0 引言
四旋翼无人机凭借垂直起降、悬停及高速机动能力,在交通、消防、灌溉、搜救、侦察等民用、商业和军事领域得到广泛应用[1-4]。然而四旋翼无人机执行任务时,需以高采样频率采集并更新状态信息,既不利于节能,还会因频繁通信缩短使用寿命,因此节省通信资源成为研究热点。事件触发控制策略可降低采样频率与控制器更新次数,同时保障系统性能,相关研究已取得一定进展[5-8]。文献[5]针对非线性系统提出了一系列基于多事件更新准则的新型事件触发控制策略;文献[6]设计了一种新的阈值策略,以实现平滑切换模式并节省通信资源;文献[7]结合相对阈值事件触发机制提出有限时间指令反步法,减轻通信与计算负担;文献[8]在四旋翼无人机的位置和姿态控制通道采用动态事件触发机制,显著降低了对通信和计算资源的需求。
实际中为保证执行任务的顺利完成,四旋翼无人机需要满足良好的暂态和稳态性能,而上述研究仅关注稳态性能。此前,不少学者提出预定性能控制方法,解决系统的暂态和稳态性能控制问题[9-13]。但这些文献对时间性能上的约束是有限的。近年来,考虑收敛时间的预定性能控制相关研究取得了一些进展[14-20]。其中,文献[14]针对非线性随机系统,提出了有限时间预定性能控制策略。文献[15]通过构造新型非线性变换函数,使四旋翼无人机姿态子系统实现有限时间收敛,但收敛时间受系统设计参数或初始跟踪误差影响,无法给出具体的收敛时间。文献[16]和[17]结合指令滤波反步技术与滑模控制,研究了存在外部扰动的四旋翼无人机固定时间预定性能控制策略,其收敛时间不再受初始状态影响,且能保证良好的暂态和稳态性能,但仍无法任意指定收敛时间。文献[18]提出新的指定时间预定性能函数,使四旋翼无人机的跟踪误差实现指定时间收敛。文献[19]提出基于扩张状态观测器的指定时间预定性能控制器,确保四旋翼无人机系统在指定时间内达到预设性能指标。文献[20]通过误差变换构造连续分段的性能边界,使四旋翼无人机姿态误差满足预设的暂态性能且在指定时间内收敛至预设稳态区域内。指定时间收敛特性意味着,系统初始跟踪误差较大时需输出较大控制信号,易导致执行器饱和,进而损害系统稳定性、引发飞行风险。为了解决这个问题,文献[21]提出一种初始阶段收敛方向可调的预定性能函数,能避免执行器饱和。然而,上述研究未考虑防奇异控制的问题[22]。如系统稳态后遭遇突发强瞬时干扰时,跟踪误差瞬时增大,控制器可能会出现奇异问题造成系统失控,对安全飞行造成威胁。
基于以上分析,基于事件触发的四旋翼无人机指定时间抗饱和防奇异预定性能控制,仍是一个值得深入探索的问题。本文主要的创新点为:(1)设计指定时间预定性能函数,确保无人机系统跟踪误差可在任意指定时间内收敛,提升实际应用灵活性;(2)提出自适应事件触发预定性能控制方法,该方法既能有效降低通信和计算负担,降低系统能耗,又能通过自适应方法解决系统动态参数不确定和外部扰动未知的问题;(3)构建新型性能函数,初始阶段可调整收敛方向、扩展边界,避免执行器饱和,同时引入自适应项,确保跟踪误差始终被约束在性能函数边界内,即使系统稳态后遭遇突变干扰,也可有效防止奇异问题发生,避免系统失控。
1 系统描述
根据牛顿-欧拉方程和四旋翼无人机的特性,不确定四旋翼无人机的数学模型可建立为
定义[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T= ${[\mathit{x},\stackrel{·}{\mathit{x}},\mathit{y},\stackrel{·}{\mathit{y}},\mathit{z},\stackrel{·}{\mathit{z}}]}^{\mathit{T}}$ 和[x7,x8,x9,x10,x11,x12]T= ${[\mathit{\varphi },\stackrel{·}{\mathit{\varphi }},\mathit{\theta },\stackrel{·}{\mathit{\theta }},\mathit{\psi },\stackrel{·}{\mathit{\psi }}]}^{\mathit{T}}$ ,[x,y,z]和[ϕ,θ,ψ]表示四旋翼无人机位置和姿态状态;参数ηmx=ηmy=ηmz= $\frac{1}{\mathit{m}}$ ,ηmθ= $\frac{1}{{\mathit{I}}_{\mathit{x}\mathit{x}}}$ ,ηmψ= $\frac{1}{{\mathit{I}}_{\mathit{y}\mathit{y}}}$ ,ηmφ= $\frac{1}{{\mathit{I}}_{\mathit{z}\mathit{z}}}$ ,Tmφ=- $\frac{{\mathit{I}}_{\mathit{z}\mathit{z}}-{\mathit{I}}_{\mathit{y}\mathit{y}}}{{\mathit{I}}_{\mathit{x}\mathit{x}}}$ ,Tmθ=- $\frac{{\mathit{I}}_{\mathit{x}\mathit{x}}-{\mathit{I}}_{\mathit{z}\mathit{z}}}{{\mathit{I}}_{\mathit{y}\mathit{y}}}$ ,Tmψ=- $\frac{{\mathit{I}}_{\mathit{y}\mathit{y}}-{\mathit{I}}_{\mathit{x}\mathit{x}}}{{\mathit{I}}_{\mathit{z}\mathit{z}}}$ ;Ixx,Iyy和Izz分别表示四旋翼无人机绕x,y,z各轴的转动惯量;m表示四旋翼无人机的质量;Jp表示螺旋桨惯性矩阵;Ωr表示螺旋桨的合转速;g为重力加速度;dx,dy,dz,dφ,dθ,dψ表示四旋翼无人机系统的未知外部干扰;uφ,uθ,uψ表示四旋翼无人机姿态子系统控制输入,ux=u1(cosφsinθcosψ+sinϕsinψ),uy=u1(cosφsinθsinψ-sinφcosψ), uz=u1(cosφcosθ)。u1表示四旋翼无人机位置子系统的实际控制输入。
假设1.由于实际中系统参数m,Ixx,Iyy和Izz很难精确获得,因此参数ηmx,ηmy,ηmz,ηmϕ,ηmθ,ηmψ和Tmφ,Tmθ,Tmψ具有不确定性,其中参数ηmx,ηmy,ηmz,ηmφ,ηmθ,ηmψ的下界分别为 ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{x}}$ , ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{y}}$ , ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}$ , ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ , ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\theta }}$ , ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\psi }}$ 。
