JPRMG

Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance >

2026 , Vol. 46 >Issue 1: 49 - 60

DOI: https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2026.01.006

Analysis of the Size Effect of Penetration Depth of Geometrically Similar Projectiles into Concrete

  • DU Zijun 1 ,
  • GAO Fei , 1, * ,
  • YU Duo 1 ,
  • WANG Sikai 1 ,
  • DENG Shuxin 2
Expand
  • 1 School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China
  • 2 School of Safety Science and Engineering(School of Emergency Management), Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China

Received date: 2025-11-18

  Online published: 2026-03-09

Fold

Abstract

The penetration tests on three sets of geometrically similar projectiles with scaling ratios of 1/1, 1/2 and 1/3 are carried out to investigate the size effect of penetration depth of projectile into concrete media. A calculation method for penetration depth with the projectile diameter coefficient as a variable is proposed, and a conversion coefficient model that takes into account the scaling ratio is established for penetration depth. The dynamic strain rate of material in the projectile-target contact zone during the penetration processare quantitatively analyzed through numerical simulation, and the values of penetration depth conversion coefficients under different scaling ratios are ultimately determined. The results show that the size effect exists in the dimensionless penetration depth between the prototype projectile and the model projectile, which arises from the difference in the average strain rates of target in the tests with different scaling ratios. The strain rate increases with the increase of penetration velocity and the decrease of projectile diameter, and does not conform to the geometric similarity scaling relationship. The established penetration depth conversion coefficient is correlated with the target strain rate and the scaling ratio. This conversion coefficient not only quantifies the influence of the material strain rate on the size effect, but also clarifies the mechanism of the size effect of penetration depth in concrete media from a mechanistic perspective.

Key words： model test; penetration depth; size effect; finite element analysis

Cite this article

DU Zijun , GAO Fei , YU Duo , WANG Sikai , DENG Shuxin . Analysis of the Size Effect of Penetration Depth of Geometrically Similar Projectiles into Concrete[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2026 , 46(1) : 49 -60 . DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2026.01.006

0 引言

目前,混凝土材料作为各类军事防护和民防工程设施的主要建造材料,其受到钻地武器的威胁也日益增加,因此研究混凝土抗侵彻性能不仅可以探究混凝土在武器打击后的毁伤情况,还可以为各类军用和民用防护设施的建造设计提供依据,具有重要的科学意义与工程价值。
由于侵彻原型试验成本高、技术难度大,缩比模型试验被广泛用于研究各类介质的抗侵彻性能[1-4],模型试验结果向原型试验的有效推广需以侵彻相似律成立为前提,若不成立则需要考虑尺寸效应对试验结果的影响。已经开展的大量试验与仿真研究表明[5-7],对金属靶板而言,不同缩比试验中侵彻相似律基本成立。而对混凝土靶而言,不同缩比试验结果往往会存在偏差,部分学者提出材料的应变率效应是尺寸效应产生的原因。吴飚等[8]指出弹体侵彻混凝土过程中由于材料处在高应变率的状态,不同直径弹体侵彻过程中靶体应变率响应会存在差异,造成混凝土动态强度产生变化,进而造成无量纲侵彻深度出现偏差。为进一步验证该观点,高飞等[9]开展10mm和20mm直径几何相似弹体侵彻花岗岩试验,结果表明不同尺寸弹体会造成靶体阻力参数Rt不同,无量纲侵彻深度会受到弹体尺寸的影响,无法满足等比缩放的关系。当前关于缩尺侵彻试验的数值模拟研究普遍采用非均质靶体模型[10-13],主要聚焦于靶体内部骨料特征对侵彻过程的细观影响机制,探究不同缩尺试验中侵彻深度存在的偏差,而分析靶体材料应变率响应差异探究尺寸效应的数值模拟研究相对匮乏。
由于尺寸效应的存在,限制了模型试验结果向原型试验结果的推广,建立两者侵深换算关系显得尤为重要。蒋东等[14]使用量纲分析和相似律理论,分析弹靶参数对侵彻深度产生的影响,结合已有试验结果,发现在大缩尺比的情况下试验数据和理论预测值会存在较大偏差。针对该问题,何勇等[15]通过引入弹径系数修正不同缩比试验中侵深出现的偏差,黄蒙等[16]依据大量试验数据,通过量纲分析提出一个弹体对混凝土靶侵彻深度的无量纲计算公式,可以同时较为准确地预测大尺寸原型弹与小尺寸模型弹侵彻深度。当前关于侵彻尺寸效应的理论研究主要依赖量纲分析方法,而从靶体材料应变率角度开展的理论研究较为欠缺。
本文基于直径10~30mm的3种模型弹侵彻混凝土靶试验结果,通过理论分析探讨了不同缩尺试验中应变率对侵彻深度的影响,建立了不同缩尺比下侵彻深度换算系数计算模型,开展数值模拟获得了侵彻过程中不同缩尺比下弹靶接触近区材料应变率大小,最终确定了不同缩尺比下侵彻深度换算系数取值,为实际工程中的防护结构设计提供参考依据。

