Trajectory Generation Technology for Unmanned Aerial Vehicles Based on Lyapunov Vector Field Method

CAO Shenglin; HAN Shuai

doi:10.15892/j.cnki.djzdxb.2025.04.009

Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance >

2025 , Vol. 45 >Issue 4: 516 - 522

DOI: https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2025.04.009

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Trajectory Generation Technology for Unmanned Aerial Vehicles Based on Lyapunov Vector Field Method

CAO Shenglin ^,¹ ,
HAN Shuai ^,²

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¹ Southampton Ocean Engineering Joint Institute, Harbin Engineering University, Harbin 150001, Heilongjiang, China
² College of Intelligent Systems Science and Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, Heilongjiang, China

Received date: 2024-09-27

Online published: 2025-09-22

Fold

Abstract

To address the challenge of Unmanned Aerial Vehicles (UAVs) tracking unknown moving targets at sea, firstly, a tracking system model and vessel motion model are established with the target as the coordinate system' s originand based on the Lyapunov vector field guidance method, the tracking trajectory is subsequently designed under the condition of the target within the visual field of the UAVs. Secondly, to fulfill the demands of the practical application scenarios and on-board mission equipment, the vector field transformation and rotation functions are added on the basis of the original method, which ensure the planned trajectory to track the moving target in time, steer clear of situation involving trajectory divergence or target misplacement as well. Lastly, a vector field optimization approach is introduced to prevent evasive maneuvers of the targets, permitting constantly trajectory tracking under the condition that the target performs a continuous slew maneuver for escape. The results of the simulation experiments obviously demonstrate that the proposed method can achieve stable and continuous tracking of static and dynamic targets on the sea surface. In summary, the way we introduced holds great potential for practical engineering applications, such as significantly promote the development of UAV technology in the marine field.

Key words： Dynamic Target Tracking; Trajectory Generation; Vector Field; Anti-constraint target maneuver strategy

Cite this article

CAO Shenglin , HAN Shuai . Trajectory Generation Technology for Unmanned Aerial Vehicles Based on Lyapunov Vector Field Method[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2025 , 45(4) : 516 -522 . DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2025.04.009

0 引言

无人机具有滞空时间长、可进入危险环境、能够反复观测同一位置等特点,因而在搜救、空中巡逻、电力电线检测、军事作战等方面得到广泛应用^[1-2]。其中,海面目标跟踪问题就是研究热点之一。

在无人机跟踪海上目标的过程中,轨迹规划是确保跟踪任务高效、准确完成的关键。无人机跟踪海面目标,尤其是海面不合作目标,需要与目标保持一定的距离,根据目标的动态变化自主实时调整飞行轨迹,适应目标的不规则运动。

无人机跟踪海面目标的研究方法很多^[3-12],主要可以分为三类。Rysdyk^[13]提出的基于舵手行为的轨迹规划方法,通过同时减小的航向和位置误差,使无人机收敛到跟踪轨迹,但在导引过程中移动目标存在航向不确定,带来目标跟踪滞后导致任务失败的问题。Justh等^[14]提出的基于振荡器模型的规划方法,同时考虑了无人机与目标之间的位置、速度误差,并通过加权方法给出跟踪指令。这种方法的跟踪效果受加权因子的影响较大。Lawrence等^[15]提出的以目标为中心的Lyapunov矢量场制导方法(LGVF),可以使运动中的无人机在Lyapunov函数引导下最终收敛到以目标为中心的环形轨迹上。相比前两种路径跟踪算法,该方法不依靠逻辑切换,实现简单、计算量小。

文中基于Lyapunov矢量场制导方法设计了跟踪轨迹,在此基础上通过新增矢量场映射、矢量场旋转功能实现了对运动目标的多策略轨迹规划。针对舰船为躲避跟踪主动逆向机动问题,提出了一种反目标机动的矢量场优化方法,有效解决了无人机“甩尾”问题。

1 无人机海面目标跟踪模型

1.1 海面目标跟踪系统建模

考虑到跟踪水面舰船运动目标时,无人机一般做定高飞行,舰船在海平面作相对的慢速运动,因此可以将海面目标跟踪问题简化为二维模型,可建立如图1所示的跟踪坐标系,以目标舰船作为坐标原点,以正北为x轴,正东为y轴,无人机相对于目标舰船的位置可以表示为r=[x y]^T。

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图1 无人机海面目标跟踪坐标系

Fig.1 Coordinate system for UAV target tracking

通过对无人机和舰船的相对几何关系分析,可以得出相对速度关系的描述为:

(1)

x · = V c o s ψ - V t, x y · = V s i n ψ - V t, y ψ · = ω - ω t

要求无人机性能在其性能约束范围内,需要满足如下约束:

(2)

