0 引言
为了解决该问题,文中在深入分析无人机横侧向运动控制需求的基础上,提出了一种满足多种性能指标约束的控制器设计方法。
1 无人机横侧向运动及控制需求分析
无人机横侧向运动主要包括侧滑角β、滚转角速率p、偏转角速率r及滚转角φ。运动方程如下:
式中:m为无人机的重量;v0为无人机真空速;δa为副翼;δr为方向舵;Ix、Iz、Ixz为无人机转动惯量;其它为无人机的气动参数。
在无人机的横侧向运动中,侧滑角是需要消除掉的运动状态。从式(1)中的第2、第3式可知,侧滑角对无人机的滚转角和偏航角有着巨大的影响。因此,侧滑角的存在会对无人机的气动特性和稳定性能产生极大的影响,严重影响无人机的飞行性能和飞行品质。滚转角是需要快速、精确控制运动状态,这对无人机的稳定和按航迹自主飞行至关重要。另外,从式(1)中的第1式可知,无人机的滚转角会对侧滑角产生耦合影响。如何在滚转操纵时防止侧滑角的出现是无人机横侧向控制的难点。由于无人机自主飞行的特性,因此对系统的稳定性有着更高的要求。同时,各种扰动和外界干扰,会对无人机的运动产生影响,从而影响飞行稳定和航迹跟踪精度。所以,对控制器的鲁棒性也有较高的要求。
因此,对于无人机的横侧向控制来说,对控制器的要求包括稳定性、快速响应、稳态误差小,以及较强的鲁棒性。这些性能指标并不强调每一项最优,但是要求所有指标都满足控制需求。
2 性能指标的数学表达
无人机横侧向运动模型可表示成如下形式:
式中:x= ${\left[\begin{array}{llll}\beta & p& r& \phi \end{array}\right]}^{T}$ 分别表示侧滑角、滚转角速率、偏转角速率以及滚转角;u= ${\left[\begin{array}{ll}{\delta }_{a}& {\delta }_{r}\end{array}\right]}^{T}$ 分别表示副翼和方向舵。
在满足各种指标需求的控制理论思想指导下,对于带有控制器的闭环系统,建立满足各种系统性能指标需求的约束条件。以原系统式(2)为例,其带有状态反馈的闭环系统为:
式中:K为状态反馈控制器参数。
该闭环控制系统各项指标以及数学约束如下:
1)极点指标
该指标主要体现系统的稳定性要求和快速响应要求。该指标约束要求闭环系统的极点位于左半复平面区域Ω={s∈C:Re(s)≤-α}(α>0)。该指标约束可用方程表示为[10]:
2)方差指标
方差指标是系统无稳态误差需求的体现。在数学上,该指标为闭环系统的稳态协方差矩阵E满足diag(E)≤σ2。该指标约束可用方程表示为:
3)H∞指标
H∞指标是系统鲁棒性的要求。在数学上,该指标是指对于给定的正数γ,闭环系统的传递函数矩阵H(s)满足‖H(s)‖≤γ。该指标约束可用方程表示为:
设计满足各种需求的控制器,就是求解式(4)~式(6)所确定的线性不等式方程组。
3 基于增广系统的控制器设计
3.1 控制器设计
无人机横侧向线性连续时不变系统可表示为:
式中:ω为随机扰动,是均值为零的高斯白噪声,其强度为w>0;A、B、C、D为适维矩阵。
对于式(7)所确定的系统,在控制输入点之前引入积分环节构建增广系统可得:
式中:
设增广系统的状态反馈为:
uz=Kz
令
K= $\left[\begin{array}{ll}{K}_{1}& {K}_{2}\end{array}\right]$
则可得原系统(7)的PI形式的控制器:
式中:K3=K2(BTB)-1BT,K4=K1-K2(BTB)-1BTA。
通过式(8)所建立的增广系统,和第2节所确立的性能约束条件,通过求解多维线性矩阵不等式组,则可以得到系统(2)类似传统PI控制器的满足多性能要求的控制器。
3.2 控制器存在性条件
从上节的设计过程知道,无人机横侧向多性能控制器设计最后归结为求解3个线性矩阵不等式。但是,这里面临着一个问题:是否存在这样的反馈控制参数K,使得闭环系统满足这些线性矩阵不等式的约束?