假设2.未知的外部扰动dx,dy,dz,dφ,dθ,dψ满足: $\left|{\mathit{\eta }}_{\mathit{m}\mathit{x}}{\mathit{d}}_{\mathit{x}}\right|$ ≤Dx, $\left|{\mathit{\eta }}_{\mathit{m}\mathit{y}}{\mathit{d}}_{\mathit{y}}\right|$ ≤Dy, $\left|{\mathit{\eta }}_{\mathit{m}\mathit{z}}{\mathit{d}}_{\mathit{z}}\right|$ ≤Dz,max{ $\left|{\mathit{\eta }}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}{\mathit{d}}_{\mathit{\varphi }}\right|$ ,Tmφ}≤ ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ , max{ $\left|{\mathit{\eta }}_{\mathit{m}\mathit{\theta }}{\mathit{d}}_{\mathit{\theta }}\right|$ ,Tmθ}≤ ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\theta }}$ ,max{ $\left|{\mathit{\eta }}_{\mathit{m}\mathit{\psi }}{\mathit{d}}_{\mathit{\psi }}\right|$ ,Tmψ}≤ ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\psi }}$ ,其中参数Dx,Dy,Dz, ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ , ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\theta }}$ , ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\psi }}$ 是未知的。
引理1 [23]:对于常数ε>0和变量 $\overline{\mathit{\lambda }}$ ∈R,存在如下关系:
0≤ $\left|\mathit{z}\right|$ -ztanh $\left(\frac{\mathit{z}}{\mathit{\zeta }}\right)$ ≤0.2785ζ
其中,z∈R和ζ>0。
2 预定性能函数设计
首先,设计一种新的自适应抗饱和防奇异指定时间预定性能函数ρi(t)如式(4)所示。
$ \rho_{i}(t)=\left\{\begin{array}{ll} \left(\rho_{0}-\rho_{\infty}\right) \exp [\varpi(t)]+\rho_{\infty}, & t<T_{\rho} \\ \rho_{\infty}+\Phi, & t \geqslant T_{\rho} \end{array}\right.$
其中,$ \varpi(t)=-\frac{a t(t-b)}{T_{\rho}-t}$,Φ=kΦ{exp[Θ]-1},Θ= $\left|{\mathit{e}}_{\mathit{i}}-{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}·\mathit{s}\mathit{a}\mathit{t}\left(\frac{{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}\right)\right|$ 。ei是系统的跟踪误差(ei=xi-xid,xi为系统状态,xid为期望轨迹),i= 1,3,5,7,9,11,函数sat(·)满足sat(x)= min[1,max(-1,x)]。
自适应抗饱和指定时间预定性能函数中的设计参数ρ0,ρ∞,a,b,Tρ,kρ∞,kΦ,ρ0是性能函数的初始值,ρ∞>0是性能函数的稳态值,a>0影响跟踪误差的收敛速度,Tρ>0决定了收敛时间,参数b决定性能函数的初始变化方向,当b>0时,性能函数先单调递增,然后单调递减;当b<0时,性能函数单调递减。kρ∞决定奇异性问题发生的预警边界,需满足0<kρ∞<1。kΦ需满足kΦ≥1,kΦkρ∞<1,kΦ越大,性能函数边界扩张程度越大。
若定义跟踪误差ei,i=1,3,5,7,9,11,则自适应抗饱和防奇异指定时间预定性能可由以下不等式表示:-d2ρi(t)<ei<d1ρi(t),(i=1,3,5,7,9,11),其中d1和d2为可调参数。
为了确保跟踪误差ei满足预定性能的要求,需对误差ei进行如下误差转换:
zi=tan $\left(\frac{\mathit{\pi }{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{2{\mathit{d}}_{\mathit{i}1}{\mathit{\rho }}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)}\right)$ qi+tan $\left(\frac{\mathit{\pi }{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{2{\mathit{d}}_{\mathit{i}2}{\mathit{\rho }}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)}\right)$ (1-qi)
其中,di1,di2为正的常数,zi是非光滑、分段连续可导的。qi满足
qi= $\left\{\begin{array}{ll}1& {\mathit{e}}_{\mathit{i}}\ge 0\\ 0& {\mathit{e}}_{\mathit{i}}\mathit{ }0\mathit{ }\end{array}\right.$
对式(5)进行求导可得
其中,hi=sec2 $\left(\frac{\mathit{\pi }{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{2{\mathit{d}}_{\mathit{i}1}{\mathit{\rho }}_{\mathit{i}}}\right)\left(\frac{\mathit{\pi }}{2{\mathit{d}}_{\mathit{i}1}}\right)\frac{1}{{{\mathit{\rho }}_{\mathit{i}}}^{2}}$ qi+sec2 $\left(\frac{\mathit{\pi }{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{2{\mathit{d}}_{\mathit{i}2}{\mathit{\rho }}_{\mathit{i}}}\right)$ $\left(\frac{\mathit{\pi }}{2{\mathit{d}}_{\mathit{i}2}}\right)\frac{1}{{\mathit{\rho }}_{\mathit{i}}^{2}}$ (1-qi) 。
注1:传统性能函数p=(p0-p∞)e-αt+p∞在不同参数α下的特性如图1所示,其中α1>α2。其存在固有矛盾:减小参数α可避免初始控制输入过大,但会增大收敛时间。文献[18-20]和文献[26]提出的指定时间型性能函数虽然可任意指定收敛时间,但会导致初始误差约束过于严格,从而容易引起控制输入幅值过大出现执行器饱和的问题。为此,本文提出了新型预定性能函数如式(4)所示,该函数可以实现指定时间收敛,收敛时间Tρ与参数b的正负无关,且选取b>0时,相同收敛时间下,初始误差约束相对宽松,克服了因初始误差约束过严造成的初始控制输入过大的问题,一定程度上避免了执行器饱和问题的出现。为了更清楚地说明本文提出的性能函数的这一优势,图2给出了本文性能函数与文献[20]性能函数的对比图。