1 缩比模型弹侵彻试验

1.1 试验方法

试验采用ϕ25mm、ϕ30mm和ϕ37mm口径滑膛炮分别发射ϕ10mm、ϕ20mm和ϕ30mm模型弹,使用次口径发射技术,通过适配的弹托完成弹体发射。试验通过调整发射药量控制发射速度,并使用测速仪测量弹体速度,高速摄影观测弹托分离情况与弹体着靶姿态,试验布局如图1所示。试验后记录靶面宏观破坏情况,剖开靶体测量侵彻深度,同时回收试验弹体。
图1 试验布局

Fig.1 Experimental layout

1.2 试验弹体

弹体材料选用合金钢30CrMnSiNi2A,弹体设计为卵形头部长杆弹,弹径分别为10mm、20mm和30mm,其尺寸图与实物图如图2所示。三种弹体几何相似,弹体壁厚w取值为0.15d,d为弹体直径,整体长径比l/d为6.5,弹头曲率比(caliber radius head,CRH)为3。
图2 弹体尺寸及实物图

Fig.2 Dimensions and photographs of projectiles

1.3 试验靶体

试验使用圆柱形靶体,为降低骨料对侵彻深度的影响,靶体中不使用大尺寸骨料。混凝土靶主要原材料如下:水泥为P·O 42.5硅酸盐水泥,黄砂最大粒径小于2mm,华千素作为高效减水剂,可延缓凝结并增强后期强度,显著改善混凝土和易性。养护方式采用自然养护且时间不少于28天。在浇筑靶体过程中,同步制备多个边长100mm立方体试样,并依据国家标准GB/T 50081-2019[17]进行准静态抗压测试,测试结果如图3所示,经换算后平均抗压强度为69MPa。
图3 混凝土应力应变曲线

Fig.3 Concrete stress-strain curve

各组试验中的靶体直径D与长度L如表1所示,为防止边界效应对侵彻深度的影响,试验靶体直径取不小于30倍弹体直径,通过经验公式预估侵彻深度以确定靶体长度,确保试验中靶体背面无震塌,满足半无限侵彻条件,靶体外侧使用3mm厚钢制套筒包裹。
表1 靶体尺寸参数

Table 1 Target size parameters

靶体直径D/mm 靶体长度L/mm 对应弹体直径d/mm
300 400 10
600 750 20
1000 1000 30

1.4 试验结果与分析

试验共计15炮次,按照弹体直径由小到大分为A组、B组和C组,其中:A组开展4炮次,B组开展6炮次,C组开展5炮次,试验速度覆盖450~960m/s范围,侵彻速度v0、弹体质量m和弹体侵彻深度h如表2所示:
表2 试验结果汇总表

Table 2 Summary of penetration test results

编号 弹体直径
d/mm		 侵彻速度
v0/(m/s)		 弹体质量
m/g		 侵彻深度
h/mm		 无量纲侵彻
深度h/d
A-1 10 516 20.29 71 7.10
A-2 10 590 20.36 79 7.90
A-3 10 613 20.38 82 8.20
A-4 10 704 20.26 110 11.00
B-1 20 466 167.3 142 7.10
B-2 20 603 165.5 194 9.70
B-3 20 637 167.8 228 11.40
B-4 20 752 166.7 262 13.10
B-5 20 868 167.6 305 15.25
B-6 20 957 167.6 365 18.25
C-1 30 683 572.3 382 12.73
C-2 30 743 572.4 402 13.40
C-3 30 832 573.1 446 14.87
C-4 30 836 572.6 459 15.30
C-5 30 914 573.5 557 18.57
图4为试验后靶体迎弹面典型破坏形态(以编号A-1和A-4试验为例),靶体表面径向裂纹未扩展至靶体边界区域,靶体背面未出现震塌现象,满足半无限侵彻条件,迎弹面弹坑直径随着侵彻速度增加而增加。图5为试验后回收到的各尺寸弹体形态照片,可以看出弹体在侵彻过程中与混凝土介质间发生剧烈的摩擦作用,导致弹体头部区域产生轻度钝化且附着有粉末化混凝土形成的包裹层。10mm直径弹体由于壁厚小且尾端加工有螺纹,尾部有轻微变形,其余弹体试验前后整体并无明显变形,满足刚性侵彻假设。
图4 靶体宏观破坏形态正视图

