0 引言
近年来,编队控制方法的主要研究对象为无人机,以弹为研究对象的编队控制方法相对较少。韦常柱等[4-5]运用最优性理论展开推导,依据PI最优控制理论设计控制器。彭明星等[6]针对反舰导弹的编队问题分别在惯性系下和编队的期望平面下进行基于领弹-从弹法的控制器设计。马培蓓等[7-9]重点研究了多智能体系统技术,基于从弹的误差动力学特性设计三维编队控制器。王晓芳等[10-12]、刘东责[13]、王紫扬[14]在目标机动且导弹速度可变的前提下,基于固定时间策略并结合动态面法设计了具有制导控制一体化能力的控制器。成偲静[15]基于反步控制律,设计了有限时间收敛的一致性编队控制律。陈昶荣等[16-18]以侧滑转弯飞行器为研究对象,运用反演法,通过将滑模变结构控制与径向基函数RBF神经网络自适应理论相结合设计的IGC编队控制器,能够实现制导控制一体化。魏诗卉等[19]改变状态变量的选取,采用非奇异终端滑模控制方法设计了一种新型的多弹编队控制器。张振林等[20-21]基于导弹速度不可控前提条件,采用自适应动态面控制理论进行多弹编队飞行控制器设计。
对于现有的领弹-从弹式模型,研究人员通常会忽略领弹的加速度项,在领弹保持直线运动时对于从弹的跟踪无影响;但在领弹做曲线运动时,忽略加速度项会使得误差持续积累以至于无法保持编队预定队形,在动力学模型中补偿这一项能起到良好的效果。在滑模控制中,由于趋近律的系数在整个控制过程中都是固定不变的,若期望快速达到稳定则会增加超调量,若想减小超调量则会影响收敛速度,针对趋近律的系数采用指数函数,可以使系统快速达到稳定,并减小超调量。
现有文献对于编队控制器设计主要集中在惯性坐标系和相对坐标系下,文中提出一种将领弹视为参照点,通过从弹对领弹的追踪,在领弹弹道坐标系下进行控制器设计的方法。首先在惯性坐标系下定义相对运动坐标系,将相对运动模型转化在领弹弹道坐标系下;其次将从弹在视线坐标系的位置与领弹在惯性坐标系下的速度作为状态变量,以从弹的加速度作为控制量,结合从弹的相对位置与期望位置的误差以及领弹的速度误差,采用滑模变结构控制理论进行编队控制器设计;最后以1领弹2从弹的编队结构为对象开展仿真验证。仿真结果表明所提出的方法能够快速精确地对期望队形进行构建和保持。
1 多弹编队控制器设计基础
1.1 多弹编队控制器理论设计基础
参照多弹协同攻击方法设计编队控制器,在惯性坐标系下领弹与从弹的相对运动关系如图1所示。
图1中Oxyz为惯性坐标系,Olxlylzl为领弹弹道坐标系,原点O为初始发射位置,Ox为弹道面与水平面交线,指向目标为正,Oy轴垂直向上,Oz轴与其余两轴垂直构成右手系;原点Ol位于领弹的瞬时质心,Olxl与领弹速度矢量Vl重合,Olyl位于包含Vl的铅垂面内且与Olxl轴垂直,Olzl与另外两轴垂直构成右手坐标系;从弹的弹道坐标系Ofxfyfzf与领弹同理。
图2分别表示了惯性坐标系Oxyz和领弹的弹道坐标系Olxlylzl,θl和ψl分别表示领弹的弹道倾角和弹道偏角。同理,θf和ψf分别表示从弹的弹道倾角和弹道偏角。
导弹由惯性坐标系到弹道坐标系的变换矩阵可通过两次旋转求得。惯性坐标系与弹道坐标系之间的转换矩阵为:
$\left.\boldsymbol{L}\left(\psi_{l},\theta_{l}\right)=\boldsymbol{L}_{z}\left(\theta_{l}\right)\boldsymbol{L}_{y}\left(\psi_{l}\right)= \\\left[\begin{array}{ccc}\cos\theta_l\cos\psi_l & \sin\theta_l & -\cos\theta_1\sin\psi_l \\-\sin\theta_l\cos\psi_l & \cos\theta_l & \sin\theta_1\sin\psi_l \\\sin\psi_l & 0 & \cos\psi_l\end{array}\right.\right]$
由图1领弹与从弹相对位置关系得到式(2),对公式两边求导得到式(3)。
r=rf-rl
= - =Vf-Vl
其中:Vf表示从弹的速度矢量;Vl表示领弹的速度矢量。以惯性坐标系为定坐标系,领弹弹道坐标系为动坐标系,根据绝对导数与相对倒数的关系可得:
Vf-Vl= +ωr
其中:dr/dt为矢量r在惯性坐标系下的相对导数;∂r/∂t为矢量r在领弹弹道系下的相对导数;ω为领弹弹道坐标系相对惯性系的旋转角速度,将速度矢量Vl投影到弹道坐标系下,设从弹在领弹弹道坐标系下的投影分别为x,y和z,代入得到:
1.2 多弹编队控制器设计模型
将领弹和从弹的速度分解到惯性坐标系三轴上,领弹的分解方式与从弹相同:
将式(5)对时间求导:
从弹切向加速度 、从弹弹道倾角加速度 、弹道偏角加速度 与从弹三方向加速度ax,ay,az的转换公式为:
将式(5)~式(7)整理得:
其中:X1=[x y z]T;X2=[Vf,x Vf,y Vf,z]T;X3=[Vl,x Vl,y Vl,z]T;控制量U=[ax ay az]T;矩阵A,B,C,E为:
A= ;
B= ;
C= ;
E= 。
饱和函数sat定义为:
sat(x)=
设从弹期望位置X*=[x* y* z*]T,位置误差e1=X1-X*,速度误差e2=X2-X3。得到系统的误差方程:
2 控制器设计与稳定性分析
2.1 多弹编队控制器设计
在误差方程中补偿领弹加速度项后,采用滑模变结构控制方法设计控制器。
选用滑模面:
s=k1e1+e2
对滑模面求导:
=k1 +
选用指数趋近律:
=-k2s
整理式(11)~式(14)得初始控制律:
U= (-k1 -k2s+Ea-D)
式中:所补偿的加速度项和扩张状态量D为同一量级的物理量,若领弹为直线轨迹,Ea为0,不会对从弹的跟踪产生影响;若领弹存在机动,补偿加速度项会直接减小控制律中D的影响,使系统具有更好的稳定性。
通过设计ESO观测器对D进行观测:
式中:e为ESO对系统状态量X2的观测误差;z1和z2分别为ESO对系统状态量X2的观测值和扩张状态量D的观测值。
考虑到从弹未达到期望位置时,减小趋近律对系统的影响,增加指数函数作为趋近律的系数,使趋近律在从弹距离期望位置较远时作用变小,而在从弹距离期望位置较近时,趋近律发挥作用使系统保持稳定。
式中:x,y,z,x*,y*,z*分别表示从弹在领弹弹道坐标系下的相对位置和期望位置;R,R'分别表示相对距离和期望距离;k和k3均表示系数。
指数趋近律可以使系统状态在较短时间内以指数变化速率收敛到滑模面,但会引起较大的超调量,在编队开始集结时,从弹未达到期望位置且距离较远,通过设置合适的系数k3,使从弹和领弹到达一定距离后,系数k以指数形式逐渐增加,此时趋近律再逐渐发挥作用,在滑模面S快速收敛的同时,降低系统的超调量。
结合ESO观测器,整理式(15),控制律最终设计为:
$\boldsymbol{U}=\frac{1}{C}(\begin{array}{c}k( & -k_1\dot{\boldsymbol{e}}_1-k_2\mathrm{s})\end{array}+\boldsymbol{E}a-\hat{\boldsymbol{D}})$
2.2 多弹编队控制器稳定性分析
选取Lypunov函数为V=sTs/2,对该函数进行求导可得 =ST 。将式(13)代入得:
$\begin{aligned} & \boldsymbol{V}=\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\dot{\boldsymbol{s}}=\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}(k_{1}\dot{\boldsymbol{e}}_{1}+\dot{\boldsymbol{e}}_{2})= \\ & \boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\left(k_{1}\dot{\boldsymbol{e}}_{1}+\boldsymbol{C}\mathrm{sat}\left(\boldsymbol{U}\right)-\boldsymbol{E}a+\boldsymbol{D}\right)= \\ & \boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}(k_{1}\dot{\boldsymbol{e}}_{1}+k(-k_{1}\dot{\boldsymbol{e}}_{1}-k_{2}\boldsymbol{s})+\boldsymbol{D}-\hat{\boldsymbol{D}})= \\ & \begin{pmatrix}1-k\end{pmatrix}k_{1}\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\dot{\boldsymbol{e}}_{1}-k_{2}\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{s}+\boldsymbol{s}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{D}-\boldsymbol{D}\right)\end{aligned}$
随着领弹与从弹距离的减小,指数函数k逐渐趋向于1,设 < , 为有上限的常数。
引理1[22]:设x=0是自治系统 =f(x)的一个平衡点;V:Rn→R是一个连续可微且径向无界的正定函数;Rn包含原点x=0,且在Rn内满足 (x)≤0。设:S={x∈Rn: (x)=0},并假设除解x(t)≡0之外,没有其他解同样保持在S内,那么原点是全局渐进稳定的。
由式(19)可知,在 相对较小,且领弹与从弹距离偏差减小的情况下,由于系统不恒为零,系统是渐进稳定的,即 (x)≤0。
3 仿真分析
以1领弹2从弹的编队结构为对象开展仿真验证,2枚从弹追踪沿着预定轨迹飞行的领弹,以达到并保持预期的编队队形。编队控制器的参数值设置为k1=100,k2=2,k3=100,观测器参数设置为β1=40,β2=200,设领弹初始的弹道倾角θl为40°,初始速度为900 m/s,仿真步长为0.001 s,领弹与从弹的具体参数如表1所示。
表1 领弹与从弹初始参数表Table 1 Initial parameter table of leader and follower missile |
| Parameter | Learder | Follower 1 | Follower 2 |
|---|---|---|---|
| Initial velocity/ (m/s) | 900 | 900 | 900 |
| Coordinates in inertial frame/m | (0,5,0) | (-50,0,300) | (-100,0,200) |
| Expected coordinates in ballistic system/m | (200,400,-200) | (200,-100,-300) |
图4 从弹1在X方向期望与跟踪位置Fig.4 Expectation and tracking position of follower 1 in X direction |
图5 从弹1在Y方向的期望与跟踪位置Fig.5 Expectation and tracking position of follower 1 in Y direction |
图6 从弹1在Z方向的期望与跟踪位置Fig.6 Expectation and tracking position of follower 1 in Z direction |
4 结论
文中研究了领弹弹道坐标系下多弹编队控制器的设计方法,将领弹视为参照点,通过从弹对领弹的追踪,实现从弹的相对位置和速度分量达到预设的期望值。首先,在惯性坐标系下定义相对运动坐标系,建立领弹与从弹的相对运动模型,将相对运动模型转化在领弹弹道坐标系下。其次,将从弹的相对位置和速度分量设为状态变量,通过状态变量的实际值与期望值的差值构建误差方程,并在误差方程中对领弹的二阶加速度项进行补偿,采用滑模控制求得编队控制器,趋近律系数采用指数函数,使趋近律在从弹距离期望位置较远时作用变小,而在从弹距离期望位置较近时,使趋近律发挥作用让系统保持稳定,同时设计ESO观测器对误差进行观测。最后,仿真验证了设计的编队控制器可以有效实现并保持编队,且表现出良好的控制效果。