注2:由式(4),t≥Tρ时,系统进入稳态,此时,如果 $\left|{\mathit{e}}_{\mathit{i}}\right|$ <kρ∞ρ∞, 则sat $\left(\frac{{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}\right)$ = $\frac{{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}$ , 那么Θ= $\left|{\mathit{e}}_{\mathit{i}}-{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}·\mathit{s}\mathit{a}\mathit{t}\left(\frac{{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}\right)\right|$ =0,Φ= kΦ{exp[Θ]-1}=kΦ{exp[0]-1}=0,此时,有ρi(t)=ρ∞,即系统误差处于可接受的小范围内,无需进行自适应调整;如果 $\left|{\mathit{e}}_{\mathit{i}}\right|$ >kρ∞ρ∞,则sat $\left(\frac{{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}\right)$ =sgn(ei),Θ= $\left|{\mathit{e}}_{\mathit{i}}-{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}·\mathit{s}\mathit{a}\mathit{t}\left(\frac{{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}\right)\right|$ = $\left|{\mathit{e}}_{\mathit{i}}-{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}·\mathit{s}\mathit{g}\mathit{n}\left({\mathit{e}}_{\mathit{i}}\right)\right|$ ,那么Φ=kΦ{exp[ $\left|{\mathit{e}}_{\mathit{i}}^{}-{\mathit{k}}_{{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}}{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}·\mathit{s}\mathit{g}\mathit{n}\left({\mathit{e}}_{\mathit{i}}\right)\right|$ ]-1}。此时,ρi(t)=ρ∞+Φ,随着误差 $\left|{\mathit{e}}_{\mathit{i}}\right|$ 的增大,性能函数ρi(t)=ρ∞+Φ会相应增大,为系统提供更大的误差容忍范围,避免因控制量过大导致系统不稳定,如图3所示。
注3:结合正切函数的特性可知,当ei≥0时,有0≤tan $\left(\frac{\mathit{\pi }{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{2{\mathit{d}}_{\mathit{i}1}{\mathit{\rho }}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)}\right)$ ≤+∞;当ei<0时,有-∞<tan $\left(\frac{\mathit{\pi }{\mathit{e}}_{\mathit{i}}}{2{\mathit{d}}_{\mathit{i}2}{\mathit{\rho }}_{\mathit{i}}\left(\mathit{t}\right)}\right)$ <0。
由式(5)和式(6)定义可知zi与 ei之间的关系如图4所示。由图4可知:如果初始条件满足-di2ρi(0)<ei(0)<di1ρi(0),则有zi∈(-∞,+∞)。并且随着跟踪误差ei趋近于上边界di1ρi或下边界-di2ρi时, $\left|{\mathit{z}}_{\mathit{i}}\right|$ 随之递增;相反,当跟踪误差ei变小时, $\left|{\mathit{z}}_{\mathit{i}}\right|$ 随之减小。此外,仅在跟踪误差ei=0时zi=0,i= 1,3,5,7,9,11。因此,如果初始状态满足-di2ρi(0)<ei(0)<di1ρi(0),设计控制器使闭环系统一致最终有界稳定,那么跟踪误差在整个动态过程中必然在预定的范围内,即:-di2ρi(t)<ei(t)<di1ρi(t),∀t>0。
3 控制器设计
3.1 位置子系统控制器设计
位置子系统由x子系统、y子系统、z子系统组成。对于位置z子系统,其状态表达式如下:
定义跟踪误差e5,e6为
定义滤波误差y6为
y6=a5- ${\mathit{a}}_{5}^{\mathit{*}}$
其中,x5d为期望轨迹,a5为虚拟控制输入, ${\mathit{a}}_{5}^{\mathit{*}}$ 为理想虚拟控制输入。
设计位置子系统的控制器和自适应律如下:
其中r5>0,r6>0,c6>0,ε5>0,δ5>0, δ6>0,υ5>0为设计参数。 ${\hat{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ 和 ${\hat{\mathit{D}}}_{\mathit{z}}$ 分别为 ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{{}_{\mathit{m}\mathit{z}}}}$ 和Dz的估计, ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ =1/ ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}$ 。
事件触发条件为
其中,误差 ζz(t)=ωz(t)-uz(t), ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{z}}$ >0 和βz>0为设计参数, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{z}}$ >βz。tk是控制器的更新时间。
为验证所提出的位置控制器的有效性,选取李雅普诺夫函数Vx5为
Vx5= $\frac{1}{2}{\mathit{z}}_{5}^{2}$
对Vx5求导得
由此,可设计理想虚拟控制输入 ${\mathit{a}}_{5}^{\mathit{*}}$ 为
其中,设计参数c5>0。
将式 (16)代入式(15),可得
接下来,选取李雅普诺夫函数Vx6为
