JPRMG

Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance >

2026 , Vol. 46 >Issue 4: 417 - 428

DOI: https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2026.04.008

Academic article

PINN-based Prediction Method for Drag Coefficient of Hypersonic Fragments

  • HU Jie , 1, * ,
  • LIU Heng 2 ,
  • XIA Hongli 1 ,
  • WANG Xiquan 1 ,
  • JI Hansong 2
Expand
  • 1 Norinco Group Testing and Research Institute, Huayin 714200,Shaanxi, China
  • 2 School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China

Received date: 2026-04-30

  Online published: 2026-08-20

Fold

Abstract

To address the challenge of predicting the drag coefficient of hypersonic fragments undergoing continuous attitude changes in insensitive munition safety testing,a physics-informed neural network (PINN)-based prediction method is proposed.Flight test data inversion reveals that the aerodynamic characteristics of the fragments exhibit unsteady evolution features.Therefore,the prediction of drag coefficient is decoupled into two parts:quasi-steady priori modeling and unsteady effect correction.The flight of fragments under various velocities and attitudes is simulated to construct a prior model mapping from velocity and attitude to the quasi-steady drag coefficient,which,as a known function,is then embedded into the PINN.A joint loss function is formulated with regularization by using the test velocity as the fitting target and Newton’s laws as physical constraints,and a time-varying correction factor is output to modify the quasi-steady drag coefficient.The validation shows that the velocity prediction errors are 0.85% and 0.46% and the drag coefficient errors are 0.078% and 0.049%,respectively,at Mach 5.98 and 6.62,significantly outperforming those of the empirical formulas and the neural networks without physical constraints.Moreover,the prediction process takes only a few seconds,which is far less than the time required for numerical simulation.The proposed method provides support for predicting the hypersonic fragment impact velocities in munition safety assessment.

Key words： ammunition safety; hypersonic fragment; aerodynamic drag coefficient; physics-informed neural network

Cite this article

HU Jie , LIU Heng , XIA Hongli , WANG Xiquan , JI Hansong . PINN-based Prediction Method for Drag Coefficient of Hypersonic Fragments[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2026 , 46(4) : 417 -428 . DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2026.04.008

0 引言

不敏感弹药的安全性通过破片撞击试验进行考核。在考核过程中,受安全距离限制,通常只能测量飞行路径上若干点位的速度来推算最终撞击速度,推算精度很大程度上依赖于破片阻力系数的准确估计[1-2]。对于高超声速飞行的不规则破片,其飞行姿态会不断变化,导致阻力系数呈现与飞行状态强相关的时变特性[3-7],传统基于恒定阻力系数假设的预测方法无法满足精确毁伤效果评估的需求[8]。针对上述问题,现有研究主要从多个角度尝试提高阻力系数预测精度。例如,通过简化破片姿态随机性进行建模时,预测误差可达12.8%[9];基于近似气动模型的方法,误差约为11.0%[10];此外,还有研究采用平均阻力系数方法[11],或基于蒙特卡罗投影估计平均迎风面积,将误差降低至接近3.0%[12]。进一步地,将数值模拟与稀疏回归相结合,可将速度预测误差降低至0.9%[13]。尽管这些方法从不同角度提升了预测能力,但均未能有效考虑破片飞行过程中姿态持续变化对阻力系数的时变影响,这一局限是造成预测偏差动态累积的关键。
当前,破片阻力系数的获取主要依赖于实物试验和数值模拟。实物试验方面,HU等[14]建立了近圆柱形钢质破片的减速模型,并获得其平均阻力系数。德国航空航天中心通过高超声速风洞试验研究了圆柱形破片在不同姿态下的气动特性,预测误差约为2%[15]。此外,还有研究建立了球形破片速度与飞行时间之间的关系模型,其误差约为1.5%[16]。另有研究分析了球形、立方体等不同形状破片的速度衰减规律,相关误差小于10%[5]。SELTNER等[17]利用激波管研究了7Ma条件下立方体破片在不同迎流方向下的阻力特性,其预测误差约为3%。随着数值模拟技术的发展,基于数值模拟方法计算破片阻力系数已成为试验的重要补充手段。例如,有研究结合试验和数值模拟分析了三棱柱破片的速度衰减规律[18];也有工作对球形与立方体破片在6Ma下的气动行为开展了数值研究,其误差约为8.7%[19]。同时,数值模拟方法还可揭示破片姿态对气动特性的影响[20]。尽管上述方法能够较为全面地揭示破片的气动特性,但在工程应用中通常需要对结果进行拟合以获得经验公式,而此类公式的适用范围有限,难以准确描述复杂外形或跨音速条件下破片的动态特性。
近年来,数据驱动方法在空气动力学领域展现出了巨大的潜力。在高超声速目标弹道预测等问题中,数据驱动方法同样表现出良好的精度与鲁棒性[21-23]。此外,人工神经网络(Artificial Neural Network,ANN)已被用于阻力系数预测,并取得较高的精度[4]。然而,纯数据驱动的方法通常依赖大规模数据集,而破片发射试验需要专业场地和设备,成本高昂,难以获取大量数据集。此外,还有可能得到违反物理定律的结果。物理信息神经网络(Physics-informed Neural Network,PINN)通过将物理定律作为约束嵌入网络训练过程,在保证预测精度的同时提高了结果的物理一致性[24]。CHEN等[25]进一步开发了具有稀疏回归能力的PINN。PINN将数据驱动的学习与物理约束相结合,为处理物理机制部分已知但难以完整建模的复杂问题提供了一种有效途径。
针对不敏感弹药安全性测试中高超声速破片时变阻力系数难预测的问题,本文将阻力系数的预测问题解耦为准定常先验建模与非定常效应修正两部分。利用不同速度和姿态下的破片飞行仿真数据,构建从速度-姿态到准定常阻力系数的先验模型。将先验模型嵌入PINN框架,以试验速度数据为拟合目标、牛顿定律为约束、正则化联合损失函数为驱动,学习时变修正因子,并对准定常阻力系数进行修正。本方法在典型高超声速飞行条件下具有优于经验公式与无物理约束神经网络的预测精度,且计算效率大幅高于数值仿真。