Fig.4 Front view of macroscopic damage patterns of targets

图5 回收后弹体

Fig.5 Photographs of recovered projectiles

图6展示了10~30mm直径模型弹无量纲侵彻深度随冲击速度变化的试验规律。试验数据显示,在466~957m/s的速度区间内,无量纲侵彻深度与侵彻速度之间呈现出良好的线性相关性。虽然三组弹体保持了几何外形的相似性,但其无量纲侵彻深度的试验数据却没有重合,直接体现了侵彻过程中存在的尺寸效应。可以发现,当弹体直径从10mm增大至20mm时,无量纲侵彻深度相对增大约10%;从10mm增大至30mm时,无量纲侵彻深度相对增大约15%。
图6 三组模型弹侵彻混凝土无量纲侵彻深度

Fig.6 Dimensionless penetration depths for the three sets of scaled penetration tests

1.5 与经验公式的对比

目前,基于已获得的弹体侵彻试验数据,众多学者提出了不同的侵彻深度预测公式,其中部分公式属于半经验半解析公式,如Forrestal公式[18]等,部分公式属于经验公式,如ACE公式,BLZ公式等[19]。由于经验公式与其依据的试验数据紧密相关,都有一定的适用范围,对于不同尺寸弹体侵彻混凝土靶深度的预测准确性还有待进一步分析。图7对比了无量纲侵彻深度的试验结果与上述3个经验公式的计算结果。可以看出,Forrestal公式对于侵彻深度有较高的预测准确性,但对于不同直径弹体计算出的无量纲侵彻深度基本一致,无法体现不同缩尺比侵彻试验中存在的尺寸效应。ACE公式可以有效反映出不同直径弹体间侵彻深度的差异,却与试验结果差别较大,在预测准确性上出现较大偏差。相较于前2种经验公式,BLZ公式不仅对侵彻深度具有较好的预测准确性,并且可以体现出不同直径弹体无量纲侵彻深度的差异,反映了尺寸效应现象。
图7 无量纲侵彻深度试验结果与经验公式计算结果对比

Fig.7 Comparison between dimensionless penetration depth test results with empirical formula results

2 侵彻深度尺寸效应计算分析

上文1.5节的分析表明BLZ公式在侵彻深度预测准确性与尺寸效应表征方面均表现较好,因此本节依据该公式开展计算分析。

2.1 侵彻深度计算方法

2.1.1 侵彻深度简化计算

基于内摩擦侵彻模型[20]的理论框架,针对弹体在中高速侵彻工况,通过将弹体阻力表达式与牛顿第二定律相结合,可建立如下弹体运动微分方程:
m d v d t=mv d v d h=-F=-(αs+βsv)
有弹体运动初始条件t=0时,h=0, h 　 ·=v0,对式(1)进行积分可以计算出最终侵彻深度为
h= m β s v 0 - α s β s l n 1 + β s α s v 0
计算结果表明,当靶体材料波速a0与侵彻速度v0满足v0/a0≈0.1~0.2关系时,式(2)等号右边对数项对侵彻深度的影响小于5%,可忽略其对侵彻深度的影响[20]。本文试验速度处于466~957m/s范围内,混凝土波速约为4000~5000m/s[21],两者满足上述关系,因而可将式(2)简化为h=(m/βs)v0,该表达式也可写为与BLZ公式形式相似的线性表达式,如式(3)所示:
h= m d 2λ1λ2Kqv0cosθ
式中:λ1为弹形系数,λ2为弹径系数,θ为命中角,材料抗侵彻系数Kq=1/(ρc0)。
本文试验弹体几何外形相似,靶体材料相同,在对比分析不同尺寸弹体的侵彻深度时,可不考虑弹形系数λ1和材料抗侵彻系数Kq的影响,主要讨论弹径系数λ2。