为了回答该问题,文中做如下证明。令X=A+BK为要求解的矩阵,对以上指标约束方程在形式上做简单变形,可以表示成以下统一的形式:
XG+GTXT+Q<0
下面以确定该线性矩阵不等式方程的可解性条件,从而判断两种控制器可解空间的大小。为了给出线性矩阵不等式(12)具有可行解的条件,先给出下面的投影定理。
EXF+(EXF)T+ $\stackrel{-}{Q}$ <0
可行的充分必要条件是E⊥ $\stackrel{-}{Q}$ E⊥T<0,FT⊥ $\stackrel{-}{Q}$ FT⊥T<0。E⊥是矩阵E的直交互补空间。
对式(13)中的矩阵E和F进行满秩分解,可表示为E=ELER,F=FLFR。令Y=ERXFL,则Y满足ELYFR+(ELYFR)T+ $\stackrel{-}{Q}$ <0。
对式(13)左乘 $\left[\begin{array}{l}{E}_{L}^{+}\\ {E}_{L}^{\perp }\end{array}\right]$ ,右乘 ${\left[\begin{array}{l}{E}_{L}^{+}\\ {E}_{L}^{\perp }\end{array}\right]}^{T}$ ,式中 ${E}_{L}^{+}$ 为EL的Moore-Penrose逆。则式(13)等价于:
由Schur补引理,式(14)等价于:
YWYT+YG+GTYT+ $\stackrel{-}{Q}$ <0
其中:W=-FR ${E}_{L}^{{\perp }^{T}}$ ( ${E}_{L}^{\perp }\stackrel{-}{Q}{E}_{L}^{{\perp }^{T}}$ )-1 ${E}_{L}^{\perp }{{F}^{T}}_{R}$ ,
G=FREL^{+T}-FR ${E}_{L}^{{\perp }^{T}}$ ( ${E}_{L}^{\perp }\stackrel{-}{Q}{E}_{L}^{{\perp }^{T}}$ )-1 ${E}_{L}^{\perp }\stackrel{-}{Q}{F}_{R}^{{+}^{T}}$ ,
Q= ${E}_{L}^{+}\stackrel{-}{Q}{E}_{L}^{{+}^{T}}$ - ${E}_{L}^{+}\stackrel{-}{Q}{E}_{L}^{{\perp }^{T}}$ ( ${E}_{L}^{\perp }\stackrel{-}{Q}{E}_{L}^{{\perp }^{T}}$ )-1 ${E}_{L}^{\perp }\stackrel{-}{Q}{E}_{L}^{{+}^{T}}$ 。
当式(15a)成立时,有W≥0。当且仅当FR ${E}_{L}^{{\perp }^{T}}$ =0时,W=0 ;当W=0时,式(15b)退化为式(12)XG+GTXT+Q<0。
由投影定理可知,式(12)具有可行解的条件是:
GT⊥QGT⊥T>0
因此,可以得到如下结论:
定理1:线性矩阵不等式XG+GTXT+Q<0可行的充分必要条件为:
GT⊥QGT⊥T>0,XG+GTXT+Q<0
4 和PID控制器比较
对于文中所得到满足多种性能指标要求的控制器,对原系统来说,实质上是一种类似PI控制器的全状态反馈控制器。那么,该控制器在工程实现上是否存在问题呢?和传统的PID控制器相比又有什么优缺点呢?下面将解决该问题。
4.1 两种控制器性能及结构分析
基于积分环节构建增广系统构建的控制器如式(11)所示。对原系统来说,该控制器实质上是一种全状态反馈控制器。下面分析该控制器的积分部分。
一个系统,在所有激励作用下可表示为:
对上述系统表达式两边积分可得:
对于全状态反馈控制系统来说,系统输入可表示为:
U=LX
把式(20)代入式(19)可得:
当矩阵(A-BL)为可逆矩阵时,则有:
把式(20)代入式(18)式可得:
若系统的比例积分控制器表示为:
把式(22)代入式(24)可得:
U=[K3+K4(A-BL)-1]X
若系统的PID控制器表示为:
把式(22)和式(23)代入式(26)可得:
U=[K3+K4(A-BL)-1+K5(A+BL)]X
根据以上分析可知,可得如下结论:
定理2 在系统的状态全部参与控制反馈的情况下,当L=K3+K4(A-BL)-1所确定的矩阵L存在时,全状态反馈控制器与比例积分(PI)控制器等价。当L=K3+K4(A-BL)-1+K5(A+BL)所确定的矩阵L存在时,全状态反馈控制器与PID控制器等价。
4.2 文中控制器的优点
工程实践中,在控制性能相当的情况下,文中控制器在结构和工程应用上具有的优势如下:
首先,设计得到的控制器和传统PID控制器相似,具有结构简单的优点。另外,由定理2可知,该控制器在满足一定条件下,和传统PID控制等价。但是,由于采用了全状态反馈控制的形式,相当于对系统的每一状态都进行了控制。因此,相较于只对输出状态进行控制的传统PID控制器来说,可以获得更好的控制效果。
第二,减少了控制对微分和积分信号的依赖,方便工程实现。以飞行控制系统为例,在当前技术条件下可以直接测量得到的反馈信号依然有限。迎角、侧滑角等信号的测量误差较大,测量仪器安装困难且传感器成本较大;积分和微分等高阶信号直接测量是十分困难甚至是不可能的。因此,减少对微分和积分信号依赖的控制器,更利于工程实现。
