0 引言
实际控制系统设计中系统存在各类不确定性扰动,包括系统内部参数摄动、未建模扰动、外部扰动、量测噪声、载荷变化、执行机构延时等,这些不确定性扰动会影响控制性能,甚至使系统失稳。因此,要求所设计控制器必须抑制或者削弱这些扰动的良好鲁棒性,同时,由于具体控制任务的需要,所设计控制器还需满足一定要求的控制精度和较快的响应时间这对控制系统设计来说是一个不小的挑战[1]。
有限时间控制(FTC)算法可以在理论上克服相对度为1的限制,同时能够从理论上大幅度削弱抖振现象,且具有速度快、控制精度高、鲁棒性能良好等优点,能够同时满足上述三点要求,因此受到广泛重视[4]。文献[5]对系统的齐次性、齐次度以及二者和系统有限时间稳定性之间的做出了全面、详细的论述和总结,并提出了一种有限时间稳定控制算法,但并未给出控制器参数的整定方法,也未对该控制算法的鲁棒性做出讨论;文献[6]首次提出针对二阶滑模系统的强李雅普诺夫函数,在此基础上给出了一种新的快速超螺旋控制算法。相较于常规超螺旋控制算法,该控制算法收敛速度更快,鲁棒性更好;文献[7]针对一类非线性系统对象,提出一种全局自适应有限时间控制算法,并用反步法(Back-stepping)严格证明了闭环系统的有限时间稳定性。
在FTC控制系统设计中,往往需要系统不确定性扰动及其一阶导数的边界信息[8,9],但在实际设计中常常难以获得不确定性扰动边界信息的精确数值,甚至无法获得不确定性扰动的边界信息,自适应控制能够克服不确定性扰动边界无法获得这一困难[10]。因此,自适应控制算法和FTC算法的结合自适应有限时间算法吸引了大量学者的研究热情[11,12,13]。近年来,自适应有限时间控制方面的研究成果包括:文献[14]借助障碍李雅普诺夫函数这一工具,提出一种针对严格反馈系统的自适应有限时间控制算法。在考虑存在执行机构死区和存在全状态约束的情况下,闭环系统状态能在有限时间内收敛到一包含原点的邻域内;文献[15]利用模糊逻辑技术给出一种自适应模糊有限时间控制算法,所给控制算法产生的控制信号连续,不足之处是闭环系统状态仅能获得渐近稳定的收敛速度;文献]给出一种新颖的自适应有限时间控制算法,不需要提前获悉不确定性扰动的边界信息,仅要求扰动是一致有界的。
文中对系统存在不确定性且不确定性边界信息无法提前获知情况下,多旋翼无人机姿态跟踪控制问题进行了研究,给出一种自适应有限时间控制(Adaptive finite-time control)算法。先将该问题抽象为当存在未知不确定性时,一般二阶单输入单输出系统(Single-input Single-output)的跟踪控制问题;在此基础上加以分析研究,为了把超螺旋算法用在相对度为2的系统中,设计了非线性齐次滑模面;针对不确定性边界信息在实际设计中往往无法提前获取,提出了基于判断系统是否到达滑动模态的自适应算法,用以动态改变控制增益;对所给出AFTC算法,用李雅普诺夫方法严格证明了跟踪误差可在有限时间内收敛到原点;进一步用AFTC算法设计了小型四旋翼无人机姿态控制器,并通过数值仿真验证了该算法的有效性。
AFTC算法建立在一种新型齐次非线性滑模流形基础上,其优越性体现在以下三方面:(1)不需要提前获得不确定性扰动的边界信息;(2)所产生控制信号连续,大幅度削弱控制信号抖振现象;(3)仅需要姿态量及其一阶时间导数,对多旋翼无人机导航系统性能要求不高,常规的多旋翼无人机导航系统即可满足此要求。
1 预备知识、问题描述及设计目标
1.1 定义和引理
定义1(有限时间稳定[17]):考虑一般动态系统 (t)=f(x(t),u(t),t),其中x∈Bx⊆Rn是状态向量,u∈Rm是调节变量,f(·):Rn×Rm×RaRn。如果存在一反馈控制算法u(t)=fu(x(t),t),当系统从任意非零初始状态x(t0)=x0∈Bx\{0}出发,总存在一连续函数T(x0):Bx\{0}aR+,使得闭环系统的状态x(t)=0,t>T(x0),此闭环系统被称作局部有限时间稳定(LFTS),当状态空间Bx=Rn时,此闭环系统被称作全局有限时间稳定(GFTS)。此控制u(t)=fu(·)被称作系统 (t)=f(x(t),u(t),t)的有限时间控制,此时间T(x0)>0被称作闭环系统的稳定时间,又称作过渡时间。