Vx6=Vx5+ $\frac{1}{2}$ e62+ $\frac{1}{2}$ y62
采用一阶滤波器表示 ${\mathit{a}}_{5}^{\mathit{*}}$ 为
λ6 ${\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{5}$ +a5= ${\mathit{a}}_{5}^{\mathit{*}}$
其中,λ6>0,由此可得式(20)为
y6 ${\stackrel{·}{\mathit{y}}}_{6}$ =y6(${\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{5}$ - ${\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{5}^{\mathit{*}}$ )≤ $\left(-\frac{1}{{\mathit{\lambda }}_{6}}+\frac{{{\mathit{\mu }}_{6}}^{2}}{{{\mathit{\gamma }}_{6}}^{2}}\right)$ y62+ $\frac{1}{4}{\mathit{\gamma }}_{6}^{2}$
对Vx6求导得
其中,γ6>0,μ6≥ $\left|{\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{5}^{\mathit{*}}\right|$ 。根据触发条件可推断 $\left|{\mathit{\omega }}_{\mathit{z}}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{u}}_{\mathit{z}}\left(\mathit{t}\right)\right|$ ≤βz,存在一个时变常数ηz(t),满足ηz(0)=0和 $\left|{\mathit{\eta }}_{\mathit{z}}\left(\mathit{t}\right)\right|$ ≤1, t∈[tk,tk+1),因此ωz(t)=uz(t)+ηz(t)βz。
最后,总的李雅普诺夫函数选取为
Vz=Vx6+ $\frac{1}{2{\mathit{r}}_{5}}{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}{\stackrel{\sim }{\mathit{d}}}^{2}{}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ + $\frac{1}{2{\mathit{r}}_{6}}{\stackrel{\sim }{\mathit{D}}}_{\mathit{z}}^{2}$
其中,r5> 0,r6> 0为设计参数。 ${\hat{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ 和 ${\hat{\mathit{D}}}_{\mathit{z}}$ 分别为 ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ 和Dz的估计值。 ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ = $\frac{1}{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ , ${\stackrel{\sim }{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ = ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ - ${\hat{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ , ${\stackrel{\sim }{\mathit{D}}}_{\mathit{z}}$ =Dz- ${\hat{\mathit{D}}}_{\mathit{z}}$ 。
对Vz求导得
将自适应律(12)代入 ${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{\mathit{z}}$ 得
其中, χz=min $\left\{\left(2{\mathit{c}}_{5},2{\mathit{c}}_{6},{\mathit{\delta }}_{5}{\mathit{r}}_{5},{\mathit{\delta }}_{6}{\mathit{r}}_{6},2\left(\frac{1}{{\mathit{\lambda }}_{6}}-\frac{1}{2}-\frac{{\mathit{\mu }}_{6}^{2}}{{\mathit{\gamma }}_{6}^{2}}\right)\right)\right\}$ , Σz= ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}$ ε5+0.2785 ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}$ υ5+ $\frac{{\mathit{\delta }}_{5}}{2}{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}{\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}^{2}$ + $\frac{{\mathit{\delta }}_{6}}{2}{\mathit{D}}_{\mathit{z}}^{2}$ + $\frac{1}{4}{\mathit{\gamma }}_{6}^{2}$ 。考虑到设计参数c5,c6,δ5,r5,δ6,r6均大于0,设计参数λ6足够小满足 $\frac{1}{{\mathit{\lambda }}_{6}}$ > $\frac{1}{2}$ + $\frac{{\mathit{\mu }}_{6}^{2}}{{\mathit{\gamma }}_{6}^{2}}$ ,所以χz>0。求解不等式(24) 可得:Vz(t)≤Vz(0)exp(-χzt) + $\frac{{\mathit{\Sigma }}_{\mathit{z}}}{{\mathit{\chi }}_{\mathit{z}}}$ ,∀t≥0,即当t→+∞时, $\underset{\mathit{t}\to \mathit{\infty }}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}$ Vz(t)=Σz/χz。
根据Lyapunov稳定性理论,选取设计参数使得Σz足够小或χz足够大时,变量z5,e6,y6和 ${\stackrel{\sim }{\mathit{d}}}^{}{}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{z}}}$ , ${\stackrel{\sim }{\mathit{D}}}_{\mathit{z}}$ 一致最终有界稳定,再根据注3中z5和e5的关系描述,可知当-d52ρ5(0)<e5(0)<d51ρ5(0)时,闭环系统跟踪误差不仅一致最终有界稳定,而且整个动态过程满足预定性能约束:-d52ρ5(t)<e5(t)<d51ρ5(t)。