1 破片迎风面积演化特征分析

本节针对标准型破片在实际飞行过程中迎风面积随时间变化的演化特征开展分析。通过发射试验获取破片飞行速度数据,并结合动力学方程和经验公式对迎风面积演化特征进行反推,揭示其随时间变化的基本特征。在此基础上,总结破片姿态演化的阶段性规律,为后续气动建模提供实验依据与物理认知支撑。

1.1 试验系统搭建

开展标准型高超声速破片发射试验,采用通断靶区截测速装置进行破片速度的测量,依据两靶距离及破片通过两靶的时间差计算破片速度。试验系统由发射装置(弹道炮)、破片防护板、通断靶等组成,试验现场布置如图1(a)所示。根据北约破片撞击试验标准STANAG 4496《弹片撞击,试验程序》,本试验采用30mm弹道炮发射该型破片,破片材料为45#钢,密度7.85g/cm3,布氏硬度HB≤197,单枚质量约为18.6g,试验用破片弹如图1(b)所示,其几何参数如图1(c)所示。
图1 破片发射试验系统搭建

Fig.1 Construction of the fragment emission test system

1.2 基于试验数据反推的迎风面积演化特征

忽略破片的侧摆运动,仅考虑二维情况,破片的运动规律遵循牛顿第二定律:
m $\frac{\mathit{d}\mathit{v}}{\mathit{d}\mathit{t}}$=- $\frac{1}{2}$ρCxAv2
式中,v为破片的飞行速度;m为破片质量,对于本试验所采用的标准型破片,m=0.0186kg;ρ为空气密度,试验过程中ρ=1.29kg/m3;A为破片的迎风面积,根据柯西定律,取A=2.42×10-4m2;Cx为空气阻力系数,CHEN等[26]给出了标准型破片在5.24~8.03Ma范围内的速度衰减特性为
CX=0.9871+ $\frac{0.8363}{\mathit{M}\mathit{a}}$- $\frac{0.7867}{\mathit{M}{\mathit{a}}^{2}}$
选取4次典型试验的速度随时间变化情况如图2(a)所示。根据式(1)、(2),反推迎风面积随时间的变化情况为
A=- $\frac{2\mathit{m}}{\mathit{\rho }\left(0.9871+\frac{0.8363}{\mathit{M}\mathit{a}}-\frac{0.7867}{\mathit{M}{\mathit{a}}^{2}}\right){\mathit{v}}^{2}}\frac{\mathit{d}\mathit{v}}{\mathit{d}\mathit{t}}$
如图2(b)所示,尽管破片的发射速度不同,但反推得到的迎风面积随飞行时间的变化趋势都相近,且均在文献[27]的理论推导范围内。进一步可以将破片的飞行姿态分为五个阶段:
图2 标准型破片迎风面积演化特征分析

Fig.2 Analysis of the evolution characteristics of the windward area of standard fragments

1)轴向飞行阶段。破片水平出膛后与弹托分离,姿态接近轴向飞行,此时迎风面积较小;
2)失稳增长阶段。破片受气动力的作用,产生俯仰或翻滚运动,迎风面积逐渐增大;
3)姿态翻滚震荡阶段。破片迎风面积随姿态变化,并表现出一定程度的波动;
4)气动阻尼收敛阶段。在气动阻尼作用下,破片姿态振荡幅度减小,迎风面积波动逐渐减小;
5)姿态稳定阶段。破片姿态逐渐稳定,迎风面积趋于某一稳定值。
上述研究表明,破片的气动特性具有明显的非定常演化特征,单纯依靠准定常模型难以完全描述实际飞行过程。因此,针对破片时变阻力系数的预测问题,可将建模过程解耦为准定常先验建模与非定常效应修正两部分:即先建立准定常模型,再引入非定常修正。