引理1(FTS判据[18]):考虑一般动态系统 (t)=f(x(t),u(t),t),其中x∈Bx⊆Rn是状态向量,若存在一李雅普诺夫函数V(x,t):Bx×RaR,此李雅普诺夫函数V(·)在集合Bx⊆Rn上是正定的,且满足:
(x,t)≤-kVa(x,t),∀x∈Bx\{0}
式中,常数k>0,0<a<1,则系统是LFTS的,且对任意初始条件∀x(t0)=x0∈Bx\{0},其稳定时间函数满足不等式:
T(x0)≤
此外,如果Bx=Rn,则系统是GFTS的。
引理2:考虑一般动态系统 (t)=f(x,t),其中x∈Bx⊆Rn是状态向量,若系统同时满足:
◆系统是渐近稳定的
◆系统是齐次的
◆系统的齐次度为负
则系统是LFTS的,若Bx=Rn,则系统是GFTS的[19]。
1.2 问题描述及设计目标
考虑一般SISO受扰动二阶积分链系统:
式中,x1,x2∈R是系统状态变量,u∈R是调节变量,y∈R是系统输出变量,ρ(·)∈R代表有界未知扰动,但其边界信息未知。
针对系统(3),控制目标是:当系统存在匹配不确定性时,求一自适应反馈控制算法,使系统输出量y能够实时跟踪某一指令曲线yd。对于指令曲线yd,所求控制算法能确保跟踪误差及其一阶时间导数能够在有限时间内到达原点,并且此后一直保持在原点,且此自适应反馈控制算法不需要事先知道不确定性的边界信息。
2 AFTC算法
定义跟踪误差及其一阶时间导数如下:
对式(4)取一阶导数,再结合(3)可得跟踪误差的动态方程:
后续推导中假设下面条件成立。
条件1:给定指令曲线yd∈R二次可微。
条件2:不确定性函数ζ(·)∈R李普希茨连续,且其一阶时间导数有界:
‖ (·)‖≤δ
此边界信息δ>0存在但未可知。
注解1:条件1-2是合理和易于满足的,指令曲线yd由设计人员给出,设计人员很容易给出满足条件的时间函数,不确定项ζ(·)的一阶导数有界性在绝大多数设计中都能满足。
针对控制目标中的要求能抑制匹配不确定性,通常可采用各类鲁棒控制方法,同时要求有限时间稳定,适用的方式有滑模控制。滑模控制存在控制信号抖振问题,理论上解决抖振问题可采用高阶滑模方法,超螺旋算法就是一种优秀的高阶滑模算法。但超螺旋算法只能用于相对度为1的系统,控制对象(3)的相对度为2,因此需要设计一个恰当的滑模面。
设计非线性滑模变量σ:
针对系统(3),在已设计非线性滑模面(7)的基础上,提出自适应有限时间控制算法如下:
控制增益k1(t)、k2(t)按如下自适应算法动态调整:
根据式(7)第一行,再结合式(5)、(8)易得滑模变量σ对时间的一阶导数为
定理1:考虑闭环系统(10)以及自适应算法(9),假定不确定性扰动ζ(·)满足条件2,对任意非零初始条件σ0=σ(0)≠0,系统状态会在有限时间内到达滑模流形:
Sσ={(σ, )∈R2:σ=0, =0}
其中正常数参量ω1、γ1可独立选取,常数参量ε由ω1、γ1确定。
证明:引入新状态变量z1、z2:
对上式(12)求取一阶时间导数可得
此微分方程的解是在Filippov意义下成立的。构造李雅普诺夫函数如下:
式中,常数 >0、 >0,具体含义见注解2。
式中,λ、ε、γ1、γ2都是正常数。V0(·)处处连续,在集合Γ1={(z1,z2)∈R2|z1=0,z2≠0}以外处处可微。在集合Γ1以外,对V0(·)求一阶时间导数,代入式(9)第二行,并利用柯西-施瓦茨不等式可得
根据矩阵分析相关知识易得,矩阵Q正定且其最小特征值大于等于2ε的条件如下:
k1(t)> +
因为,