注4:由于zi是非光滑、分段连续可导的,所以Vz是典型的非光滑、分段连续可导的Lyapunov函数。对于e5≠0区域内,Vz是光滑的,D+Vz等于常规Lyapunov函数Vz的导数,根据式(24)可知 ${\stackrel{·}{\mathit{V}}}_{\mathit{z}}$ ≤-χzVz+Σz,即D+Vz≤-χzVz+Σz;对于切换点e5=0处,z5=0,所以D+Vx5=z5 ${\stackrel{·}{\mathit{z}}}_{5}$ =0。再综合式(17)可知D+Vx5=0≤ ${\left.{\mathit{z}}_{5}{\mathit{\rho }}_{5}{\mathit{h}}_{5}{\mathit{e}}_{6}-{\mathit{c}}_{5}{\mathit{z}}_{5}^{2}\right|}_{{\mathit{z}}_{5}=0}$ +y62/2成立,即:在切换点e5=0处式(17)仍然是成立的,因此后续推导过程相同,可推出D+Vz≤-χz ${\left.{\mathit{V}}_{\mathit{z}}\right|}_{{\mathit{z}}_{5}=0}$ +Σz。根据Rouche-Hale 非光滑 Lyapunov 判据[27]可知系统一致最终有界稳定。后面其他子系统类似,因此不再赘述。
位置x子系统和位置y子系统的设计过程与位置z子系统相同,因此位置x子系统和位置y子系统的控制器如式(25)和式(26)所示。
其中c2>0,c4>0, ε1>0, ε3>0, υ1>0, υ3>0为设计参数, ${\hat{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{x}}}$ , ${\hat{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{y}}}$ , ${\hat{\mathit{D}}}_{\mathit{x}}$ , ${\hat{\mathit{D}}}_{\mathit{y}}$ 分别为 ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{x}}}$ , ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{y}}}$ ,Dx,Dy的估计值, ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{x}}}$ = $\frac{1}{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{x}}}$ , ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{y}}}$ = $\frac{1}{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{y}}}$ , ${\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{1}$ = $\frac{{{\mathit{a}}_{1}}^{\mathit{*}}-{\mathit{a}}_{1}}{{\mathit{\lambda }}_{2}}$ , ${\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{3}$ = $\frac{{{\mathit{a}}_{3}}^{\mathit{*}}-{\mathit{a}}_{3}}{{\mathit{\lambda }}_{4}}$ 。 λ2>0 和 λ4>0 为时间常数,ζx(t)=ωx(t)-ux(t)和 ζy(t)=ωy(t)-uy(t)为测量误差, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{x}}$ >0, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{y}}$ >0,βx>0 和βy>0 为设计参数且满足 ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{x}}$ >βx, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{y}}$ >βy,tk为更新时间。
理想虚拟控制输入表示如下:
其中,c1>0, c3>0。
自适应律设计为
其中,设计参数r1>0,r2>0,r3>0,r4>0, δ1>0, δ2>0, δ3>0, δ4>0。
根据ζz(t)=ωz(t)-uz(t),对t∈[tk,tk+1)可得 $\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}\mathit{t}}$ |ζz|= $\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}\mathit{t}}({\mathit{\zeta }}_{\mathit{z}}^{\mathit{T}}{\mathit{\zeta }}_{\mathit{z}}{)}^{\frac{1}{2}}$ =sign(ζz) ${\stackrel{·}{\mathit{\zeta }}}_{\mathit{z}}$ ≤| ${\stackrel{·}{\mathit{\omega }}}_{\mathit{z}}$ |。由于干扰项dz(t)连续,故 ${\stackrel{·}{\mathit{\omega }}}_{\mathit{z}}$ (t)也连续,且闭环系统所有信号全局有界,因此存在常数κ>0,使得 $\left|{\stackrel{·}{\mathit{\omega }}}_{\mathit{z}}\left(\mathit{t}\right)\right|$ ≤κ。结合触发条件ζz(tk)=0和 $\underset{\mathit{t}\to {\mathit{t}}_{\mathit{k}+1}}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}$ ζz(t)=βz,可推得最小触发间隔满足t*≥ $\frac{{\mathit{\beta }}_{\mathit{z}}}{\mathit{\kappa }}$ ,即存在常数t*>0,使得对任意κ∈Ζ+,均满足tk+1-tk≥t*。因此,本文提出的事件触发控制方法可以避免芝诺现象。同理,可证其它位置子系统同样可以避免芝诺现象。
综上分析,可得定理 1 如下:
定理1:对于位置子系统,如果初始条件满足-di2ρi(0)<ei(0)<di1ρi(0),i= 1,3,5,采用自适应事件触发控制器(11)、(13)、(25)-(26)以及自适应律(12)、(28),可使得位置子系统的跟踪误差ei,i=1,3,5在指定时间Tρ内收敛,且满足预定的暂态和稳态性能约束,即对于∀t>0,均有-di2ρi(t)<ei(t)<di1ρi(t),i=1,3,5。
3.2 姿态子系统控制器设计
在双闭环控制框架中,位置子系统与姿态子系统紧密相连。为实现两个子系统之间的衔接,采用姿态提取算法,关系表达式如下:
由此,可得参考输入x7d和x9d的表达式为
滚转角子系统的状态方程为
定义跟踪误差 e7,e8为
定义滤波误差y8为
