqslant \xi_{2} \\\left|\dot{D}_{1}(t)\right| \leqslant \xi_{3},\left|\dot{\bar{D}}_{2}(t)\right| \leqslant \xi_{4}\end{array}$
式中:ξ1,ξ2,ξ3,ξ4均为正数。

2 控制器设计

2.1 观测器设计

由式(13)可知,系统中同时存在匹配干扰与不匹配干扰。然而,如文献[8]、文献[9]、文献[11]、文献[13]与文献[14]等研究的自抗扰控制方法,仅能实现对匹配干扰的估计与补偿。为此,基于系统的全状态反馈信息,针对系统通道二和通道三的干扰特性设计观测器组,以实现对两类干扰的精确估计与有效补偿。
为便于观测器设计,定义xe1=D1(t)、xe2= D ¯ 2(t),则式(13)可被拆分并改写为:
x · 1 = x 2 x · 2 = X ( t ) x 3 + f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) + x e 1 x · e 1 = H 1 ( t )
x · 3 = θ 4 g 2 ( x v , x 3 ) u + f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) + x e 2 x · e 2 = H 2 ( t )
式(15)与式(16)中:H1(t)与H2(t)均为未知的有界函数,分别表示xe1与xe2的变化率(即导数);f1(x1,x2,x3)=-θ1g1(x1)-θ2x2-θ3Sf(x2);f2(x1,x2,x3)=-θ5g3(x1,x2)-θ6g4(x1,x3)。
在实际物理系统中,运动部件在静摩擦与动摩擦状态间的非线性切换特性,以及电机与液压系统的启动瞬态波动,往往引发系统受力信号的显著瞬时波动。LESO虽能保证全局估计精度,但其常数增益机制在系统波动时易估计到瞬态突变的干扰,导致观测峰值现象,进而对受控系统的稳定性造成不利影响。为此,文献[29]设计了一种AESO,通过时变增益,牺牲前期估计的一定精度,换取观测干扰项的平滑性,以保证控制器的稳定运行。因此,考虑到电液起竖系统初期存在的启动时状态短时波动,文中将基于AESO设计框架,针对式(15)构造扩张状态观测器:
x ^ · 1 = x ^ 2 - v 1 ( t ) ( x ^ 1 - x 1 ) x ^ · 2 = X ( t ) x 3 + f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) + x ^ e 1 - v 2 ( t ) ( x ^ 1 - x 1 ) x ^ · e 1 = - v 3 ( t ) ( x ^ 1 - x 1 )
式中: x ^ 1, x ^ 2与 x ^ e 1分别表示对系统状态x1,x2与扩张状态xe1的估计;vi(t)表示AESO的时变增益,i=1,2,3。
为使得AESO稳定且可准确估计观测状态,基于Lyapunov变换和微分代数谱理论[29-30],可设计时变增益vi(t)为:
v 1 ( t ) = - ( ρ 1 + ρ 2 + ρ 3 ) ω ( t ) - 3 ω · ( t ) / ω ( t ) v 2 ( t ) = ( ρ 1 ρ 2 + ρ 1 ρ 3 + ρ 2 ρ 3 ) ω 2 ( t ) + ( ρ 1 + ρ 2 + ρ 3 ) ω · ( t ) + 5 ω · · ( t ) / ω ( t ) - 3 ω · 2 ( t ) / ω 2 ( t ) v 3 ( t ) = - ρ 1 ρ 2 ρ 3 ω 3 ( t ) - 2 ( ρ 1 + ρ 2 + ρ 3 ) ω · · ( t ) - 2 ( ρ 1 ρ 2 + ρ 1 ρ 3 + ρ 2 ρ 3 ) ω ( t ) ω · ( t ) - 2 ( ω · · · ( t ) ω ( t ) - ω · ( t ) ω · · ( t ) ) / ω 2 ( t )
式中:ρi表示名义特征值,i=1,2,3;ω(t)表示用户自定的时变函数。为使得表征AESO增益的时变函数光滑且连续,将ω(t)定义为:
ω(t)=ω1+ω2tanh(ω3(t-Tc))
式中:ωi为正数,i=1,2,3,并满足ω1>ω2;Tc表示AESO增益的期望变化时间点。
由式(19)可知:
ω1-ω2≤ ω ( t )≤ω1+ω2
根据文献[29]与文献[30],当ρ1=-ω0,ρ2=(-0.5+0.866j)ω0且ρ3=(-0.5-0.866j)ω0时,可保证三阶AESO稳定,其中ω0为正常数。结合式(19),时变增益vi(t)可进一步设计为:
v 1 ( t ) = 3 ω 0 ω ( t ) = 3 ω A ( t ) v 2 ( t ) = 3 ( ω 0 ω ( t ) ) 2 = 3 ω A 2 ( t ) v 3 ( t ) = ( ω 0 ω ( t ) ) 3 = ω A 3 ( t ) ω A ( t ) = ω 0 ω ( t )
将式(21)代入式(17),可得:
x ^ · 1 = x ^ 2 - 3 ω A ( t ) ( x ^ 1 - x 1 ) x ^ · 2 = X ( t ) x 3 + f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) + x ^ e 1 - 3 ω A 2 ( t ) ( x ^ 1 - x 1 ) x ^ · e 1 = - ω A 3 ( t ) ( x ^ 1 - x 1 )
式中: x ~ 1=x1- x ^ 1; x ~ 2=x2- x ^ 2; x ~ e 1=xe1- x ^ e 1以及ε=[ε1,ε2,ε3]T=[ x ~ 1, x ~ 2/ωA(t), x ~ e 1/ ω A 2(t)]T,则结合式(17)与式(24)可得,AESO的观测误差动态为:
ε ·=ωA(t)C1ε+C2 H 1 ( t ) ω A 2 ( t )
式中:$\boldsymbol{C}_{1}=\left[\begin{array}{lll}-3 & 1 & 0 \\-3 & 0 & 1 \\-1 & 0 & 0\end{array}\right] ; \boldsymbol{C}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\0 \\1\end{array}\right]$
由此可见,矩阵C1是Hurwitz矩阵,则存在对称正定矩阵P,使得:
$\boldsymbol{C}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}+\boldsymbol{P} \boldsymbol{C}_{1}=-2 \boldsymbol{I}$
鉴于前提条件是系统状态完全可测量,针对系统第三通道存在的干扰,采用了一种干扰观测器对其进行观测估计。
定义辅助变量:
e0=xe2-γ1x3
式中γ1为正可调节增益。
对e0求导可得:
e · 0= x · e 2-γ1 x · 3=H2(t)-γ1(θ4g2(xv,x3)u+f2(x1,x2,x3))-γ1(e0+γ1x3)
则根据文献[15],辅助变量e0的导数的估计值可被定义为:
e ^ · 0=-γ1(θ4g2(xv,x3)u+f2(x1,x2,x3))-γ1( e ^ 0+γ1x3)
则结合式(25)与式(27),可进一步得到xe2的估计值:
x ^ e 2= e ^ 0+γ1x3
进而可得辅助变量e0的观测误差动态为:
e ~ 0=e0- e ^ 0=xe2- x ^ e 2= x ~ e 2
对 e ~ 0进一步求导可得:
e ~ · 0= e · 0- e ^ · 0=H2(t)-γ1 e ~ 0