ω

≤ω_max

(3)V_min≤V≤V_max

式中:ψ为无人机飞行速度与正北之间的夹角,v为无人机飞行速度,(x,y)为无人机与海面舰船之间的相对平面位置;V_t,_x、V_t,_y为目标舰船在X,Y方向的速度分量;ω为无人机偏航角速度;ω_t为目标舰船的偏航角速度;ω_max为无人机最大偏航角速度;V_min,V_max分别为无人机最小和最大的飞行速度。

1.2 舰船运动学建模

为了准确分析跟踪系统的有效性,需要对跟踪目标的动态特性开展建模分析。船舶运动的坐标系如图2所示,船舶的机体系O-XYZ,以舰船的重心为原点O,X轴在中纵剖面内,正方向指向船艏,Y轴正方向指向右舷,Z轴指向由右手定则确定,定义舰船X轴与正北之间的夹角为航向角ψ_t,以顺时针为正。

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图2 海面舰船运动坐标系

Fig.2 Ship motion coordinate system

舰船在水面航行过程中具有较大的惯性,同时操纵面能力有限,舰船在水面航行运动具有较为显著的低频特性,舰船操纵运动的一阶响应模型为^[16-17]:

(4)T

ω · t

+ω_t=Kδ

式中:ω_t为舰船偏航角速度;δ为操舵角度;K为旋回性指数,实质上是定常旋回中的船舶每单位舵角产生的转首角速度值;T为舰船追随性指数,又称为时间常数,数值小表示操纵舵面后获得较高的偏航角加速度。为了去除船速与舰船尺寸影响,一般对K,T进行无因次化处理,得到:

(5)

K' = K L V t T' = T V t L

式中:L表示舰船长度;V_t表示舰船航速。舰船操纵运动的一阶响应模型表示为:

(6)

T' L V t ω · t

+ω_t=

K' V t L

采用基于统计分析的回归公式方法估算,对K,T进行估计,根据张显库等^[18-19]的计算公式估算K',T':

(7)K'=47.875-2.64

L B

+0.0004

L d A R

+66.589

C b 2

-112.702C_b+3.826C_b

L B

-0.293C_b

B d

(8)T'=26.464+0.408C_b

L d A R

-0.033

L B L d A R

-79.114C_b+0.757

L B

+46.129

C b 2

式中:B表示船体宽度;d表示吃水深度。

根据公开资料,船体方形系数C_b按照0.55估算,舵面积比的倒数Ld/A_R按照统计值中位40估算。根据简氏防务查到的公开信息,典型驱逐舰的主要参数如表1所示。可以估算出驱逐舰的旋回性指数、追随性指数为K'=0.458,T'=0.77,舰船的一阶模型可以估算如下:

(9)

110.88 V t ω · t

+ω_t=0.003V_tδ

表1 典型驱逐舰部分参数

Table 1 Partial parameters of a certain type of destroyer

Load/t	Length/m	Width/m	Draft/m
4 200	144	16	5.2

2 基于Lyapunov矢量场跟踪轨迹规划

2.1 传统的基于Lyapunov矢量场

Lawrence等^[15]提出的基于Lyapunov矢量场的方法通过解析表达式计算每个空间位置上的导引矢量,具有逻辑简单、计算量小的优势。对于无人机的跟踪制导,创建一个矢量场:

(10)

r · d

=h(r)

函数h(r)能够在每个空间位置上都提供一个速度指令矢量

r · d

作为飞机的制导指令,这种渐进行为可以通过吸引子来实现,吸引子收敛到的曲线A应是闭合且内部点不相交的,期望的吸引子被指定为非负标量势函数V(r)的零级集合^[15]。因此,函数V(r)需要满足以下条件:

1)V(r)在所有r∈R²半正定,且当V(r)r∈A时V(r)=0;

2)V(r)是径向无界的;

3)V(r)对于所有r∈R²均连续可微,并且没有局部极值;

4)V(r)不是时间的显式函数。

构建满足上述要求的Lyapunov函数为:

(11)V(r)=V(x,y)=

(r 2 - r 02) 2

式中:r=

x 2 + y 2

为无人机和海面舰船之间的平面距离;r₀为期望的跟踪半径。可以得到收敛曲线A为:

(12)A={[x y]^T∈R²

x 2 + y 2 = r 02

}

即满足V(x,y)=0的点均位于以目标点为圆心,半径为r₀的圆弧上。

基于Lyapunov矢量场理论,可以得到期望的矢量场定义^[20]:

(13)

r · d

d V (r) d r Γ (r) T

+S(r)

式中:-

d V (r) d r Γ (r) T

称为向心分量,记为A(r),表征矢量场向期望圆弧的收缩的速度;Γ(r)为缩放矩阵。Γ(r)的定义为:

(14)

Γ (r) = 1 α (r) Π 2 × 2

式中:α(r)为速度归一化项;