y8=a7- ${\mathit{a}}_{7}^{\mathit{*}}$
其中,x7d为期望轨迹,a7为虚拟控制输入, ${\mathit{a}}_{7}^{\mathit{*}}$ 为理想虚拟控制输入。
设计姿态子系统控制器和自适应律如下:
其中,设计参数r7>0,r8>0,c8>0, ε7>0, δ7>0, δ8>0, υ7>0。 ${\hat{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}$ , ${{\hat{\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}_{\mathit{ }}$ 分别为 ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}$ , ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ 的估计 ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}$ =1/ ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ 。
事件触发条件为
其中,误差 ζφ(t)= ωφ(t)-uϕ(t), ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{\varphi }}$ >0 和βφ>0 为设计参数, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{\varphi }}$ >βφ 。tk是控制器的更新时间。
为了证明姿态控制器的有效性,进一步选取李雅普诺夫函数Vφ1为
Vφ1= $\frac{1}{2}{\mathit{z}}_{7}^{2}$
对Vφ1求导得
由此,可设计理想虚拟控制输入 ${\mathit{a}}_{7}^{\mathit{*}}$ 为
其中,设计参数c7>0。
将式(39)代入式(38),可得
接下来,选取李雅普诺夫函数Vϕ2为
Vφ2=Vφ1+ $\frac{1}{2}{\mathit{e}}_{8}^{2}$ + $\frac{1}{2}{\mathit{y}}_{8}^{2}$
采用一阶滤波器表示 ${\mathit{a}}_{7}^{\mathit{*}}$ 为
λ8 ${\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{7}$ +a7= ${\mathit{a}}_{7}^{\mathit{*}}$
其中λ8>0,由此可得式(61)为
y8 ${\stackrel{·}{\mathit{y}}}_{8}$ =y8(${\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{7}$ - ${\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{7}^{\mathit{*}}$ )≤ $\left(-\frac{1}{{\mathit{\lambda }}_{8}}+\frac{{\mathit{\mu }}_{8}^{2}}{{\mathit{\gamma }}_{8}^{2}}\right){\mathit{y}}_{8}^{2}$ + $\frac{1}{4}{\mathit{\gamma }}_{8}^{2}$
对Vφ2求导得
其中,γ8>0,μ8≥ $\left|{\stackrel{·}{\mathit{\alpha }}}_{7}^{\mathit{*}}\right|$ 。
根据触发条件可推断 $\left|{\mathit{\omega }}_{\mathit{\varphi }}\left(\mathit{t}\right)-{\mathit{u}}_{\mathit{\varphi }}\left(\mathit{t}\right)\right|$ ≤βφ,存在一个时变常数ηφ(t),满足ηφ(0)=0和 $\left|{\mathit{\eta }}_{\mathit{\varphi }}\left(\mathit{t}\right)\right|$ ≤1,t∈[tk,tk+1),有ωφ(t) =uφ(t)+ηφ(t)βϕ。
最后,总的李雅普诺夫函数Vφ选取为
Vφ=Vφ2+ $\frac{1}{2{\mathit{r}}_{7}}{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}{\stackrel{\sim }{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}^{2}$ + $\frac{1}{2{\mathit{r}}_{8}}{\stackrel{\sim }{\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}^{2}$
其中,r7> 0,r8> 0为设计参数。 ${{\hat{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}}_{\mathit{ }}$ 和 ${\hat{\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ 分别为 ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}$ 和 ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ 的估计值。 ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}$ =1/ ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ , ${\stackrel{\sim }{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}$ = ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}$ - ${\hat{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}$ , ${\stackrel{\sim }{\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ = ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ - ${\hat{\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ 。
对Vφ求导化简得