2.2 观测器稳定性分析

定理1:通过调整观测器参数ω0,ω1,ω2以及γ1,使得矩阵Λ1=diag(ξ5-0.5,ξ5-0.5,ξ5-0.5,γ1-0.5)正定,则可使AESO与DO的干扰估计误差有界。
证明:定义如下的Lyapunov函数:
V1= 1 2εTPε+ 1 2 e ~ 0 2
结合式(23)和式(30),对V1求导可得:
V · 1=εP ε ·+ e ~ 0 e ~ · 0=εP ω A ( t ) C 1 ε + C 2 H 1 ( t ) ω A 2 ( t )+ e ~ 0( H · 2(t)-γ1 e ~ 0)
由式(20)与式(21)可知,存在常数ξ5与ξ6使得式(33)成立:
ξ5≤ ω A ( t )≤ξ6
结合式(24)与式(33),式(32)可进一步改写为:
$\dot{V}_{1} \leqslant-\xi_{5}\|\boldsymbol{\varepsilon}\|^{2}+\boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{P} \boldsymbol{C}_{2} \frac{H_{1}(t)}{\xi_{5}^{2}}-\gamma_{1} \widetilde{e}_{0}^{2}+\widetilde{e}_{0} H_{2}(t)$
基于假设5,根据杨氏不等式,可得:
$\boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{P} \boldsymbol{C}_{2} \frac{H_{1}(t)}{\xi_{5}^{2}} \leqslant \frac{1}{2}\|\boldsymbol{\varepsilon}\|^{2}+\frac{\left\|\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{C}_{2}\right\|^{2} \xi_{3}^{2}}{2 \xi_{5}^{2}}$
e ~ 0H2(t)≤ 1 2 e ~ 0 2+ 1 2 ξ 4 2
将式(35)与式(36)代入式(34)可得:
$\begin{array}{c}\dot{V}_{1} \leqslant-\left(\xi_{5}-0.5\right)\|\boldsymbol{\varepsilon}\|^{2}-\left(\gamma_{1}-0.5\right) \tilde{e}_{0}^{2}+\Delta_{1} X \leqslant \\-\boldsymbol{Z}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{Z}_{1}+\Delta_{1} \leqslant-\lambda_{1} V_{1}+\Delta_{1}\end{array}$
式中:Z1=[ε1,ε2,ε3,e0]T;λ1表示矩阵Λ1的最小特征值;Δ1= P 1 C 2 2 ξ 3 2/2 ξ 5 2+0.5 ξ 4 2为常数。
基于式(37),可得:
V1(t)≤ e - λ 1 tV1(0)+ Δ 1 λ 1(1- e - λ 1 t)
基于式(38),可知V1(t)是有界的,基于式(31)可得出ε1,ε2,ε3,e0均是有界的,进一步可得文中设计的观测器是稳定且误差有界的。