Π 2 × 2

为2×2单位矩阵;S(r)称为环形分量,表征矢量场对期望圆弧的跟踪情况。S(r)可表示为:

(15)S(r)=

λ α (r) n^

式中

n^

表示平面内与r垂直垂直的单位向量。

n^

(r)两者正交,其组合关系决定了矢量场的分布情况,几何关系如图3所示。

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图3 期望矢量场环形分量和向心分量示意图

Fig.3 Contraction and circulation components for a UAV

考虑无人机飞行速度不变,A(r),S(r)需要满足:

(16)$\sqrt{\|A(\boldsymbol{r})\|^{2}+\|S(\boldsymbol{r})\|^{2}}=V$

综合上述约束,得到Lyapunov导引向量在笛卡尔坐标系中的形式为:

(17)

r · d

(x,y)=-

V r (r 2 + r 02) x (r 2 - r 02) + y r (2 r r 0) y (r 2 - r 02) - x r (2 r r 0)

x^y^

矢量场分布如图4所示,横纵坐标分别表示无人机相对于舰船(坐标原点)的位置;黑色箭头表示矢量场在不同位置的速度方向;彩色曲线表示无人机由不同的初始位置(图中用S_i表示,i=1,2,3,…)逐渐收敛到以舰船为圆心、R₀为半径的圆环上的参考轨迹。

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图4 圆形矢量场分布图

Fig.4 Distribution diagram of circular vector field

2.2 矢量场的变换

结合实际应用场景,舰船一般会作长时间的直线运动,在对目标的跟踪过程中,为了实现对舰船的长时间稳定照射,无人机多采用跑道形轨迹跟踪。在传统基于Lyapunov矢量场的基础上,通过坐标变换改变矢量场形状,使跟踪轨迹由圆形变化为参数可自由配置的跑道形。对(17)式进行如下坐标变换,即可将圆形轨迹映射为跑道形轨迹:

(18)

r = x y = g (u) y g (u) = u (u + b) (u + a)

式中:a和b为形状参数,取a=

ρ 20

,b=ρ(f-1),ρ为未变换前圆形的半径长度,f>1为拉伸因子,表征跑道长度与未变换前圆弧直径的比值。

经变换后得到跑道形矢量场如图5所示,在Lyapunov矢量场的导引下,无论起点在哪里,无人机的航迹均能在矢量场的导引下收敛到航迹曲线上,轨迹转弯更平滑,滚转角相对更小,该方法保留了矢量场的全局稳定性,同时易实现、工程应用价值高。

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图5 跑道型矢量场分布

Fig.5 Distribution diagram of runway shaped vector field

2.3 矢量场的旋转

为适应舰船的航向变化,设计了矢量场旋转功能,旋转矩阵可表示为:

(19)

x' y'

c o s (ψ t) s i n (ψ t) - s i n (ψ t) c o s (ψ t) x y

式中:ψ_t为舰船航向角;(x,y)为原始坐标;(x',y')为旋转后坐标。变换后的导引矢量场以及参考轨迹如图6所示,旋转变换不会改变无人机飞行方向,能稳定平滑地收敛到新的参考轨迹。

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图6 航向旋转后矢量场分布

Fig.6 Distribution diagram of vector field after rotation

2.4 反目标机动的矢量场优化

当舰船为摆脱无人机跟踪进行定常回转机动,并且转弯方向与轨迹跟踪方向相反时,基于Lyapunov矢量场设计的参考轨迹会频繁更新方向,参考轨迹航向突变,无人机会出现“甩尾效应”导致的异常机动。因此,需要考虑舰船航向进行矢量场的优化设计。

考虑将设计中的拉伸因子跟随舰船的转弯角速度进行自适应调整:即当舰船快速转弯时,降低拉伸因子f,采用近似的圆形轨迹跟踪舰船;当舰船的转弯角速度降低,逐渐接近直航时,增加拉伸因子f,逐渐恢复跑道形轨迹跟踪舰船的运动。拉伸因子自适应调整策略如图7所示,其中ω_t,max为受舰船性能限制的最大转弯角速度;f_max为拉伸因子的最大值,由无人机飞行速度、舰船航行速度的相对大小决定。

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图7 拉伸因子自适应调整策略

Fig.7 Stretch factor adaptive adjustment strategy

3 仿真验证与分析

以舰船直航、90°转弯、定常回转典型运动轨迹为工况1~工况3,开展轨迹跟踪的仿真验证。仿真条件:舰船航行速度为14 m/s,无人机飞行速度为110 m/s,S₁表示无人机初始位置,S₂表示舰船初始位置,E₁表示任务结束时无人机终点位置,E₂表示任务结束时舰船终点位置。此外,工况4仿真并分析了设置无人机不同飞行速度条件下对舰船目标的跟踪效果。