2 准定常气动先验模型的构建

在明确破片迎风面积演化特征的基础上,本节从准定常角度出发,构建破片气动特性的先验模型。通过数值仿真获取不同速度与姿态组合下的阻力系数数据,并建立从速度-姿态到准定常阻力系数的映射关系,从而得到可嵌入后续物理信息神经网络的气动先验模型,为非定常效应建模奠定基础。

2.1 准定常气动数值仿真与数据集的构建

如图3所示,破片在飞行过程中的姿态参数θ定义为破片轴线与水平方向的夹角。
图3 破片姿态的定义

Fig.3 Definition of fragment attitude

为研究不同姿态及速度条件下标准型破片的气动特性,开展了标准型破片飞行过程的数值仿真,以获取相应工况下的准定常阻力系数Cd。以标准型破片在θ=0条件下的数值模拟为例,对计算模型及仿真方法进行说明。数值模拟过程中,固定破片模型,通过赋予流场入口速度来模拟破片飞行状态。计算域采用矩形外流场区域,如图4所示。
图4 数值计算模型与计算域示意图

Fig.4 Numerical calculation model and computational domain

以破片直径D为特征尺度,破片几何中心距入流边界为4D,距出流边界为8D,距各侧边界均为3D,以减小边界效应对流场计算结果的影响。流场采用非结构化网格进行离散,并结合分区网格控制方法对破片附近区域进行局部加密,网格尺寸依据壁函数y+值进行确定,并通过试算对网格划分合理性进行验证。求解器采用Fluent 17.0。考虑到仿真工况下马赫数均大于0.3,因此流动模型设置为可压缩流动。流场介质为空气,并假定其满足理想气体状态方程。计算域四周边界均设置为压力远场边界条件,用于模拟无穷远自由来流环境;破片表面设置为无滑移壁面,以限定流体与固体区域之间的相互作用。
流体模型为理想气体,压力为0.9484atm,温度为298.15K。采用剪切应力输运k-ω湍流模型对破片进行飞行分析[14],控制方程为
$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{v}}_{\mathit{t}}=\frac{{\mathit{a}}_{1}\mathit{k}}{\mathit{m}\mathit{a}\mathit{x}\left({\mathit{a}}_{1}{\mathit{\omega }}_{\mathit{t}}\mathit{S}\mathit{F}\right)}\\ {\mathit{v}}_{\mathit{t}}=\frac{{\mathit{\mu }}_{\mathit{t}}}{\mathit{\rho }}\end{array}\right.$
式中,F是混合函数,用于约束壁面层的限制数,S是应变率的估计值。
为验证数值模拟结果的可靠性,进一步开展网格无关性分析。选取典型工况v=1530m/s、θ=0作为验证条件,对不同网格规模下的空气阻力系数进行计算。计算中均采用非结构化网格,并对破片附近流场进行局部加密。分别生成517、2376及4243个网格,对应得到的空气阻力系数结果如图5所示。
图5 不同网格规模下空气阻力系数的网格无关性验证结果

Fig.5 Grid independence verification results of aerodynamic drag coefficient under different mesh scales

结果表明,随着网格数量增加,空气阻力系数逐渐趋于稳定。当网格规模由2376增加至4243时,空气阻力系数变化幅度已较小,说明计算结果基本满足网格无关性要求。综合考虑计算精度与计算成本,本文最终选取约3500网格对应的尺寸开展后续数值仿真分析。
图6为网格划分情况以及破片周围流场在2040m/s、不同姿态(0°、5°、15°和45°)下的压力云图。可以看到,来流方向前方形成高压区,而尾部则出现低压区,由此产生压差阻力。图7给出标准型破片在不同姿态(0°、5°、15°和45°)及速度(340、1020、1530和2040m/s)下的流场分布情况及阻力系数。可以看出,随着破片姿态的变化,流场分布不再具有对称性。
图6 网格划分及2040m/s、不同姿态下的压力分布

Fig.6 Mesh configuration and pressure distributions at different attitude angles at the velocity of 2040m/s

图7 不同工况下破片流场分布及阻力系数

Fig.7 Contour plots of flow fields and corresponding drag coefficients for fragments under different operating conditions

2.2 准定常气动先验模型构建

基于仿真结果,构建“速度-姿态-准定常阻力系数”(v-θ-Cd)数据集,并在此基础上建立准定常气动规律的先验模型。考虑到“速度-姿态-准定常阻力系数”之间存在明显非线性关系和仿真所获样本的规模,本文选择全连接神经网络(Fully-connected Neural Network,FNN)和支持向量回归(Support Vector Regression,SVR)作为候选模型进行比较。其中,FNN具有较强的非线性拟合能力,而SVR在小样本条件下具有较好的泛化性能。经过验证与调优,两种方法的参数设置如表1和表2所示。
表1 全连接神经网络(FNN)参数