其中, χφ=min $\left\{\left(2{\mathit{c}}_{7},2{\mathit{c}}_{8},{\mathit{\delta }}_{7}{\mathit{r}}_{7},{\mathit{\delta }}_{8}{\mathit{r}}_{8},2\left(\frac{1}{{\mathit{\lambda }}_{8}}-\frac{1}{2}-\frac{{\mathit{\mu }}_{8}^{2}}{{\mathit{\gamma }}_{8}^{2}}\right)\right)\right\}$ , Σφ= ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ ε7+0.2785υ7 ${\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ + $\frac{{\mathit{\delta }}_{7}}{2}{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}{\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}^{2}$ + $\frac{{\mathit{\delta }}_{8}}{2}{\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}^{2}$ + $\frac{1}{4}{\mathit{\gamma }}_{8}^{2}$ 。
考虑到设计参数c7,c8,δ7,r7,δ8,r8均大于0,设计参数λ8足够小满足 $\frac{1}{{\mathit{\lambda }}_{8}}$ > $\frac{1}{2}$ + $\frac{{{\mathit{\mu }}_{8}}^{2}}{{{\mathit{\gamma }}_{8}}^{2}}$ ,所以χφ>0。求解不等式(46)可知:Vφ(t)≤Vφ(0)exp(-χφt) + $\frac{{\mathit{\Sigma }}_{\mathit{\varphi }}}{{\mathit{\chi }}_{\mathit{\varphi }}}$ ,∀t≥0,即当t→+∞时, $\underset{\mathit{t}\to \mathit{\infty }}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}$ Vφ(t)=Σφ/χφ。
根据Lyapunov稳定性理论,选取设计参数使得Σφ足够小或χφ足够大时,变量z7、e8、y8、 ${\stackrel{\sim }{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}}$ 、 ${\stackrel{\sim }{\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}}_{\mathit{m}\mathit{\varphi }}$ 一致最终有界稳定。再根据注3中z7和e7的关系描述,可知当-d72ρ7(0)<e7(0)<d71ρ7(0)时,闭环系统跟踪误差不仅一致最终有界稳定,而且整个动态过程满足预定性能约束:-d72ρ7(t)<e7(t)<d71ρ7(t)。
俯仰角子系统和偏航角子系统的设计过程与滚转角子系统类似,因此俯仰角子系统和偏航角子系统的控制器如式(47)和式(48)所示。
其中c10>0,c12>0, ε9>0, ε11>0, υ9>0, υ11>0 为设计参数, ${\hat{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\theta }}}$ , ${\hat{\mathit{d}}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\psi }}}$ , ${\widehat{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\theta }}$ , ${\hat{\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}}_{\mathit{m}\mathit{\psi }}$ 分别为 ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\theta }}}$ , ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\psi }}}$ , ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\theta }}$ , ${\stackrel{\mathit{⌒}}{\mathit{T}}}_{\mathit{m}\mathit{\psi }}$ 的估计值, ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\theta }}}$ = $\frac{1}{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\theta }}}$ , ${\mathit{d}}_{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\psi }}}$ = $\frac{1}{{\overline{\mathit{\eta }}}_{\mathit{m}\mathit{\psi }}}$ , ${\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{9}$ = $\frac{{{\mathit{a}}_{9}}^{\mathit{*}}-{\mathit{a}}_{9}}{{\mathit{\lambda }}_{10}}$ , ${\stackrel{·}{\mathit{a}}}_{11}$ = $\frac{{{\mathit{a}}_{11}}^{\mathit{*}}-{\mathit{a}}_{11}}{{\mathit{\lambda }}_{12}}$ ,λ10>0和λ12>0为时间常数,ζθ(t)=ωθ(t)-uθ(t) 和ζψ(t)=ωψ(t)-uψ(t) 为测量误差, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{\theta }}$ >0, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{\psi }}$ >0,βθ>0和βψ>0为设计参数且满足 ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{\theta }}$ >βθ, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{\psi }}$ >βψ,tk为更新时间。
理想虚拟控制输入表示如下:
其中c9>0,c11>0。
自适应律设计如下:
其中,设计参数r9>0,r10>0,r11>0,r12>0, δ9>0, δ10>0, δ11>0, δ12>0。
