Optimal Trajectory Design and Tracking for Rockets Considering Whole Phase Multiple Constraints

LI Jiaxing; WEN Qiuqiu; XIA Qunli

doi:10.15892/j.cnki.djzdxb.2019.05.008

Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance >

2019 , Vol. 39 >Issue 5: 31 - 34

DOI: https://doi.org/10.15892/j.cnki.djzdxb.2019.05.008

Optimal Trajectory Design and Tracking for Rockets Considering Whole Phase Multiple Constraints

LI Jiaxing ,
WEN Qiuqiu ,
XIA Qunli

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School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China

Received date: 2018-07-13

Online published: 2025-05-12

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Abstract

Aiming at increasing the range of Guided Rockets considering whole phase multiple constraints,an optimal trajectory design and guidance method was proposed. The optimization model of rockets was established,considering the range as the optimization index,an optimal trajectory design method was proposed. Designing a LQR-based approach for trajectory guidance method,the multivariable tracking of optimal trajectory was achieved containing height,velocity and flight path angle. Simulations were made,which demonstrate that the trajectory range significantly increased,the optimal trajectory is tracked exactly by the proposed guidance law.

Key words： rockets; optimal trajectory design; multivariable tracking

Cite this article

LI Jiaxing , WEN Qiuqiu , XIA Qunli . Optimal Trajectory Design and Tracking for Rockets Considering Whole Phase Multiple Constraints[J]. Journal of Projectiles, Rockets, Missiles and Guidance, 2019 , 39(5) : 31 -34 . DOI: 10.15892/j.cnki.djzdxb.2019.05.008

0 引言

随着对远程精确打击火力的需求日益增加,提高火箭弹的射程和精确打击能力已经成为火箭弹研究的重要方向^[1]。最优轨迹设计能够在多约束条件下,实现火箭弹射程的提高^[2]。伪谱法是解决最优控制问题的最有效果的方法之一^[3]。通过伪谱法得到最优弹道,再设计制导律实现最优轨迹的跟踪,使火箭弹能够在复杂环境下进行远程精确打击,已有学者在相关技术方面进行了研究。汤善同等针对远程防空导弹,研究了中制导段的弹道优化及制导问题^[4];夏红伟等研究了飞行器再入段的弹道优化与伪谱法的反馈制导方法^[5];张大元等针对防空导弹弹道跟踪问题,基于线性二次型调节器(LQR)理论设计了弹道跟踪制导律^[6]。

文中针对火箭弹,以射程最远为性能指标,在全程多约束条件下进行了最优轨迹设计,然后基于线性二次型调节器设计跟踪制导律,实现了最优轨迹的多变量跟踪,最后通过仿真进行了验证。

1 制导火箭弹运动模型的建立

文中的研究对象为一种正常式布局的火箭弹,其飞行过程分为主动段和被动段,工作及控制过程如下:在接收到点火指令后,火箭发动机工作,火箭弹以固定的射角发射,进入到具有发动机推力作用的主动段。火箭发动机工作结束后,火箭弹进入被动段,做无动力飞行,在制导控制系统作用下,制导指令转换为舵指令,通过舵片偏转使火箭弹命中目标。为研究方便,假设地球表面为平面,不考虑地球自转,将舵片偏转的作用等效成攻角,建立火箭弹纵向运动方程组:

(1)

V ˙ = P cos α − D m − g sin θ θ ˙ = 1 V P sin α + L m − g cos θ x ˙ = V cos θ y ˙ = V sin θ

式中:

V

为火箭弹飞行速度,

θ

为弹道倾角,

x

为射程,

y

为高度,

P

为发动机推力,

α

为飞行攻角,

D

、

L

分别为空气阻力和升力,其计算方法为

D = c x ρ V 2 s / 2

L = c y ρ V 2 s / 2

s

为弹体特征面积,

ρ

为大气密度,其数值可通过参考文献[7]获得。

c x

和

c y

为阻力系数和升力系数,它们是攻角和马赫数的函数,可以通过下式计算得到:

(2)

c x = f M a, α c y = g M a, α

式中:

f (M a, α)

和

g (M a, α)

是自变量为马赫数和攻角的拟合函数。

2 优化模型的建立及求解

2.1 优化模型的建立

为了求解最优控制问题,应先建立优化模型^[8]。

1)状态方程:即为式(1),其中

V

、

θ

、

x

和

y

为状态变量,攻角

α

为控制变量。

2)初始条件:V=V₀、θ=θ₀、x=x₀及y=y₀

3)边界条件:需满足下列边界条件:

(3)

V min ≤ V ≤ V max θ min ≤ θ ≤ θ max x min ≤ x ≤ x max y min ≤ y ≤ y max

4)控制约束:

α m i n ≤ α ≤ α m a x

5)终端约束:V=V_f、θ=θ_f、x=x_f及y=y_f

6)性能指标函数:

(4)

J = Φ x t 0, x t f, t 0, t f + ∫ t 0 t f g x t, u t, t d t

式中:

x (t) ∈ R n

为状态变量,

u (t) ∈ R m

为控制变量,

t 0

为初始时间,t_f为终端时间,Φ(x)为Mayer型代价函数;

g (x)