2.1.2 弹径系数λ2

弹径系数λ2表征了不同直径的弹体在侵彻同一介质时的尺度换算关系。模型弹跟原型弹尺寸相近时,试验结果与真实结果偏差较小,尺寸相差越大试验结果也越偏离真实结果,因此引入弹径系数。在空腔膨胀模型的基础上,根据空腔与弹头几何尺寸关系可建立λ2与分区半径关系,如图8所示。其中:a、b、c和T分别为空腔半径、破碎区半径、裂纹区半径和弹性区半径。
图8 介质变形与破坏分区示意图

Fig.8 Schematic diagram of media deformation and failure zone

(a/b)2可看作高阶小量[22],则有
λ2= 1 1 - ( a / b ) 2≈1+ a b 2
a,b之间的关系[20]可写为
a b=η2 χ 4
式中:η2= 64 ε 0 18 π ( 1 - ν ) 4≈1.12 ε 0 4,ε0为剪切极限应变,χ= a Δ为相似系数,Δ= K c τ s 2表征了强度参数对应的破坏块体平均尺寸,Kc为介质的应力强度因子,τs为剪切强度。
将式(5)代入式(4)可得
λ2=1+ a b 2=1+1.2544 τ s K c ε 0 a
将空腔半径a转换为弹体直径d,可得弹径系数λ2表达式:
λ2=1+1.2544 τ s K c ε 0 d=1+ξτs d
式中:ξ=1.2544 ε 0 K c。

2.2 模型弹与原型弹侵彻深度换算关系

记原型弹侵彻深度、原型弹直径、模型弹侵彻深度和模型弹直径分别为hp、dp、hm和dm,根据式(3)计算侵彻深度,假设弹体垂直侵入,则原尺寸弹与模型弹无量纲侵彻深度的比值为
h p / d p h m / d m= m p d p 3 λ 1 p λ 2 p K q p v 0 p m m d m 3 λ 1 m λ 2 m K q m v 0 m
式中:下标p和m分别表示原型试验与模型试验。
在理论分析中,原型试验与模型试验满足如下基本假设条件:采用相同的靶体材料;弹体侵彻速度保持一致;不同尺寸弹体之间保持外形的几何相似。由于弹体质量与d 3成正比,将式(7)代入式(8)并化简可得
h p / d p h m / d m= λ 2 p λ 2 m= 1 + ξ τ s p d p 1 + ξ τ s m d m
基于混凝土材料的应变率效应,可建立剪切强度之比到应变率比值的定量转换关系。塑性区材料的力学行为通过线性压力-体积应变关系与Mohr-Coulomb强度准则共同表征:
σ=K(1-ρ0/ρ)
σ=(σr+2σθ)/3
τ=c+σtanφ
式中:σ是正应力,ρ0、ρ是材料变形前后的密度,K是体积模量;σr、σθ是径向和环向应力,压为正;τ是在正应力为σ时材料的最大剪应力,φ是摩擦角,c是粘聚力,大小等于材料正应力为零时的剪切强度τs0。
最大剪应力也可写为τ= σ r - σ θ 2,将其代入式(10c)可得
σr-σθ=2c+2tanφ·σ=τc+λσ
式中:λ,τc为材料参数,λ=2tanφ是与摩擦角相关的物理量,τc=2c是确定与剪切强度相关的物理量。
在球形空腔膨胀理论中,破碎区中材料已到达其剪切强度,裂纹区中材料已到达其抗拉强度,这两个区域中材料失去了环向应力的承载能力,环向应力可视为0(即σθ=0)[19]。结合式(10b)和式(10d),当正应力大小达到抗压强度时有
2τs0=[(3-λ)/3]σc
式中:σc是靶体单轴抗压强度。
动态增强因子(DIF)作为表征材料动态抗压强度与静态抗压强度比值的关键参数,反映出了材料应变率对其抗压强度的影响。欧洲混凝土委员会(CEB)基于大量试验数据,提出了考虑应变率效应的混凝土抗压强度DIF计算公式:
DIF= σ c d f c= 1 , ε 　 · ≤ ε 　 ·   s ε 　 · ε 　 ·   s 1.026 α , ε 　 ·   s ≤ ε 　 · ≤ 30 s γ ε 　 · ε 　 ·   s 1 / 3 , ε 　 · > 30 s
式中:σcd是在应变率为 ε 　 ·情况下材料的动态抗压强度。
通过动态抗压强度,构建动态剪切强度比与应变率比值的转换关系,由式(10e),(13)可得
τ s p τ s m= σ c d p σ c d m= ε 　 · ¯   p ε 　 · ¯   m 1 3
令α=dm/dp为缩尺比,应变率比值系数δ=α· ε 　 · ¯   p ε 　 · ¯   m,表征不同缩尺比试验中应变率的差异, ε 　 · ¯p和 ε 　 · ¯m分别为原型试验和模型试验中靶体应变率大小,由式(9),(12)可得
h p / d p h m / d m= 1 + ξ τ s p d p 1 + ξ τ s m d m= 1 + ξ τ s p d p 1 + δ - 1 3 α 5 6 ξ τ s p d p
令(a/b)2=ξτsp d p=κ,定义侵彻深度换算系数χpm,如式(14)所示:
χpm= h p / d p h m / d m= 1 + κ 1 + δ - 1 3 α 5 6 κ
χpm为原型弹与试验模型弹之间无量纲侵彻深度之比,量化了由于尺寸效应造成的不同缩尺试验中侵深差异,阐明了靶体材料应变率对尺寸效应的影响,该系数与缩尺比α成反比,与应变率比值系数δ成正比。因此,在α已知的条件下,关键在于确定δ的值,即确定原型和模型试验中靶体应变率大小。