Table 1 Parameters of the FNN

参数 值
隐藏层神经元数 64,32
激活函数 tanh
优化器 Adam
初始学习率 0.001
损失函数 MSE
权重衰减系数 0.0001
表2 支持向量回归(SVR)参数

Table 2 Parameters of the SVR

参数 值
核函数 RBF
惩罚系数 1.0
不敏感损失 0.1
将“速度-姿态-准定常阻力系数”数据集随机分为训练集和测试集,如图8(a)所示。采用均方误差(Mean Squared Error,MSE)和决定系数R2作为指标来评估两种方法的预测能力。其中,MSE用于衡量预测值与真实值之间的偏差程度,其值越接近于0,表明模型的拟合程度越好;R2用于评估模型的拟合优度,其值越接近于1,则表明模型对数据集的拟合程度越好。MSE的计算公式如下:
$\mathit{M}\mathit{S}\mathit{E}=\frac{1}{\mathit{k}}\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{k}}({\hat{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}-{\mathit{y}}_{\mathit{i}}{)}^{2}$
R2的计算公式如下:
${\mathit{R}}^{2}=\frac{\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{k}}({\hat{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}-{\mathit{y}}_{\mathit{i}}{)}^{2}}{\sum _{\mathit{i}=1}^{\mathit{k}}({\overline{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}-{\mathit{y}}_{\mathit{i}}{)}^{2}}$
式(5)、(6)中,yi为真实值; ${\hat{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}$为预测值; ${\overline{\mathit{y}}}_{\mathit{i}}$为真实值的平均值;k为训练集或测试集的样本数。
图8 准定常气动规律的物理先验模型的构建

Fig.8 Construction of the aerodynamic prior model

FNN以姿态角θ和速度v作为输入,输出准定常阻力系数Cd,其结构如图8(b)所示。激活函数选用tanh函数,该函数的输出以零为中心,有助于缓解梯度更新时的偏置偏移,使下一层的学习更稳定;同时其梯度幅度比Sigmoid函数更大,在一定程度上能减轻梯度消失问题。tanh函数的表达式如下:
tanh(x)= $\frac{{\mathit{e}}^{\mathit{x}}-{\mathit{e}}^{-\mathit{x}}}{{\mathit{e}}^{\mathit{x}}+{\mathit{e}}^{-\mathit{x}}}$
FNN和SVR的预测值与真实值散点如图8(c)所示,FNN的预测值与真实值基本沿对角线分布,拟合效果较为理想;相比之下,SVR的预测结果离散程度较大,部分样本点明显偏离理想拟合直线。FNN和SVR的残差分布如图8(d)所示,FNN的残差整体围绕零值均匀分布,波动范围较小,表明模型具有较好的稳定性和泛化能力;而SVR的残差分布较为分散。此外,SVR的均方误差为18.3323,而FNN仅为4.2200,显著低于SVR;同时,FNN的决定系数(0.9871)也明显高于SVR(0.9439)。这表明,在当前数据规模和特征条件下,FNN能够更有效地学习θ、v与Cd之间的复杂非线性关系。因此,选用FNN构建先验模型:NNbase:(v,θ)→Cd,如图8(e)所示。可以看出,随着姿态角θ的增大,阻力系数Cd单调增大;随着速度v的增大,Cd先增大后减小。此处构建的物理先验模型是基于数值仿真得到的准定常状态下的仿真,用于表征准定常气动规律。然而,破片在实际飞行过程中处于非定常流场,姿态变化复杂。因此,下一步将采用PINN输出修正因子,对物理先验模型进行修正,以实现破片阻力系数的精确预测。

3 融合物理先验的PINN构建

在准定常气动先验模型的基础上,本节面向实际飞行中的非定常气动效应,构建融合物理约束的物理信息神经网络模型。通过引入时变修正因子,将复杂气动影响统一表征,以实现对阻力系数时变特性的建模。同时设计联合损失函数与训练策略,以提升模型在小样本条件下的稳定性与物理合理性。