2.3 自抗扰控制器设计

在合理配置观测器参数的前提下,可精准获得系统干扰的估计值 x ^ e 1与 x ^ e 2,结合文中所针对的系统可实现全状态反馈,可进一步基于反步法设计框架对控制器进行具体设计。
考虑到反步法应用于三阶系统时,涉及对虚拟控制律的二次求导问题,结合电液起竖系统的模型复杂性,为防止出现“微分爆炸”问题、简化控制器设计流程,文中针对x3的虚拟控制律,引入了一种增益自学习的非线性指令滤波器,其主要结构形式可表示为:
α · f=-τζ- ζ l ^ 2 ζ l ^ t a n h ζ σ ( t ) + σ ( t )
式中:τ为正的滤波增益;αf表示α滤波值;ζ=αf-α表示滤波误差;l>0表示 α ·的上界; l ^表示l的估计值, l ^ ·=ϑ ζ, l ~= l ^-lϑ为正增益;σ(t)表示恒正的函数且满足 ∫ 0 t ( σ ( s ) + c ) d s ≤ σ ¯ < + ∞,其中c表示常数。
定义系统状态误差变量:
z 1 = x 1 - x 1 d z 2 = z · 1 + k 1 z 1 = x 2 - α 1 α 1 = - k 1 z 1 + x · 1 d z 3 = x 3 - α 2 f
式中:z1表示系统实际运动轨迹与期望运动估计间的跟踪误差;α1表示针对系统状态x2设计的虚拟控制律;z2表示x2与α1之间的偏差;α2表示针对系统状态x3设计的虚拟控制律;α2f表示α2的滤波值;z3表示x3与α2f之间的偏差;k1表示正的反馈增益。
基于式(39)可获得α2f:
α · 2 f = - τ 2 ζ 2 - ζ 2 l ^ 2 2 ζ 2 l ^ 2 t a n h ζ 2 σ 2 ( t ) + σ 2 ( t ) ∫ 0 t ( σ 2 ( s ) + c ) d s ≤ σ ¯ 2 < + ∞
式中:ζ2=α2f-α2; l ^ · 2=ϑ2 ζ 2。
结合式(13)与式(40),对z2求导可得:
z · 2= x · 2- α · 1=X(t)(z3+α2+ζ2)-θ1g1(x1)-θ2x2-θ3Sf(x2)+D1(t)- α · 1
为系统的稳定性,可设计虚拟控制律α2为:
α 2 = α 2 a 1 + α 2 a 2 + α 2 s α 2 a 1 = ( θ 1 g 1 ( x 1 ) + θ 2 x 3 + θ 3 S f ( x 2 ) + α · 1 ) / X ( t ) α 2 a 2 = x ^ e 1 / X ( t ) α 2 s = k 2 z 2 / X ( t )
式中:α2a1表示基于模型的前馈补偿控制律;α2a2表示基于AESO的干扰前馈补偿控制律;α2s表示鲁棒控制律;k2表示正的反馈增益。
将式(43)代入式(42)可得:
z · 2=X(t)(z3+ζ2)+ x ~ e 1-k2z2
结合式(13)与式(40),对z3求导可得:
z · 3= x · 3- α · 2 f=θ4g2(u,x3)u-θ5g3(x1,x2)-θ6g4(x1,x3)+xe2- α · 2 f
至此,最终设计自抗扰控制律为:
u = u a 1 + u a 2 + u s u a 1 = ( θ 5 g 3 ( x 1 , x 2 ) + θ 6 g 4 ( x 1 , x 3 ) ) θ 4 g 2 ( u , x 3 ) u a 2 = ( - x ^ e 2 + α · 2 f ) θ 4 g 2 ( u , x 3 ) u s = - 1 θ 4 g 2 ( u , x 3 ) k 3 z 3
式中:ua1表示基于模型的前馈补偿控制律;ua2表示基于DO与非线性指令滤波器的前馈补偿控制律;us表示鲁棒控制律;k3表示正的反馈增益。
将式(46)代入式(45)中,可得:
z3=-k3z3+ x ~ e 2