3 基于应变率影响的尺寸效应数值模拟

由于在试验中难以直接获得侵彻过程中弹靶接触近区材料的应变率响应,因此本文采用数值模拟方法开展分析。

3.1 有限元模型建立

为验证维度简化方法在侵彻数值模拟中的有效性,通过对比二维模型与三维模型侵彻深度计算结果开展分析,其中二维模型与三维模型的网格类型分别选用壳单元(SHELL)与实体单元(SOLID)。表3中展示了二维与三维模型在不同弹径下的部分工况侵彻深度计算结果,二维模型与三维模型对侵彻深度的预测结果基本吻合,证明了二维模型在模拟侵彻问题时具备足够的计算准确性。需要指出的是,相较于三维模型数小时至数百小时的计算时长,二维模型将计算时间缩短到分钟至小时量级,显著提高了计算效率,更便于开展大尺寸下的侵彻模拟。综合考虑计算准确性与仿真效率,下文中选用了二维轴对称模型开展研究。
表3 二维与三维模型仿真结果对比

Table 3 Comparison of simulated results of 2D and 3D models

编号 不同模型模拟结果
A-1
B-2
C-1
基于弹靶系统的轴对称特性,建立二维1/2对称模型,网格类型设置为*SECTION_SHELL,模型尺寸与试验弹靶尺寸一致,靶体中心区域进行网格加密,弹靶有限元模型如图9所示。弹靶间接触算法采用*CONTACT_2D_AUTOMATIC_SINGLE_SURFACE。
图9 1/2有限元模型

Fig.9 1/2 finite element models

目前国内外学者对混凝土提出了众多的本构模型,如HJC模型、K&C模型、RHT模型等。在侵彻试验过程中,混凝土材料通常处于高压与高应变率的复杂应力状态。RHT本构模型在失效准则中引入偏应力张量第三不变量的影响,同时考虑静水压力作用下的应变率敏感行为。该模型能够有效表征脆性材料的多种力学特性,包括应变率效应、应变硬化与软化行为、材料失效机制,以及拉伸和压缩损伤演化过程,主要材料参数列于表4,部分参数参考文献[23]中取值。在计算时选用最小应变作为失效准则,设定值为0.01,当网格单元应变超过设定值时,即被认为失效而删去。侵彻后弹体仅头部微微磨损,弹体无明显变形,符合刚性侵彻条件,因此弹体材料模型选用*MAT_RIGID材料模型,材料模型主要参数为:弹体密度7850kg/m3、弹性模量210GPa和泊松比0.3。
表4 靶体RHT模型主要参数[23]

Table 4 Main parameters of RHT model[23]

参数 单位 参数值 参数 单位 参数值
材料密度ρ kg/m3 2400 单轴抗压
强度fc		 MPa 69
剪切模量G GPa 16.7 罗德角参数
Q0		 — 0.65
状态方程参数
B0		 — 1.22 罗德角参数
B		 — 0.0105
状态方程参数
B1		 — 1.22 失效面参数
A		 — 1.6
状态方程参数
T1		 GPa 35.27 拉压强度比
f t *		 — 0.058
状态方程参数
T2		 GPa 0 剪压强度比
f s *		 — 0.18
失效面指数
N		 — 0.61 最小失效应变
ε p m		 — 0.01
为兼顾计算准确性与计算效率,开展网格敏感性分析。直径10mm模型弹为最小尺寸模型,故选择该弹靶模型为研究对象,定义弹体半径与加密区网格边长的比值为μa,以编号A-4工况为例,μa=1~5和10(网格边长分别为5.0mm、2.5mm、1.67mm、1.25mm、1.0mm和0.5mm)范围内各模型的计算结果如图10所示。当μa≥2时计算结果已逐渐收敛,综合考虑数值模拟计算准确性与运算效率,取靶体有限元模型加密区网格大小为2.5mm×2.5mm,非加密区网格尺寸为2.5mm×3.3mm。
图10 不同网格尺寸下计算结果对比