3.1 非定常效应的修正机制

在破片飞行过程中,除了空气阻力外,还会受到多种复杂效应影响,这些效应难以通过简单解析精确描述,但会共同作用于破片的运动特性[3,6-7]。因此,本文引入随时间变化的修正函数kC(t)将复杂气动效应统一表征为时变函数,从而对准定常模型进行校正:
CX(t)=kC(t)×Cd(v(t),θ(t))
式中,Cd(v(t),θ(t))为先验模型NNbase预测的准定常阻力系数;kC(t)为PINN输出的非定常修正因子,为保证物理合理性,对其取正值约束。不同于传统方法直接对CX进行学习,本文将准定常气动模型作为先验模型;在此基础上,结合动力学方程构造物理约束损失,从而形成带先验结构的PINN。该处理并未削弱物理约束的作用,而是通过先验模型缩小解空间,使PINN主要关注非定常修正因子的学习,从而提高训练稳定性并降低对数据规模的依赖。
基于上述思想构建PINN,其结构如图9所示。PINN的输入为破片初始速度v0与飞行时间t,输出包括速度v(t)、姿态角θ(t)以及非定常修正因子kC(t)。其中,准定常气动先验模型NNbase在训练过程中保持固定,不参与参数更新,仅用于提供速度-姿态条件下的准定常阻力系数。训练过程中,首先将试验测得的离散速度数据与对应时间输入主网络,网络输出速度v(t)、姿态角θ(t)及修正因子kC(t)。随后,将预测得到的v(t)与θ(t)输入先验模型NNbase,得到准定常阻力系数Cd(v(t),θ(t))。进一步结合修正因子kC(t),得到最终非定常空气阻力系数。
图9 物理信息神经网络的结构

Fig.9 Structure of the physics-informed neural network

在得到空气阻力系数后,结合牛顿第二定律建立动力学残差,并构造联合损失函数。损失函数由数据损失、物理一致性损失以及正则化损失三部分组成。其中,数据损失用于约束预测速度与试验速度之间的偏差;物理一致性损失用于保证预测结果满足动力学规律;正则化损失用于抑制修正因子的非物理振荡,提高模型稳定性。

3.2 损失函数的确定

主网络输入为破片初始速度v0与破片发射后的飞行时间t,输出v(t)、θ(t)、kC(t)。在此过程中,先验模型NNbase不再变化,从而降低学习难度并提高模型稳定性。损失函数定义为
L=λdata×Ldata+λphysics×Lphysics+λsmooth×Lsmooth
数据损失Ldata表征预测速度与试验速度之间的差异:
${\mathit{L}}_{\mathit{d}\mathit{a}\mathit{t}\mathit{a}}=\frac{1}{\mathit{N}}\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{N}}\frac{1}{{\mathit{n}}_{\mathit{k}}}\sum _{\mathit{i}=1}^{{\mathit{n}}_{\mathit{k}}}\left({\hat{\mathit{v}}}_{\mathit{k}}\right({\mathit{t}}_{\mathit{i}})-{\mathit{v}}_{\mathit{k}}({\mathit{t}}_{\mathit{i}}{\left)\right)}^{2}$
式中,N试验次数,nk为第k次试验的数据点数, ${\hat{\mathit{v}}}_{\mathit{k}}$(ti)和vk(ti)分别表示第k次试验在ti时刻的预测速度和实际速度。
物理一致性损失Lphysics确保模型不仅在数据点上拟合良好,而且符合物理规律:
${\mathit{L}}_{\mathit{p}\mathit{h}\mathit{y}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{c}\mathit{s}}=\frac{1}{\mathit{N}}\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{N}}\frac{1}{{\mathit{n}}_{\mathit{k}}}\sum _{\mathit{i}=1}^{{\mathit{n}}_{\mathit{k}}}{\left(\mathit{m}\frac{\mathit{d}\hat{\mathit{v}}}{\mathit{d}\mathit{t}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)+\frac{{\hat{\mathit{C}}}_{\mathit{X}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)\mathit{A}\mathit{\rho }{\hat{\mathit{v}}}^{2}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)}{2}\right)}^{2}$
式中, ${\hat{\mathit{C}}}_{\mathit{X}}$(ti)为预测的非定常阻力系数:
${\hat{\mathit{C}}}_{\mathit{X}}$(ti)=kC(ti)×NNbase($\hat{\mathit{v}}$(ti), $\hat{\mathit{\theta }}$(ti))
正则化损失Lsmooth避免kC(t)出现不合理的震荡:
${\mathit{L}}_{\mathit{s}\mathit{m}\mathit{o}\mathit{o}\mathit{t}\mathit{h}}=\frac{1}{\mathit{N}}\sum _{\mathit{k}=1}^{\mathit{N}}\frac{1}{{\mathit{n}}_{\mathit{k}}}\sum _{\mathit{i}=1}^{{\mathit{n}}_{\mathit{k}}}{\left(\frac{\mathit{d}{\mathit{k}}_{\mathit{C}}}{\mathit{d}\mathit{t}}\left({\mathit{t}}_{\mathit{i}}\right)\right)}^{2}$
由于Ldata、Lphysics和Lsmooth的量纲及数值尺度存在显著差异,直接求和将导致优化困难。因此,根据训练过程中各损失项的收敛情况对权重λdata、λphysics、λsmooth进行调整,以提高模型稳定性。
在计算损失函数时,为避免不同变量量纲差异对模型训练结果产生影响,对所有输入变量进行了归一化处理。对于范围[xmin,xmax]内的变量x,归一化算子H(x)如下所示:
H(x)= $\frac{\mathit{x}-{\mathit{x}}_{\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}}}{{\mathit{x}}_{\mathit{m}\mathit{a}\mathit{x}}-{\mathit{x}}_{\mathit{m}\mathit{i}\mathit{n}}}$