仿真工况1:舰船沿直线航行,图8给出采用跑道形矢量场的轨迹跟踪结果,无人机很快收敛到跑道形轨迹,一直与舰船保持有效距离,进行稳定持续的跟踪。

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图8 舰船直航时的跑道形轨迹

Fig.8 UAV trajectory for convergence from outside(ship straight ahead)

仿真工况2:舰船沿直线航行一段时间后90°直角转弯,从图9给出的轨迹跟踪结果可以看出,无人机先以跑道形轨迹跟踪舰船,当舰船90°转弯后,无人机在矢量场的引导下航向收敛到新的跟踪轨迹,整个跟踪过程生成的轨迹平滑快速,且与舰船之间的距离一直保持在有效范围内。

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图9 舰船转弯时的跑道形轨迹

Fig.9 UAV trajectory for convergence from outside(ship turning)

仿真工况3:模拟舰船为不合作目标,为摆脱无人机跟踪,舰船作定常回转机动。此时,用优化前矢量场导引的轨迹会出现“甩尾效应”,可能造成目标丢失,如图10所示。采用反目标机动的矢量场优化方法,在舰船作定常回转机动时,导引轨迹呈近似圆形,待舰船进行直线航行时,导引轨迹恢复为跑道轨迹,无人机跟踪效果良好,如图11所示。

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图10 舰船定常回转机动时参考轨迹(矢量场优化前)

Fig.10 UAV trajectory during steady rotation of ships(before vector field optimization)

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图11 舰船定常回转机动时参考轨迹(矢量场优化后)

Fig.11 UAV trajectory during steady rotation of ships(after vector field optimization)

仿真工况4:调整无人机飞行速度,分析飞行速度对跟踪轨迹的影响。图12和图13分别给出了无人机飞行速度为70 m/s和35 m/s条件下的跟踪轨迹。通过对比发现,无人机在飞行过程中,矢量场跟随舰船的位置不断变化,飞行速度越低,飞行相同距离矢量场变化越大,实际跟踪轨迹逐渐退化为不规则的跑道型,与静态标准轨迹差异较大。因此,在无人机跟随海面舰船目标的过程中,需要设置合理的飞行速度,以满足目标追踪的指标要求。

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图12 舰船直航时的跑道形轨迹(V=70 m/s)

Fig.12 UAV trajectory for convergence from outside(V=70 m/s)

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图13 舰船直航时的跑道形轨迹(V=35 m/s)

Fig.13 UAV trajectory for convergence from outside(V=35 m/s)

4 结论

面向无人机对海上动态目标的跟踪问题展开研究,建立了无人机海面目标跟踪模型,对于传统的 Lyapunov 导引向量进行推导,设计了无人机由不同初始位置逐渐收敛到以舰船为圆心的圆形跟踪轨迹。针对实际应用场景中,舰船具有直航、转弯等目标特性,通过设计矢量场的变换与旋转,实现了跟踪航向变化目标的功能,并通过仿真实验验证了方法的可行性;针对舰船为逃避跟踪做出的回转机动,开展了矢量场优化研究,通过将拉伸因子随舰船的转弯角速度进行自适应调整的方式,实现了目标逃逸机动条件下的持续轨迹跟踪;最后,对比分析了无人机不同飞行速度对目标追踪轨迹的影响,仿真验证结果表明,过小的飞行速度会导致跟踪的退化,设置合理的飞行速度才能达到预定效果。通过理论分析与仿真验证:文中提出的跟踪轨迹生成方法可以实现对海面静态、动态目标的稳定持续跟踪,跟踪过程姿态变化平稳,为实际工程需求提供了一种有效的解决方案。

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0 引言

1 无人机海面目标跟踪模型

1.1 海面目标跟踪系统建模

图1 无人机海面目标跟踪坐标系

1.2 舰船运动学建模

图2 海面舰船运动坐标系

表1 典型驱逐舰部分参数

2 基于Lyapunov矢量场跟踪轨迹规划

2.1 传统的基于Lyapunov矢量场

图3 期望矢量场环形分量和向心分量示意图

图4 圆形矢量场分布图

2.2 矢量场的变换

图5 跑道型矢量场分布

2.3 矢量场的旋转

图6 航向旋转后矢量场分布

2.4 反目标机动的矢量场优化

图7 拉伸因子自适应调整策略

3 仿真验证与分析

图8 舰船直航时的跑道形轨迹

图9 舰船转弯时的跑道形轨迹

图10 舰船定常回转机动时参考轨迹(矢量场优化前)

图11 舰船定常回转机动时参考轨迹(矢量场优化后)

图12 舰船直航时的跑道形轨迹(V=70 m/s)

图13 舰船直航时的跑道形轨迹(V=35 m/s)

4 结论

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