Fig.10 Comparison of simulated results under different mesh sizes

3.2 数值模拟模型验证

全部15个试验工况的数值模拟侵彻深度hs结果如表5所示,模拟结果与试验结果相对误差为±10%左右,最大误差为12.07%,两者吻合程度较好,验证了数值模拟过程中所使用的弹靶材料模型参数及算法的适用性。由于实际试验中存在无法完全消除的随机因素,在弹体入射角度偏差、不同靶体间微小的材料性能波动等因素共同作用下,造成了仿真与试验结果间的误差表现为无规律的随机误差。
表5 数值模拟结果与试验结果对比

Table 5 Comparison of impact test results and numerically simulated results

编号 弹体
直径
d/mm		 侵彻速
度v0/
(m/s)		 模拟侵
彻深度
hs/mm		 模拟无
量纲侵
彻深度
hs/d		 试验无
量纲侵
彻深度
h/d		 相对
误差
/%
A-1 10 516 76.1 7.61 7.10 7.18
A-2 10 590 87.3 8.73 7.90 10.51
A-3 10 613 91.9 9.19 8.20 12.07
A-4 10 704 109.8 10.98 11.00 -0.18
B-1 20 466 138.0 6.90 7.10 -2.82
B-2 20 603 194.0 9.70 9.70 0.00
B-3 20 637 211.8 10.59 11.40 -7.11
B-4 20 752 265.3 13.26 13.10 1.22
B-5 20 868 327.9 16.39 15.25 7.48
B-6 20 957 348.0 17.40 18.25 -4.66
C-1 30 683 363.2 12.11 12.73 -4.92
C-2 30 743 411.2 13.71 13.40 2.28
C-3 30 832 486.5 16.22 14.87 9.08
C-4 30 836 490.1 16.34 15.30 6.78
C-5 30 914 563.9 18.80 18.57 1.24

3.3 弹靶接触近区材料应变率分析

通过LS-DYNA开展显式动力学分析,可直接获取弹体侵彻过程中混凝土靶体的动态应变率分布情况,云图如图11所示。在侵彻过程中,靶体应变率分布呈现明显的梯度特征:峰值出现在弹靶接触面附近,可达105s-1量级,但分布范围很小;随着径向距离增大,应变率迅速衰减并在一定的范围内稳定处于104s-1量级;当距离进一步增加直至靶体边缘,应变率已降至更低量级,大小不足峰值的10%。研究表明,当侵彻速度处于500~1000m/s区间时,材料应变率处于104s-1量级[19]。因此,当靶体材料应变率低于104s-1量级(即小于峰值应变率的10%左右)时,可近似认为该区域受侵彻过程影响已趋于微弱。
图11 靶体应变率分布云图

Fig.11 Cloud map of target strain rate distribution

为定量分析单元应变率大小,根据应变率的定义,即应变率是应变随时间的变化率,以试验编号A-1中距离对称轴最近的第1列为例,通过对已获得的应变时程数据求对时间的导数,可获得网格单元的应变率时程数据,如图12所示。进一步统计各单元在侵彻过程中所达到的峰值应变率及其对应时刻,最终形成各试验工况中在同一径向距离下的弹靶接触近区单元峰值应变率-时间图像,如图13所示。
图12 单元应变率-时间曲线图(试验编号A-1,第1列)

Fig.12 Strain rate-time curves of different meshes(test No. A-1,column 1)

图13 单列单元峰值应变率-时间图像(试验编号A-1,第1列)

Fig.13 Peak strain rate of single column(test No. A-1,column 1)