为Lagrange型代价函数。

2.2 优化问题求解

将优化问题看成最优控制问题,并寻找控制变量,使得具有一般性的Bolza型性能指标函数即式(4)最小,并满足以下约束:

1)系统动力学微分方程约束

(5)

x ˙ t = f x t, u t, t t ∈ t 0, t f

2)终端边界约束

(6)

φ x t 0, x t f, t 0, t f = 0

3)不等式路径约束

(7)

C x t, u t, t ≤ 0

对最优控制问题采用伪谱法将Bolza型问题转化为非线性规划问题。首先将全程时间区间

[t 0, t f]

划分为

K

个网格子区间

[t k - 1, t k]

k = 1, …, K

。将每个网格子区间的时域

t ∈ [t k - 1, t k]

转变为

τ ∈ [- 1, + 1]

,即:

(8)

τ = 2 t - (t k + t k - 1) t k - t k - 1

然后将每个网格子区间

[t k - 1, t k]

内的状态变量和控制变量离散化,并构建多项式来逼近状态变量和控制变量,得到近似方程式:

状态变量

x (k) (τ)

可近似为:

(9)

x k τ ≈ X k τ = ∑ j = 0 N k X j k L j k τ

控制变量

u (k) (τ)

可以近似为:

(10)

u k τ ≈ U k τ = ∑ i = 1 N k X i k L i k τ

式中:

N k

为区间

[t k - 1, t k]

内的配点数,

L i (τ)

及

L j (τ)

Lagrange插值多项式,即:

(11)

L i τ = ∏ j = 1 j ≠ i N k + 1 τ − τ j τ i − τ j, i = 1, …, N k + 1

对近似状态方程式(9)求微分,将

N k

个配点上的动力学微分方程约束变为代数方程约束,即:

(12)

∑ j = 0 N k X j k D i j k − t k − t k − 1 2 f i k = 0

式中:

D i j k

为第

k

个子区间的微分矩阵,表达式为:

D i j k = L ˙ j k τ i k

是

N k × (N k + 1)

的矩阵,k=1,…,K;i=1,…,N_k;

j = 1, …, N k + 1

。

每个子区间内的

N k

个配点上的路径不等式约束为:

(13)

t k - t k - 1 2 C (k) (X i (k), U i (k)) ≤ 0

式中,

i = 1, …, N k

;

k = 1, …, K

。

边界条件为:

(14)

φ (x 1 (1), t 0, x N k + 1 K, t K) = 0

将Bolza型性能指标函数式(4)中的积分项近似为:

(15)

j ≈ φ X 11, t 0, X N k + 1 K, t K + ∑ k = 1 K ∑ j = 1 N k t k − t k − 1 2 w j k g j k

式中:

w j (k)

为第k个区间内的legendre-gauss-radau权重,具体形式为:

(16)

w 0 (k) = 2 (N k + 1) 2 w j (k) = 2 (N k + 1) 2 1 - τ j (k) L N k (τ j (k)) 2

通过上述方法,求得每段配点处的状态变量和控制变量,在满足各种约束的情况下使得性能目标函数最小。这种非线性规划问题能够通过序列二次规划算法(SQP)进行求解。

3 基于LQR的跟踪制导律设计

上一节研究了火箭弹最优轨迹设计方法,求得了全程多约束条件下的最优弹道。但是火箭弹在飞行过程中受多种偏差影响,文中采用线性二次型调节控制方法,设计闭环制导律对最优弹道进行跟踪,首先要将运动学方程线性化。

3.1 线性化模型

小扰动假设条件下,以时间为自变量,选取

y

、

V

和

θ

作为反馈跟踪量进行设计,即:

(17)

y ˙ = V sin θ V ˙ = P cos α − D m − g sin θ θ ˙ = 1 V P sin α + L m − g cos θ

将模型(17)转换成状态空间的形式,并在最优轨迹附近进行小偏差线性化得到

δ x · = A δ x + B δ u

,即:

(18)

δ y ˙ δ V ˙ δ θ ˙ = A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 δ y δ V δ θ + B 1 B 2 B 3 δ α

其中,控制偏差δu=δα=α-α_ref,状态偏差, A和B是由最优轨迹特征点微分方程组的偏导数项组成的时变矩阵,其表达式为:

A = 0 sin θ V cos θ − D y m − D V m − g cos θ L y m V L V m V − L + P sin α m V 2 + g cos θ V 2 g sin θ V

B = 0 − P sin α − D α m P cos α + L α m V T

其中,D_y、D_V、L_y、L_V、D_α、L_α分别为阻力、升力加速度的偏导数,有:

D y = ∂ D ∂ y = D C D, y C D + D ρ y ρ, D V = ∂ D ∂ V = D C D, V C D + 2 D V L y = ∂ L ∂ y = L C L, y C L + L ρ y ρ, L V = ∂ L ∂ V = L C L, V C L + 2 L V D α = ∂ D ∂ α = D C D, α C D, L α = ∂ L ∂ α = L C L, α C L