3.3 优化算法与训练流程

3.3.1 神经网络实现细节

损失函数是神经网络参数的函数,因此神经网络需要迭代找到使损失函数最小的神经网络参数,采用的迭代方法是梯度下降算法,损失函数对神经网络参数的梯度通过链式求导法则获得。此处仍采用tanh函数作为激活函数,采用Adam优化算法对神经网络进行优化,通过最小化损失函数进行训练,对于第l层神经元j,第i层连接权重和偏置的自适应表示为
Δ ${\mathit{w}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{\left(\mathit{l}\right)}$(t+1)=-ηL $\frac{\partial \mathit{L}}{\partial {\mathit{w}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{\left(\mathit{l}\right)}}$+μΔ ${\mathit{w}}_{\mathit{i}\mathit{j}}^{\left(\mathit{l}\right)}$(t)
Δ ${\mathit{b}}_{\mathit{j}}^{\left(\mathit{l}\right)}$(t+1)=-ηL $\frac{\partial \mathit{L}}{\partial {\mathit{b}}_{\mathit{j}}^{\left(\mathit{l}\right)}}$+μΔ ${\mathit{b}}_{\mathit{j}}^{\left(\mathit{l}\right)}$(t)
其中,t是时间步长,η是控制训练速度的学习率,μ是防止解陷入局部最优的动量因子,L为损失函数。
Adam优化器能够结合梯度一阶矩与二阶矩信息,自适应调整学习率,从而提高网络收敛效率与训练稳定性。在向后传播基础上,以一定学习率不断更新模型的权重,使其梯度不断下降,损失函数的值不断减小。
本文所构建PINN的网络参数和训练过程中所使用的超参数如表3。
表3 PINN网络超参数

Table 3 Parameters of the physics-informed neural network

参数 值
隐藏层神经元数量 64,64,32
激活函数 tanh
权重初始化方法 Xavier
优化器 Adam
初始学习率 0.01
停止准则阈值 10-8
学习率衰减周期 1000
衰减因子 0.5
最大训练轮数 2000
物理一致损失权重 0.001
正则化权重 0.01
数据损失权重 0.01
本文所构建的PINN主要包含以下几个模块:
1)前向传播模块:计算网络输出。
2)反向传播模块:计算损失函数对各个参数的梯度。
3)训练循环模块:组织整个训练过程。每个训练轮次包含以下操作:对每组数据执行前向传播和损失计算;累加各组损失和梯度;更新网络参数和Cx值;检查收敛条件;调整学习率。训练过程中记录损失函数值和Cx估计值的变化,用于监控训练进度和分析收敛特性。

3.3.2 训练过程监控与调试

每一次迭代均包括前向传播、损失计算、反向传播以及参数更新四个步骤。随着训练进行,网络逐渐学习速度衰减规律与非定常气动修正特性,并最终实现损失函数的收敛。
训练过程中,每50轮记录一次训练损失和验证损失,绘制损失曲线监控收敛情况。同时记录Cx估计值的变化,观察其收敛趋势和稳定性。设置早停机制,如果连续200轮验证损失没有改善,则提前终止训练,防止过拟合。训练完成后,保存最优模型参数,包括神经网络权重和Cx估计值。训练好的模型可用于新数据的预测和评估。预测流程包括:加载训练好的模型参数;对新实验数据进行与训练数据相同的预处理;构建输入特征矩阵;执行神经网络前向传播计算迎风面积和阻力系数;结合物理方程和数值积分计算预测速度。

4 结果与讨论

为验证所提出方法的有效性与工程适用性,本节对模型的训练结果进行分析;选择预测精度和计算效率作为评估指标,与经验公式、数值仿真及无物理约束神经网络等方法对比分析;并进一步构建面向工程应用的等效阻力系数模型。

4.1 模型训练结果分析

训练过程的收敛特性能够反映模型的优化效率与稳定性。如图10(a)所示,训练损失在前约50轮内快速下降,随后进入缓慢收敛阶段并最终趋于稳定。收敛行为表明,模型在初期迅速捕捉到系统的主导动力学特征,而后期主要针对残余误差进行细化修正。整个训练过程中损失曲线平滑、无明显振荡,说明优化过程稳定,学习率与优化器参数设置合理。最终训练损失收敛至10-3量级,且验证损失与训练损失基本一致,表明模型未发生过拟合。
图10 训练收敛性分析