根据其变化特征,将变化过程划分为两个阶段,采用分段线性函数进行表征,如式(15)所示:
ε 　 ·(t)= k 1 t + b 1 , 0 < t ≤ t m k 2 t + b 2 , t m < t ≤ t e
式中:tm为转折时刻,te为结束时刻,k1,b1,k2,b2为拟合参数。
图14所示为三种不同尺寸弹体在侵彻过程中弹靶接触近区单元变率分布典型图像,在任意时刻材料应变率最大值均位于第1列,且随着径向距离的增大而降低。在弹靶相互作用过程中,相较于弹靶作用近区的高应变率核心区,靶体外围区域应变率显著降低。考虑到简化计算并且聚焦于主要响应区域,本文以第1列网格单元的应变率为基准,将应变率低于该基准值10%的靶体区域忽略。对于弹体直径10mm模型而言,第3列网格单元应变率已降低至第1列的10%左右,对于弹体直径20mm和30mm模型而言,需要分别到第4列和第5列单元才能降低至第1列的10%左右。基于上文所述的简化准则,针对10mm、20mm和30mm三种不同尺寸的侵彻模型,分别选取径向2列、3列和4列网格单元作为计算区域,开展后续的分析与参数计算。
图14 弹靶接触近区各列单元应变率-时间图

Fig.14 Strain rate-time curves of each mesh column of materials in the vicinity of projectile-target contact zone

在侵彻速度相近的情况下,侵彻时间与弹体直径等比缩放,满足相似律;弹体直径相同时,侵彻时间随速度的增大有小幅增加。在整个侵彻过程中,弹靶接触近区材料峰值应变率处在9×104~1.6×105s-1区间,且在弹体直径相同的情况下,随侵彻速度的增大而增大。然而,弹体直径变化对峰值应变率的影响相对有限,在侵彻速度相近的条件下,不同直径弹体所产生的峰值应变率数值基本相当,这表明其主要取决于弹体的初始速度,而非绝对几何尺寸。高光发等[24]指出工程分析中宜采用靶体平均应变率作为表征参量,通过该表征参量能够更准确地反映不同弹体尺寸工况下的靶体动态响应差异。因此,依据拟合结果,通过式(16a)计算每一工况中各列应变率的平均值,再由式(16b)得出各试验工况的峰值平均应变率(在下文中简称为平均应变率)。
ε 　 · ¯i= ∫ 0 t e i ε 　 · i ( t ) d t t e i
ε 　 · ¯= 1 n ∑ i = 1 n ε 　 · ¯ i
式中: ε 　 ·i(t)为第i列的拟合曲线,tei为第i列结束时刻, ε 　 · ¯i为第i列的应变率平均值, ε 　 · ¯为平均应变率,n为各尺寸模型中开展计算的单元列数,对弹径10mm、20mm和30mm三种不同尺寸的侵彻模型取值分别为2、3和4。
各试验工况通过仿真模拟计算得出的平均应变率如表6所示。采用一系列等斜率直线拟合各直径弹体在不同速度下的平均应变率,拟合表达式中仅直线截距与弹径相关,可通过式(17)描述该一系列直线。图15所示为计算结果及拟合曲线,平均应变率随着速度的增大而增大,随着弹体直径的增大而减小,但不满足与弹径等比缩放关系。由于不同尺寸弹体在侵彻过程中峰值应变率近似相等,但随着弹体直径成比例放大,侵彻时间也随之成比放大,大尺寸弹体侵彻时间更长,造成了平均应变率随着弹体直径的增大而降低,表现出与弹体尺寸的负相关性。
ε 　 · ¯ = 30.431 v 0 + f (d) f ( d ) = 31091.04 e - 0.06648 d
式中:v0为弹体初始速度(m/s),d为弹体直径(mm)。
表6 靶体平均应变率

Table 6 Average strain rate of targets

编号 弹体直径
d/mm		 侵彻速度
v0/(m/s)		 平均应变率/
104s-1
A-1 10 516 3.25
A-2 10 590 3.28
A-3 10 613 3.35
A-4 10 704 3.74
B-1 20 466 2.36
B-2 20 603 2.81
B-3 20 637 2.86
B-4 20 752 3.26
B-5 20 868 3.74
B-6 20 957 3.76
C-1 30 683 2.44
C-2 30 743 2.61
C-3 30 832 2.78
C-4 30 836 2.85
C-5 30 914 2.97
图15 平均应变率计算结果及拟合直线