根据ζφ(t)=ωφ(t)-uφ(t),对t∈[tk,tk+1)可得 $\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}\mathit{t}}$ |ζφ|= $\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}\mathit{t}}({\mathit{\zeta }}_{\mathit{\varphi }}^{\mathit{T}}{\mathit{\zeta }}_{\mathit{\varphi }}{)}^{\frac{1}{2}}$ =sign(ζφ) ${\stackrel{·}{\mathit{\zeta }}}_{\mathit{\varphi }}$ ≤| ${\stackrel{·}{\mathit{\omega }}}_{\mathit{\varphi }}$ |。由于干扰项dφ(t)连续,故 ${\stackrel{·}{\mathit{\omega }}}_{\mathit{\varphi }}$ (t)也连续,且闭环系统所有信号全局有界,因此存在常数κ>0,使得 $\left|{\stackrel{·}{\mathit{\omega }}}_{\mathit{\varphi }}\left(\mathit{t}\right)\right|$ ≤κ。结合触发条件ζφ(tk)=0和 $\underset{\mathit{t}\to {\mathit{t}}_{\mathit{k}+1}}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}$ ζφ(t)=βφ,可推得最小触发间隔满足t*≥ $\frac{{\mathit{\beta }}_{\mathit{\varphi }}}{\mathit{\kappa }}$ ,即存在常数t*>0,使得对任意κ∈Ζ+,均满足tk+1-tk≥t*。因此,本文提出的事件触发控制方法可避免芝诺现象。同理,可证其它姿态子系统同样可以避免芝诺现象。
综上分析,可得定理2如下:
定理2:对于姿态子系统,如果初始条件满足-di2ρi(0)<ei(0)<di1ρi(0),i= 7,9,11,采用自适应事件触发控制器(34)、(36)、(47)-(48)以及自适应律(35)、(50),可使得姿态子系统的跟踪误差ei,i=7,9,11能够在指定时间Tρ内收敛,且满足预定的暂态和稳态性能约束,即对于∀t>0,均有-di2ρi(t)<ei(t)<di1ρi(t),i=7,9,11。
4 仿真结果
本节通过仿真验证所设计控制器的有效性和优越性。四旋翼无人机系统参数选取如下:p1=0.1sin(10t),ηmx=ηmy=0.67+p1(kg),ηmz=0.9+p1(kg),ηmψ=25+5p1(kg·m2),ηmφ=ηmθ=33+5p1。重力加速度g=9.8m/s2。参考信号为[xd,yd,zd,ψd]T=[0.5sin(t),0.5cos(t),0.1t,0]T,干扰为dj= $\left\{\begin{array}{l}0.08\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(5\mathit{t}\right),0\mathit{t}8\mathit{s}\\ 6,\mathit{t}\ge 8\mathit{s}\end{array}\right.$ ,j=x,y,z,φ,θ,ψ。四旋翼无人机的初始值选取为[x(0),y(0),z(0)]T=[1.5,1,1.5]T,[φ(0),θ(0),ψ(0)]T=[1.5,1,1.5]T。控制器参数设计为
c1=c2=5,c3=c4=2,c5=c6=4,c7=5,c8=2,c9=7,c10=5,c11=4,c12=5,ri=0.001(i=1,……,12),δ1=0.001,δ2=0.001,δ3=0.008,δ4=0.001,δ5=0.001,δ6=0.003,δ7=0.002,δ8=0.001,δ9=0.003,δ10=0.001,δ11=0.06,δ12=0.001,ε1=ε3=ε5=ε7=ε9=ε11=0.01,λ2=λ4=λ6=λ8=λ10=λ12=0.1,υ1=υ3=υ5=υ7=υ9=0.001,βx=βy=0.05,βz=0.1, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{z}}$ =2, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{x}}$ = ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{y}}$ =0.5,βφ=0.3, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{\varphi }}$ =0.4,βθ=0.1, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{\theta }}$ =0.2,βψ=0.1, ${\overline{\mathit{\beta }}}_{\mathit{\psi }}$ =0.2,d1=2,d2=2,a=2,b=1.5,Tρ=6,kΦ=1.1,kρ∞=0.8,ρ0=2,ρ∞=0.05。
进一步,为验证系统误差可在任意指定时间内收敛且满足性能约束,选取更小的指定时间Tρ=2.5秒,其他设计参数保持不变,位置和姿态的跟踪误差曲线分别如图11和图12所示。由图可以看出,跟踪误差在Tρ=2.5秒内收敛且满足预设的暂稳态性能。图13分别给出了b<0和b>0时控制输入的曲线图,从图13可以看出,正如注1所描述,选择b<0会增大初始控制输入,在实际应用中这经常是无法实现的,由于执行器物理局限性使得控制输入是受限的。因此,本文所提方法将初始阶段设计为b>0使性能函数先递增后递减,扩大误差允许范围,降低控制信号幅值,避免了执行器饱和的影响,降低了收敛时间与控制输入大小之间矛盾对系统控制的不利影响。
此外,为了验证所提出的自适应预定性能函数式(4)的优越性,基于文献[26]中无自适应项的预定性能函数进行仿真:
ρ(t)= $\left\{\begin{array}{ll}({\mathit{\rho }}_{0}-{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}){\mathit{e}}^{-\mathit{a}{\mathit{T}}_{\mathit{\rho }}\mathit{t}/({\mathit{T}}_{\mathit{\rho }}-\mathit{t})}+{\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }},& \mathit{t}{\mathit{T}}_{\mathit{\rho }}\\ {\mathit{\rho }}_{\mathit{\infty }}& \mathit{t}\ge {\mathit{T}}_{\mathit{\rho }}\end{array}\right.$
无人机在t=8秒时遭遇阶跃干扰dj=6,j=x,y,z,φ,θ,ψ,即:无人机突然遭遇强瞬时干扰(如恒定侧风),此时姿态误差会瞬时增加,在没有自适应调整项Φ的情况下,当误差超过边界时,控制系统会遇到奇异问题,仿真停止,而本文所设计的性能函数中的自适应项避免了此类奇异性问题的出现,如图14所示。因此,本文所提方法可以防止系统在稳态之后遭遇突发干扰引发奇异问题出现,造成系统失控,提高了无人机系统的安全性。
5 结论
本文针对具有不确定动态参数与外部干扰的四旋翼无人机系统,提出一种新型自适应抗饱和指定时间预定性能触发控制方案。该方案有效解决了系统受参数不确定性影响的问题,克服了收敛时间与控制输入大小的矛盾,避免了执行器饱和的限制,保证了系统跟踪误差在指定时间Tρ内收敛,并且满足预定的暂稳态性能约束,达到了防止奇异问题出现的目的,同时触发控制机制降低了通信和计算负担。仿真结果表明,系统跟踪误差能够在指定时间6s或2.5s内收敛且满足暂稳态性能约束;调节参数b可使初始控制信号的幅值降低35%。 本文方法目前仅进行了仿真验证,后续将进行半实物仿真验证,将来推广到实际应用中。