Fig.10 Convergence analysis of training

如图10(b)所示,模型预测的速度随时间变化趋势与实验数据高度一致,能够准确描述速度衰减过程的整体形态及变化幅度。基于模型输出θ(t)计算得到的迎风面积A变化规律:
A(t)=A0×sinθ(t)
式中,A0为标准型破片的轴截面积。如图10(c)所示为反推得到的迎风面积演化曲线。将其与图2(b)中由试验结果反推得到的迎风面积变化规律进行对比可以发现,两者在整体趋势上具有较好一致性,均表现为由小到大并逐渐趋于稳定的特征。该结果表明,尽管未显式引入相关物理约束,本模型仍能够通过对速度衰减过程的学习,间接捕捉到与姿态演化相关的气动特性,从侧面验证了所构建模型的物理合理性。图10(d)展示了空气阻力系数Cx的辨识过程。初始Cx根据经验公式设定,模型在训练初期即可快速收敛至试验值附近。图10(e)给出了Cx的相对误差,其绝对值始终控制在3%以内,且大部分时间误差低于0.25%,说明模型在参数估计方面具有较高精度与稳定性。

4.2 阻力系数与速度预测精度评估

为定量评估本文方法的优势,在5.98Ma和6.62Ma下,将其与三种传统方法进行对比:基于经验公式[27]、基于流体仿真[14]以及无物理约束的神经网络。其中,无物理约束的神经网络是在本文所提框架基础上,将物理一致性损失的权重λdata置为0,其他参数均不变。所得速度和空气阻力系数随时间的变化情况如图11所示。
图11 不同方法的预测效果分析

Fig.11 Analysis of prediction performances of different methods

将不同方法预测得到的空气阻力系数、速度的均方误差、相对误差汇总如表4所示,其中EMS为均方误差,ER为相对误差。在空气阻力系数预测精度方面,本文方法相对误差为0.078%(5.98Ma)和0.049%(6.62Ma),显著优于纯神经网络(0.130%(5.98Ma)和0.063%(6.62Ma))和经验公式(0.598%(5.98Ma)和1.670%(6.62Ma)),但是弱于流体仿真。在速度预测精度方面,本文方法的均方误差为19.63(5.98Ma)和9.33(6.62Ma),优于除流体仿真外的对比方法。计算效率方面,因需要优化更多参数,本方法在训练阶段耗时较长,但预测阶段效率与纯神经网络相当,且远高于流体仿真。
表4 不同方法的预测结果误差汇总

Table 4 Drag coefficient prediction errors of different methods

方法 预测时间 空气阻力系数预测误差 速度预测误差
5.98Ma 6.62Ma 5.98Ma 6.62Ma
EMS ER EMS ER EMS ER EMS ER
经验公式 < 0.1s 0.00655 0.598% 0.01909 1.670% 73.80 3.18% 57.36 2.82%
数值仿真 ~10h 0.00027 0.025% 0.00022 0.019% 9.63 0.41% 2.67 0.13%
神经网络 ~1s 0.00142 0.130% 0.00072 0.063% 32.49 1.40% 12.67 0.62%
物理信息神经网络 ~1s 0.00085 0.078% 0.00056 0.049% 19.63 0.85% 9.33 0.46%

注:EMS为均方误差,ER为相对误差

上述结果与各方法的原理有关。传统经验公式主要依赖实验统计规律建立阻力系数与速度之间的经验关系,其本质属于参数拟合模型,难以描述复杂非定常气动效应及姿态变化对阻力特性的影响,因此在不同工况下泛化能力有限。传统神经网络方法虽然具有较强的非线性拟合能力,但其训练过程完全依赖数据驱动,在样本数量有限或数据存在噪声时,容易出现过拟合现象,并可能产生违反动力学规律的预测结果。
与传统神经网络相比,本文所构建的PINN在损失函数中引入了基于牛顿运动方程的物理一致性约束,使网络训练不仅关注数据误差最小化,同时满足破片运动过程中的动力学规律。该约束能够有效缩小网络参数的可行解空间,使模型重点学习非定常修正部分,而非完全依赖数据直接拟合阻力系数。此外,传统神经网络仅基于离散测量数据进行学习,而本文方法进一步融合了准定常气动先验模型与动力学约束信息,实现了数据驱动与物理机理的协同建模。即使在小样本条件下,PINN仍能够保持较好的泛化能力。因此,本文方法在预测精度方面均优于无物理约束神经网络。
在训练效率方面,PINN由于在训练过程中需要同时计算数据损失与动力学物理残差,因此单轮迭代计算量高于传统神经网络,训练时间相应有所增加。本文所采用的无物理约束神经网络与PINN使用相同网络结构、训练数据及优化器参数,仅移除物理一致性损失项,从而保证不同方法之间比较的公平性。在Intel Core Ultra 7 255HX处理器与NVIDIA RTX 5060 GPU硬件环境下,传统神经网络训练时间约为15min,而PINN训练时间约为20min。虽然PINN训练耗时有所增加,但其空气阻力系数预测误差较传统神经网络降低约40%,速度预测误差也得到明显改善,表明物理约束的引入有效提高了模型预测精度与稳定性。此外,两种方法在预测阶段均仅需进行一次前向传播计算,单次预测时间均约为1 s,远低于三维流体数值仿真数小时级别的计算耗时。因此,本文方法在保持较高预测效率的同时,实现了预测精度与物理一致性的提升。
综合来看,数值仿真需要对整个流场进行高精度离散求解,并迭代计算复杂流动结构,因此计算成本较高;而本文方法通过离线学习方式,将复杂气动规律隐含编码至神经网络参数中,在预测阶段无需重复求解流场控制方程,仅需进行网络前向传播即可快速获得结果。因此,本文方法在保持较高预测精度的同时,更适用于工程场景中的快速评估与多工况分析。