2.4 控制器稳定性分析

定理2:选取足够大的控制器增益k1,k2与k3,合适的指令滤波器增益τ2与ϑ2、观测器参数ω0,ω1,ω2以及γ1,使得如下定义的矩阵Λ2正定。
Λ 2 = Λ 3 τ 2 - 0.5 X ( t ) m a x Λ 4 γ 1 - 1 Λ 3 = y 1 y 2 y 3 Λ 4 = y 4 y 5 y 6
式中:y1=k1-0.5;y2=k2- X ( t ) m a x-0.5-0.5 ξ 6 2;y3=k3-0.5-0.5 X ( t ) m a x;y4=y5=ξ5-0.5;y6=ξ6-1。
则所设计的基于AESO和DO的自抗扰控制器可保证闭环系统所有信号均有界。
证明:定义如下的Lyapunov函数:
V2= 1 2 z 1 2+ 1 2 z 2 2+ 1 2 z 3 2+ 1 2 ϑ 2 l ~ 2 2+ 1 2 ζ 2 2+V1
结合式(37)、式(40)、式(41)、式(44)与式(47)对V2求导可得:
$\begin{array}{l}\dot{V}_{2}=z_{1}\left(z_{2}-k_{1} z_{1}\right)+z_{2}\left(X(t)\left(z_{3}+\zeta_{2}\right)+\tilde{x}_{\mathrm{e} 1}-k_{2} z_{2}\right)+ \\z_{3}\left(-k_{3} z_{3}+\tilde{x}_{\mathrm{e} 2}\right)+\tilde{l}_{2}\left|\zeta_{2}\right|-\zeta_{2} \dot{\alpha}_{2}-\left(\xi_{6}-0.5\right)\|\boldsymbol{\varepsilon}\|^{2}-\\\left(\gamma_{1}-0.5\right) \tilde{e}_{0}^{2}+\Delta_{1}-\tau_{2} \zeta_{2}^{2}-\frac{\zeta_{2}^{2} \hat{l}_{2}^{2}}{\zeta_{2} \hat{l}_{2} \tanh \left(\frac{\zeta_{2}}{\sigma_{2}(t)}\right)+\sigma_{2}(t)}\end{array}$
根据式(29)、式(41)可知:
x ~ e 2 = e ~ 0 α · 2 ≤ l 2
将式(51)代入式(50)可得:
$\begin{array}{c}\dot{V}_{2} \leqslant-k_{1} z_{1}^{2}-k_{2} z_{2}^{2}-k_{3} z_{3}^{3}+z_{1} z_{2}+z_{3} \tilde{e}_{0}+ \\|X(t)|_{\max }\left(z_{3} z_{2}+\zeta_{2} z_{2}\right)+\xi_{6}^{2} \varepsilon_{3} z_{2}+ \\\hat{l}_{2}\left|\zeta_{2}\right|-\left(\xi_{6}-0.5\right)\|\boldsymbol{\varepsilon}\|^{2}-\left(\gamma_{1}-0.5\right) \tilde{e}_{0}^{2}- \\\tau_{2} \zeta_{2}^{2}-\frac{\zeta_{2}^{2} \hat{l}_{2}^{2}}{\zeta_{2} \hat{l}_{2} \tanh \left(\frac{\zeta_{2}}{\sigma_{2}(t)}\right)+\sigma_{2}(t)}+\Delta_{1}\end{array}$
此外,注意到0≤ζ2tanh ζ 2 σ 2 ( t )≤ ζ 2,则有:
l ^ 2 ζ 2- ζ 2 2 l ^ 2 2 ζ 2 l ^ 2 t a n h ζ 2 σ 2 ( t ) + σ 2 ( t )≤σ2(t)
根据杨氏不等式,可得:
z 1 z 2 ≤ 1 2 z 1 2 + 1 2 z 2 2 z 3 e ~ 0 ≤ 1 2 z 3 2 + 1 2 e ~ 0 2 z 3 z 2 + ζ 2 z 2 ≤ z 2 2 + 1 2 z 3 2 + 1 2 ζ 2 2 ξ 6 2 ε 3 z 2 ≤ 1 2 ε 3 2 + ξ 6 2 2 z 2 2
将式(53)、式(54)代入式(52),可得:
$\begin{array}{c}\dot{V}_{2} \leqslant-\left(k_{1}-0.5\right) z_{1}^{2}-\left(k_{2}-|X(t)|_{\max }-\right. \\\left.0.5-0.5 \xi_{6}^{2}\right) z_{2}^{2}-\left(k_{3}-0.5-0.5|X(t)|_{\max }\right) z_{3}^{2}- \\\left(\tau_{2}-0.5|X(t)|_{\max }\right) \zeta_{2}^{2}-\left(\xi_{5}-0.5\right) \varepsilon_{1}^{2}- \\\left(\xi_{5}-0.5\right) \varepsilon_{2}^{2}-\left(\xi_{5}-1\right) \varepsilon_{3}^{2}-\left(\gamma_{1}-1\right) \tilde{e}_{0}^{2}+ \\\Delta_{1}+\sigma_{2}(t) \leqslant-\mathbf{Z}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Lambda}_{2} \boldsymbol{Z}_{2}+\Delta_{2}(t)\end{array}$
式中:Z2=[z1,z2,z3,ζ2,ε1,ε2,ε3, e ~ 0]T;Δ2(t)=Δ1+σ2(t)。
因Δ1为常数,则当控制器相关参数选取恰当,并使得Λ2正定时,结合σ2(t)的性质可得:
V 2 ( t ) + ∫ 0 t Φ ( s ) d s ≤ V 2 ( 0 ) + ∫ 0 t Δ 2 ( s ) d s ≤ V 2 ( 0 ) + σ ¯ 2
式中,Φ= Z T 2Λ2Z2。
由此可知,函数V2(t)是有界的,函数Φ是积分有界的,又因Φ为恒正函数,则可进一步推导得:
V2(t)≤V2(0)+ σ ¯ 2
根据式(49)可知,误差z1,z2,z3均有界。且误差z1存在上界:
z1≤ 2 ( V 2 ( 0 ) + σ ¯ 2 )
则基于假设4与假设5,可推导出系统状态x1,x2,x3与xe1,xe2均是有界的。结合实际阀输入物理约束与控制输入u的表达式可知控制输入u也是有界的,因此闭环系统所有信号均为有界的。基于z1,z2,z3的动态可知,函数Φ的导数有界,因此Φ是一致连续的。由Barbalat引理[31]可知,当t→+∞时,函数Φ趋近于0,即z1→0。