式中,函数λmin(·)、λmax(·)分别表示矩阵的最小及最大特征值。假设不等式(17)已成立(可通过控制参数自适应算法来保证此点),综合式(18)与式(16),整理可得
对V1(·)取一阶时间导数得
利用常用不等式:
(a2+b2+c2 ≤ + +
可将式(20)变为
$ \begin{aligned} \dot{V}_{1}(\cdot) \leqslant & -c_{v 1} V_{1}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\gamma_{1}}\left[k_{1}(t)-k_{1}^{*}\right] \dot{k}_{1}(t) \\ & +\frac{\omega_{1}}{\sqrt{2 \gamma_{1}}}\left|k_{1}(t)-k_{1}^{*}\right| \\ & +\frac{1}{\gamma_{2}}\left[k_{2}(t)-k_{2}^{*}\right] \dot{k}_{2}(t) \\ & +\frac{\omega_{2}}{\sqrt{2 \gamma_{2}}}\left|k_{2}(t)-k_{2}^{*}\right| \\ & c_{v 1}=\min \left\{c_{v 0}, \omega_{1}, \omega_{2}\right\} \end{aligned}$
取ε= ,将自适应算法(9)代入(22)得
(·)≤-cv1
当系统状态在集合Γ1上时,易知系统会及时穿过集合Γ1。因此,由式23根据引理1可知,闭环系统10将在有限时间Tf内到达原点,且Tf可估计如下:
Tf=ta+tf
式中,ta表示控制增益k1(t)、k2(t)通过自适应算法9调整到条件17得到满足所需要时间,tf由下式估计:
tf≤
且系统回到原点{z1=0,z2=0}等价于系统到达滑模流形Sσ。
证明完毕。
注解2:容易求得微分方程9的解k1(t)是关于时间变量t的一次函数,其斜率ω1 为正,即k1(t)是时间变量t的增函数,由自适应算法9第二行可知当系统到达滑动模态后,k1(t)不再增加,即当系统到达滑动模态后k1(t)到达最大值,记此最大值为 ,此时k2(t)同样到达最大值,记为 。
如定理1所指出,系统5的轨迹在控制算法(8)的作用下会在有限时间Tf内被控制到滑模流形Sσ,并且在后面的时间一直停留在此流形内。当闭环系统在滑模流形Sσ内运动时,系统(5)的动态方程化为
定理2:如果常数参量c1、c2为正数,系统(26)的轨迹将在有限时间内到达原点。
证明:构造如下李雅普诺夫函数:
V2(·)=c1 +
对V2(·)求一阶时间导数并整理可得
(·)=-c2
显然,当 (·)=0时有e2=0。定义子空间
Γ2={(e1,e2)∈R2|e2=0}
假设点P=(e1,e2)为系统(26)的运动轨线与子空间Γ2的交点,此时P的第二坐标分量等于零,即e2=0,当e1≠0时根据式(26)的第二行可知,系统轨线会即可穿过子空间Γ2。只有当e1=0时,系统轨线就会停留在子空间Γ2中,这个停留的位置即是系统(26)的原点。
至此,根据李雅普诺夫函数运动稳定性理论,系统(26)的渐进稳定性已被证明。
接下来需要证明的是系统的有限时间稳定性。考虑齐次性坐标变换算子(与齐次性、齐次性变换相关概念详细信息见文献[19])。
Dκ(e1,e2)=(κ2-ae1,κe2),κ>0
齐次性坐标变换算子Dκ,容易验证系统26是齐次的,且其齐次度是a-1,由于0<a<1,系统26的齐次度为负。根据引理2可得,到达滑动模态后的系统26是GFTS的。
证明完毕。
通过定理1、定理2可知,针对系统3的跟踪控制问题,采用控制算法8和自适应算法9,系统的跟踪误差能够在有限时间内回零,至此已达到控制设计目标。为进一步验证给出的AFTC算法,以下将其应用于小型四旋翼无人机姿态控制器设计,并通过数值仿真及对仿真结果分析加以实际验证。