其中气动力系数导数由以下计算方法得到,即:

C D, y = ∂ C D ∂ y = ∂ C D ∂ M a ∂ M a ∂ a ∂ a ∂ y, C D, V = ∂ C D ∂ V = ∂ C D ∂ M a ∂ M a ∂ V C L, V = ∂ C L ∂ V = ∂ C L ∂ M a ∂ M a ∂ V, C L, y = ∂ C L ∂ y = ∂ C L ∂ M a ∂ M a ∂ a ∂ a ∂ y C D, α = ∂ C D ∂ α, C L, α = ∂ C L ∂ α, ρ y = ∂ ρ ∂ y = − ρ h s

3.2 基于LQR的跟踪制导律

对于上述线性系统

δ x · = A δ x + B δ u

,求解控制量δu,使δx=0就可实现对最优轨迹的精确跟踪,最优控制性能指标函数为:

(19)

J = 12 ∫ t 0 t f [δ x T (t) Q δ x (t) + δ u T (t) R δ u (t)] d t

式中:Q和R为状态向量和控制向量的加权矩阵。为了让性能指标J的值最小,控制量应符合^[9]:

(20)u^*(t)=-R^-1(t)B^T(t)P(t)x(t)=-K(t)x(t)

则:

(21)δu=δα=-R^-1B^TPδx(t)=-Kδx

式中:P是Riccati方程PA+A^TP-PBR^-1B^TP+Q=0的解,K=(K₁,K₂,K₃)为增益向量。进一步求得实际控制量:

(22)α_c=α_ref+δα=α_ref-K₁δy-K₂δV-K₃δθ

式中α_ref为最优轨迹的攻角指令。

在最优弹道上选取多个特征点,分别求得反馈增益参数,预先装订成反馈增益向量。对于火箭弹,在飞行全过程中可根据实时的动压,通过插值得到反馈增益系数。

4 仿真分析

4.1 火箭弹弹道优化

文中研究的火箭弹飞行任务,为了使火箭弹具有较大的射程,故以射程作为最优指标,该弹道优化问题可表述为:

1)状态方程:即为式(1)。火箭发动机在0~25 s内工作,P=39 kN,假设质量均匀变化。特征面积s=0.282 6 m²,气动力系数如下列拟合函数计算:

c x = 0.6 + 0.9 M a + 1.2 × 10 − 5 α + 1.3 M a 2 − 1.3 × 10 − 5 M a × α + 2.9 × 10 − 4 α 2 c y = 1.4 × 10 − 4 + 1.2 × 10 − 4 M a + 0.08 α

2)初始条件:V=20 m/s、θ为待优化量,范围[20°,80°]、x=0和y=0。

3)边界条件:需满足下列条件:

20 m/s ≤ V ≤ 800 m/s − 90 ° ≤ θ ≤ 90 ° 0 ≤ x ≤ 60 km 0 ≤ y ≤ 30 km

4)控制约束:-18°≤α≤18°

5)终端约束:θ=-70°、y=0和|α_t|≤3°。

6)性能指标函数: J=-

x t f

仿真结果如图1和图2所示。

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图1 优化前后弹道对比图

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图2 最优轨迹对应状态量变化曲线

由仿真结果可得:优化方案达到了增大射程的目的,火箭弹在大部分时间保持正极限攻角飞行,最终射程为45.26 km,末端攻角为-2.99°。

4.2 火箭弹跟踪制导

选取制导律权重系数矩阵为:Q=diag(1,1,1),R=1。

仿真中,加入拉偏项,即密度+5%,阻力系数+5%,升力系数+5%,并加入开环制导作为对比,即将α_ref直接作为制导指令,仿真结果如图3~图6所示。

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图6 速度曲线

以上结果表明:开环制导虽然能使跟踪弹道的攻角指令与最优弹道保持一致,但是在存在微小扰动的情况下,跟踪弹道的高度、速度和弹道倾角已经产生明显偏差,其中跟踪高度已经偏离最优弹道超过200 m,而LQR跟踪制导实现了对最优弹道的跟踪和逼近,高度、速度、攻角和弹道倾角等与最优弹道十分接近,基本实现了多变量的跟踪。

5 结论

对火箭弹进行了最优轨迹设计与跟踪制导方法的研究,根据任务特点设定射程最大为优化目标,并采用伪谱法得到满足全程多约束的最优弹道。将火箭弹运动方程关于最优弹道线性化后,基于LQR设计了跟踪制导律,实现了多变量的跟踪。并通过仿真验证了该制导方法的可行性和优越性。

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0 引言

1 制导火箭弹运动模型的建立

2 优化模型的建立及求解

2.1 优化模型的建立

2.2 优化问题求解

3 基于LQR的跟踪制导律设计

3.1 线性化模型

3.2 基于LQR的跟踪制导律

4 仿真分析

4.1 火箭弹弹道优化

图1 优化前后弹道对比图

图2 最优轨迹对应状态量变化曲线

4.2 火箭弹跟踪制导

图3 弹道曲线

图4 攻角曲线

图5 弹道倾角曲线

图6 速度曲线

5 结论

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