3 仿真验证

为验证设计的控制器效果,基于Matlab/Simulink仿真平台,搭建电液起竖系统仿真模型,模型的主要物理参数为:Ps=21 MPa,Pr=0 MPa,液压缸缸径D=0.2 m,液压缸杆径d=0.12 m,则可得A1=πD2/4 m2,A2=πd2/4 m2,J=1.5×105 kg·m2,m=10 t,βe=700 MPa,Af=3×103 N·m,Ct=9.6×10-13 m5/N/s,B=2.5×105 N·m4·s/rad,g=9.8 m/s2,kt=7.937×10-8 m4/(s·V· N),L1=1.6 m,L2=2 m,L3=3.5 m,L4=3 m,Kr=Kl=1,br=1,bl=-1。
施加干扰:仿真中的干扰设计主要由两种方式组成:其一为直接施加的d11(t)=5000sin(t),液压缸两腔压力动态未建模的高阶阀特性、复杂泄露特性q11(t)=5×10-5sin(πt),q21(t)-5×10-5sin(πt);其二,为模型误差,首先设Simulink中的机械系统模型L1=1.6 m,而在控制器中,为凸显建模误差,将L1改为1.5 m,产生了机械系统的建模误差d12(t),其次,在控制器中A1与A2进行了圆整,产生了d13(t)、q12(t)与q22(t),进而产生了实际施加的仿真误差。实际施加的仿真误差可表示为:d(t)=d11(t)+d12(t)+d13(t),q1(t)=q11(t)+q12(t),q2(t)=q21(t)+q22(t)。
根据常见的起竖运动工况,对系统运动的角加速度与角速度进行规划,其结果如图4所示。为验证所提控制方法的优越性,选择工业常见的PID控制法与ADRC作为对比方法,采用试验法确定的3种方法的参数设计如下所示。
图4 规划的角运动学参数