4.3 面向工程计算的等效阻力系数模型构建

为获得工程可用的阻力系数-速度关系,基于PINN预测结果,对不同初始速度下得到的多组飞行数据进行统一处理。设置不同速度工况进行PINN预测,对于每一组工况,PINN模型输出速度与阻力系数随时间变化的数据{v(t),CX(t)}。将所有工况的数据汇总后,统一转换为以速度为自变量的数据对(v,CX)。将待求解的速度范围做离散划分,得到一系列速度节点vj。对于每个速度节点,从全部数据中选取速度落在邻域区间[vj-Δv,vj+Δv]内的样本点,并对对应的阻力系数取平均值,得到该速度处的等效阻力系数为
${\mathit{C}}_{\mathit{e}\mathit{f}\mathit{f}}\left({\mathit{v}}_{\mathit{j}}\right)=\frac{1}{{\mathit{n}}_{\mathit{j}}}\sum _{\mathit{i}=1}^{{\mathit{n}}_{\mathit{j}}}{\mathit{C}}_{\mathit{X}}\left(\mathit{i}\right)$
其中,nj为该速度邻域内的数据点数量。对上述离散点(vj,Ceff(vj))进行插值、平滑处理,即可得到连续的阻力系数-速度关系Ceff(v),用于后续工程计算。图12为基于本方法所得空气阻力系数随速度变化的关系与文献[27]的比较。
图12 预测空气阻力系数结果

Fig.12 Predicted results of aerodynamic drag coefficient

由图12可以看出,本文方法得到的空气阻力系数变化趋势与文献[27]总体一致,均能够反映阻力系数随速度变化的基本规律。但在较低马赫数区域,两者之间仍存在一定差异。造成该差异的原因主要包括以下几个方面。首先,本文构建的等效阻力系数Ceff(v)来源于PINN对多组非定常飞行过程预测结果的统计平均,而文献[27]主要基于经验公式进行拟合,两者对姿态振荡及非定常气动效应的处理方式存在差异。因此,在低速阶段姿态振荡逐渐增强、流场非定常性更加明显时,等效平均过程会引入一定偏差。其次,本文试验与训练数据主要集中于高超声速飞行阶段,低马赫数区域样本数量相对较少,导致模型在低速区的泛化能力有所下降。此外,在低速区域,流体的可压缩性效应减弱,而本文所建立的准定常先验模型采用SST k-ω湍流模型,并基于准定常假设开展数值仿真,难以完全描述低速阶段复杂瞬态流动特征,因此会进一步导致预测结果与经验模型之间产生一定差异。
尽管如此,本文方法在工程重点关注的高超声速区间内仍与文献结果保持较好一致,能够进一步反映非定常气动效应对阻力系数演化的影响。因此,本文构建的等效阻力系数模型仍可满足高超声速破片工程计算需求。

5 结论

针对弹药安全性评价过程中高超声速破片时变阻力系数的预测问题,本方法将其解耦为准定常先验建模与非定常效应修正,通过物理约束的嵌入以及多源数据的融合,在保证精度的同时提高了预测效率。主要结论如下:
1)物理约束的嵌入提高了稀疏数据下的预测可靠性。将牛顿运动定律以硬约束形式融入神经网络损失函数,使模型在速度测量稀疏情况下仍能保持可靠预测。在5.98Ma和6.62Ma下,本方法得到的阻力系数预测误差分别为0.078%和0.049%,优于经验公式和纯神经网络,并达到与数值仿真相当的精度水平。
2)多源数据联合训练提高了预测的准确性。空气动力学仿真提供了“速度-姿态-准定常阻力系数”先验模型,试验数据包含速度响应特征并隐含姿态演化信息。通过利用不同信息源之间的互补性,在5.98Ma和6.62Ma下,本方法的速度预测误差分别仅为0.85%和0.46%,显著优于经验公式和无物理约束神经网络,且与高成本数值仿真的精度接近。
3)综合损失函数统一建模兼顾精度、合理性与复杂度。本方法预测精度上显著优于经验公式与无约束神经网络,而预测阶段计算效率(约1秒)与纯神经网络相当,远高于三维流体仿真(约10小时),在精度与效率之间取得了最佳平衡。

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