Fig.15 Calculated results and fitting curve of average strain rate

3.4 侵彻深度换算系数

通过平均应变率这一表征参量,有效反映出了不同缩尺试验中靶体动态响应存在的差异,并建立了如式(17)所示的计算公式,可实现不同弹径和不同侵彻速度下平均应变率的定量计算。
通过式(17)计算原型与模型试验中平均应变率大小,考虑缩尺比α在1/1、1/2、1/3、1/5和1/10的情况下,在0<κ<0.5的范围内[9],α对χpm的影响规律如图16所示。对小缩尺α=1/10时,侵彻深度换算系数最大达1.26;当缩尺α=1/5时,侵彻深度换算系数最大达1.18;当缩尺α=1/3时,侵彻深度换算系数最大达1.13;当缩尺α=1/2时,侵彻深度换算系数最大达1.08;当足尺时(即α=1/1时),原型弹与试验模型弹尺寸相同,两者无量纲侵彻深度无差异,侵彻深度换算系数为1.00。
图16 χpm与κ的关系

Fig.16 Dependence of χpm on κ

由于目前关于几何相似弹体的系统性试验研究相对匮乏,缩尺比为1/10、1/5和1/2的模型试验参考吴飙等[8]开展的450m/s速度下C40混凝土侵彻试验,弹体直径分别为10.1mm、20.3mm和100mm,对应的侵彻深度换算系数试验值分别为1.36、1.23和1.10。缩尺比为1/3的模型试验参考吴成[25]开展的直径29.9mm弹体侵彻编号c0-3靶板和直径9.9mm弹体侵彻编号c0S-1靶板试验结果,对应的侵彻深度换算系数试验值为1.18,结果见表7。
表7 不同缩比下侵彻深度换算系数值[8,25]

Table 7 Conversion coefficient values of penetration depth under different scaling ratios [8,25]

α dp/mm dm/mm hp/dp hm/dm χpm
1/2 20.3 10.1 8.5 7.7 1.10
1/3 29.9 9.9 28.82 24.34 1.18
1/5 100 20.3 10.5 8.5 1.23
1/10 100 10.1 10.5 7.7 1.36
通过对试验数据及图16中不同缩尺比下侵彻深度换算系数的综合分析,得到图17中缩尺比分别为1/2、1/3、1/5和1/10时侵彻深度换算系数试验值与理论预测值的对比关系。可以看出,理论预测值与试验值总体上具有较好的一致性,不同尺寸缩比下侵彻深度存在尺寸效应:当原型弹与模型弹的尺寸缩比较小(α=1/10)时,理论预测值相较于试验值偏低;随着尺寸缩比减小至α=1/5~1/3范围,预测精度逐步提高;当原型弹与模型弹尺寸接近(α=1/2)时,理论预测值与试验值仅相差0.02。
图17 不同缩尺比弹体侵彻混凝土尺寸效应

Fig.17 Size effects of projectiles with different scaling ratios penetrating into concrete

4 结论

本文开展了几何相似弹体侵彻试验,通过理论分析探究了缩比试验中侵彻深度尺寸效应的产生机理,并通过数值模拟研究定量计算了弹靶接触近区材料平均应变率,进而获得了考虑靶体应变率的侵彻深度换算系数取值。得出主要结论如下:
1)不同缩比模型弹侵彻混凝土靶试验无量纲侵彻深度存在尺寸效应,相较于直径10mm弹体,直径20mm和30mm弹体无量纲侵彻深度分别增大约10%和15%;BLZ公式展现出较好的预测准确性,且可以反映出不同缩尺试验中无量纲侵彻深度存在的尺寸效应现象。
2)靶体应变率分布存在明显的梯度特征,高应变率区主要分布在弹靶接触区域,峰值达105s-1量级,随着径向距离的增大,逐步下降至104s-1乃至更低量级;平均应变率随侵彻速度的增大和弹体尺寸的减小而增大,且不满足与弹径等比缩放关系,可以有效表征不同缩尺试验中靶体应变率响应差异。
3)基于混凝土应变率敏感的材料特性,可建立原型与模型试验间混凝土动态剪切强度之比与应变率比值的转换关系,并据此构建两者无量纲侵彻深度换算系数计算模型,该系数不仅与缩尺比相关,也与原型和模型试验中靶体应变率相关;在缩尺比为1/10、1/5、1/3和1/2的情况下,若不考虑尺寸效应,模型弹与原型弹的无量纲侵彻深度会存在26%、18%、13%和8%的误差。对于更小缩尺或不同靶体材料,原型与模型侵彻深度换算系数的具体数值需根据缩尺比大小、材料力学性能参数及应变率敏感性等因素进行修正,但推导方法可参考本文工作。

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