Fig.4 Trajectory-planned angular kinematics

1)AD-ADRC(AESO and DO based ADRC),即文中设计的基于AESO与DO的自抗扰控制器。观测器参数设计为ω0=100,ω1=1.01,ω2=1,ω3=1,Tc=1,γ1=5;非线性滤波器参数设计为τ2=500,ϑ2=1;反馈增益设计为k1=150,k2=50,k3=50。
2)ADRC,此处特指文献[8]、文献[9]所提出的自抗扰控制器。观测器参数设计为ω=200;反馈增益设计为k1=150,k2=50,k3=50。
3)PID,PID控制器因结构简单、调节方便等原因,在工业控制领域得到了广泛应用。其参数可按照试验法进行调节,分别取kP=200,kI=200,kD=0。
基于图4设计的期望运动轨迹,结合两者控制方法,仿真结果如图5~图11所示。
图5 AD-ADRC的控制效果

Fig.5 Control performance of AD-ADRC

图6 AESO的状态估计结果

Fig.6 State estimation results of AESO

图7 AESO的干扰估计结果

Fig.7 Disturbance estimation results of AESO

图8 DO的干扰估计结果

Fig.8 Disturbance estimation results of DO

图9 AD-ADRC计算的控制输入

Fig.9 Calculated control input of AD-ADRC

图10 三种控制器的跟踪误差对比

Fig.10 Tracking error comparison between three controllers

AD-ADRC的控制效果如图5所示。
图6展示了所设计的AESO对系统状态的估计结果。虽使用了全状态反馈,并未使用AESO对系统状态的估计值进行控制器设计,但对系统状态的精准估计从另一方面证明AESO获得的干扰估计结果的准确性。同时,注意到图7所展示AESO的干扰估计结果相较于文献[27]并未出现峰值现象,体现出了AESO相较于传统LESO的优越性。
图8展示了所设计的DO对系统第三通道干扰的估计情况。
图9展示了AD-ADRC所计算出的控制输入信号,可见信号整体上光滑连续,并未出现大面积的抖振与毛刺现象,有利于真实物理系统对控制信号的传输、避免了因控制信号突变带来的系统低频振动与液压阀阀芯频繁切换。
图10展示了AD-ADRC、ADRC与PID的控制误差对比情况。为量化控制性能,选择平均值μe、中值Me以及标准差σe作为性能指标,对比结果如表1所示。
表1 3种控制器性能指标

Table 1 Performance metrics of three controllers(°)

Metrics μe Me σe
AD-ADRC -5.87×10-4 -5.42×10-4 1.68×10-3
ADRC -4.02×10-3 -3.60×10-3 1.21×10-2
PID 5.17×10-3 -5.37×10-4 1.57×10-1
由图10和表1可知,所提出的AD-ADRC控制器的控制效果优于传统PID与ADRC控制器。
考虑到实际系统长时间运行后,可能出现传感器零位偏置、电气老化等因素,影响控制器运算精度。工程应用人员可通过定期维护、使用前传感器校准等常见维护方法,必要时通过调整控制器参数,即可保证控制器的稳定性。

4 结论

针对阀控电液起竖系统存在匹配与不匹配干扰、传统LESO存在观测峰值现象、高阶系统控制器设计中的“微分爆炸”等问题,提出基于AESO与DO的自抗扰控制器(AD-ADRC),得到了以下结论:
1)通过对阀死区模型与电液起竖系统机电液动力学的耦合建模,获得了考虑阀死区非线性的系统状态空间方程,提高了系统建模的准确性;
2)利用AESO与DO组成新的观测器组,并引入了一种增益自学习的非线性指令滤波器,从而构建了一种新型自抗扰控制器设计框架,抑制了LESO带来的观测峰值问题、有效降低了自抗扰控制技术在高阶非线性系统中的工程实现复杂度;
3)通过与传统PID、ADRC控制器的仿真对比,证明了文中所提出的控制器的有效性和优越性能。
然而,受制于全状态反馈需求,所提控制器仅适用于配备全状态监测传感器的电液起竖系统。且受制于前提约束,其潜在要求应用系统定期维护以保证各类前提假设成立。针对上述问题,后续将进一步研究具备系统内部参数自适应能力与低传感器依赖性的AD-ADRC控制器,进一步增强其应用可行性。

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