第三,提高系统的可靠性。全状态反馈控制器可以不必测量系统的微分和积分信号,减少了系统大测量和电子器件。在器件故障率相同的条件下,减少器件的使用数量,也就提高了系统的可靠性。
第四,经济性更好。测量敏感器件的花销占据了控制系统成本的很大一部分,全状态反馈控制器依赖比较少的反馈信号,降低了系统中测量敏感器件的数量,从而降低了控制系统的成本。
5 仿真验证
某飞机的飞行状态为:飞行速度v0=100 m/s,H=5 000 m。侧向运动方程为:
A= $\left[\begin{array}{llll}-0.070 9& 0.096 2& 1& 0.046 53\\ -3.416 1& -0.704 6& -0.185 7& 0\\ -0.652 9& 0.028 72& -0.146 7& 0\\ 0& 1& -0.096 49& 0\end{array}\right]$
B= $\left[\begin{array}{ll}0& -0.070 6\\ -0.953 5& -1.816 9\\ 0.077 93& -2.933 2\\ 0& 0\end{array}\right]$
以极点位于(-6,0)为圆心,2为半径的圆形区域,方差指标σ≤10为设计条件,采用满足多性能要求的控制器设计方法得到的控制器参数如下:
D= $\left[\begin{array}{lllll}-0.020 6& -0.322& -0.029 1& -7.210 1& -0.186 5\\ -0.342 3& 1.963 2& 0.148 9& 35.851 3& -0.694 4\end{array}\right]$
P0= $\left[\begin{array}{llllll}7.544 5& -10.984 2& -26.471 7& 2.602 9& 7.716 3& -28.417 9\\ -10.984 2& 59.037 3& 51.955 8& -13.266 8& 75.664 4& 80.134 7\\ -26.471 7& 51.955 8& 109.501 9& -10.281 6& -29.153 7& 143.883 8\\ 2.602 9& -13.266 8& -10.281 6& 3.507 8& -16.612 7& -13.374 9\\ 7.716 3& 75.664 4& -29.153 7& -16.612 7& 329.361 4& -20.751 8\\ -28.417 9& 80.134 7& 143.883 8& -13.374 9& -20.751 8& 233.574 7\end{array}\right]$
K= $\left[\begin{array}{llllll}-82.381 5& 50.574 8& -39.925 0& 92.994 6& -12.726 1& 1.721 4\\ 25.868 5& 4.140 1& 18.694 7& 7.975 2& -0.223 7& -14.077 7\end{array}\right]$
K3= $\left[\begin{array}{llll}-0.169 3& 12.658 3& -8.423 6& 0\\ 0.102 5& 0.596 5& 4.427 5& 0\end{array}\right]$
K4= $\left[\begin{array}{llll}-44.651 4& 59.752 0& -38.640 8& 93.002 5\\ 30.804 1& 4.423 4& 19.352 4& 7.970 4\end{array}\right]$
采用设计得到的控制器,下面来验证控制器的控制效果。首先来看控制器对侧滑角的消除能力。当侧滑角为5°时,无人机的侧滑角响应如图1所示。
从图1可知,控制器仅用了2 s就消除了无人机的侧滑角,响应迅速。而且,侧滑角收敛到0°状态,没有稳态误差的存在。说明文中所设计的控制器具有快速消除侧滑角的能力。
接下来看控制器对滚转角通道的快速响应能力。给定5°滚转角指令,无人机的滚转角响应如图2所示。
从图2可知,无人机的滚转角仅用1.8 s就快速跟踪了滚转角输入指令。而且响应过程无超调、无稳态误差。
从无人机侧滑角消除和滚转角响应仿真结果可知,所设计的控制器具有良好的性能,满足设计要求。证明了文中方法所设计的控制器是有效的。
6 结论
针对无人机横侧向控制的具体问题和工程上对控制器的实际需求,提出了一种满足多性能需求要求的控制器设计方法。工程所需要的控制器,并不追求单一性能指标的最优,而是各项性能指标都满足需求。因此,文中以稳定性、快速响应、稳态误差、鲁棒性为设计性能指标要求,设计一种满足多种性能要求的控制器。文提出了该控制器的设计步骤,证明了该控制器存在的条件,以及该控制器和传统PID控制器对比存在的优点。
所设计控制器的优点包括:控制效果好;减少了控制器对微分和积分信号的依赖;提高系统的可靠性;经济性更好。最后,通过对无人机横侧向运动控制器的设计和仿真验证,证明了该控制器满足各种性能指标,该方法是有效的。