3 应用AFTC算法的无人机姿态控制器设计
设计对象为一存在不确定性扰动的小型四旋翼无人机,如图1所示,用上一节提出的AFTC算法来设计高精度姿态控制器。
设计姿态控制器,只需考虑无人机转动自由度的数学模型。根据动量矩定理和几何关系,直接列写小型四旋翼无人机的姿态动力学和运动学方程为
式中,ωb=[pb,qb,rb]T是机体角速度,pb、qb、rb是机体角速度在机体坐标系Bf的三个坐标分量,分别倾斜、俯仰、偏航三轴角速度。三阶方阵Ib是机体惯性张量,τb=[τϕ,τθ,rψ]T是机体操纵力矩,τϕ、τθ、τψ分别是倾斜、俯仰、偏航操纵力矩,Γb为由旋翼旋转所引起的总陀螺力矩。ηb=[ϕ,θ,ψ]T是姿态向量,ϕ、θ、ψ分别是倾斜角、俯仰角、偏航角。三阶方阵 、Qa具体表达式分别为
=
Qa=
式中,符号s、c分别代表三角函数sin、cos。为了方便应用定理1的结论设计姿态控制器,需要把无人机姿态动力学方程做适当变形。
令Π=IbQa,利用式(31)做一定变形并整理可得
式中,Π为三阶方阵, =Π-1τb,三阶向量Da(·)被视为未知扰动项。
此处仅给出倾斜通道姿态控制器的设计步骤,俯仰、偏航通道姿态控制器的设计与倾斜通道类似。设倾斜姿态指令为ϕd,姿态跟踪误差及其一阶时间导数分别为
根据式(34)可得
式中, 、da,ϕ(·)分别对应式(34)中三维向量 、Da(·)的第一个分量。直接应用定理1可得倾斜姿态控制器为
由 利用τb=Π 容易算得倾斜通道实际的控制力矩τb,ϕ。式(38)中的控制增益k1(t)、k2(t)按自适应算法(9)自动调整以确保闭环系统能到达滑动模态。
4 数值仿真及结果分析
针对第三节应用AFTC算法设计的小型四旋翼倾斜姿态控制器,进一步通过数值仿真验证其正确性、有效性,并采取与其他控制算法对比研究的方式确认AFTC算法的优越性。
表1列举了仿真中所用控制对象的结构参数和旋翼空气动力学参数。
表1 控制对象参数Table 1 Parameters of the plant |
| Parameter name | Value and unit |
|---|---|
| Moments of inertial IxIy | 9 kg·m2 |
| Moment of inertial Iz | 16 kg·m2 |
| Rotor lift factor | 8.65×10-4 kg·m |
| Length from the center of a rotor to the center of gravity | 0.8 m |
| Rotor anti-twist factor | 3.36×10-5 kg·m2 |
AFTC算法具体控制参数选取见表2。
表2 倾斜姿态控制器参数Table 2 Parameters of the rolling attitude controller |
| Parameters | Value |
|---|---|
| c1 | 16 |
| c2 | 7.2 |
| a | 0.9 |
| ω1 | 2 |
| γ1 | 1 |
| ε | 1 |
此外,采用SHOSMC算法设计控制系统时,必须提前知悉不确定性扰动的边界信息,实际设计中,在系统运行之前往往难以精确知晓不确定性扰动的边界信息,甚至根本无法获取不确定性扰动的任何边界信息;而采用AFTC、ASOTSMC两种算法设计控制系统时,不需要获得不确定性扰动的边界信息,因为AFTC和ASOTSMC算法的自适应性能够动态地扩大控制增益,以确保闭环系统在运行中能够到达滑动模态。不过AFTC和ASOTSMC算法自适应性是有局限性的,两种自适应算法只能使控制增益增大,却不能使控制增益减小,这点在图5中也得到了体现。如果扰动是时变的情况下(此处数值仿真即是),在系统到达滑动模态后扰动可能变小,这时大的控制增益会造成不必要的控制能量浪费,对系统的振荡也会产生恶化作用。